chuyên đề đại học môn tóan - đa thức

chuyên đề đại học môn tóan - đa thức tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các...

Chuyên đề 2: ĐA THỨC

CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐA THỨC

Đa thức : (Đa thức một biến)

1 Định nghĩa:

Đa thức bậc n theo x (n  ) là biểu thức có dạng





 n n n 1 n 1  1  0 P(x) a x a x a x a với an0 Các số a ,a , ,a gọi là các hệ số , n gọi là bậc của đa thức P(x) 0 1 n

Ví dụ: P(x) 2x 39x212x 4 là đa thức bậc ba 

2 Đa thức đồng nhất – Đa thức đồng nhất khơng:

a) Đa thức đồng nhất:

Định nghĩa : Đa thức đồng nhất là những đa thức luôn luôn có cùng giá trị với bất cứ giá trị nào của biến số

 Nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức đồng nhất ta ký hiệu : P(x) Q(x) 

P(x) Q(x)    x : P(x) Q(x)  

b) Đa thức đồng nhất không:

Định nghĩa : Đa thức đồng nhất không là những đa thức luôn luôn bằng 0 với bất cứ giá trị nào của biến số

 Nếu P(x) đa thức đồng nhất không ta ký hiệu : P(x)0

P(x) 0    x : P(x) 0  

Hệ quả:

























n

n 1

0

Ví dụ 1 : Tìm các hệ số a, b để đa thức P(x)6x216x và 2 2

Q x a x  x b x đồng nhất với nhau

Ví dụ 2: Tìm các hệ số a, b để đa thức P(x)x4 2x3 ax22x là bình phương của một đa thức b

Bài giải:

Giả sử

x 2x ax 2x b x mxn với mọi x

2m 2 x 3 m2 2n a x 2 2mn 2 x n2 b 0

Áp dụng định lý về đa thức đồng nhất không ta được:

2

2







  



Giải hệ ta được:

 



 



 



 



x 2x 3x 2x 1 x  x 1

Ví dụ 3:

Dạng 1 :Biểu diễn một đa thức theo các đa thức khác

Bài 1: Tìm các số a b sao cho ,

  x 3 a1xb1x

Bài 2: Tìm các số , ,a b c sao cho

2  2  2 

10x 3x 1 a 6x1 b x 3  c

Bài 3: Tìm các số a b c sao cho , ,

2    2

3x 8x 5 a 2x1 b x1 c

Bài 4: Tìm các số , ,a b c sao cho

2  2  

2x 11x21a 4x4 b 4x4  c

Dạng 2 :Phân tích một phân thức thành tổng các phân thức đơn giản

Bài 5: Tìm các số A, B, C sao cho

2

2

Bài 6: Tìm các số A, B, C sao cho

2

3 Nghiệm của đa thức:

 Nếu khi x = a đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a là một nghiệm của P(x)

đn

a là một nghiệm của P(x) P(a) 0

4 Phép chia đa thức:

Định lý: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) khác không Tồn tại duy nhất đa thức h(x) và r(x) sao cho

P(x) Q(x) h(x) r(x) Trong đó r(x)0 hoặc r(x)0 và bậc của r(x) nhỏ hơn bậc của Q(x)

Đa thức Q(x) gọi là thương và đa thức r(x) gọi là dư của phép chia P(x) cho Q(x)

Ví du 1ï: Tìm thương và dư của phép chia đa thức P(x) 2x 39x212x 4 cho đa thức x 1

Ví dụ 2: Cho đa thức P(x)x43x3 bx2ax và b Q(x)x2 1

Tìm a và b để P(x) chia hết cho Q(x)

Bài giải:

Vì P(x) Q(x) nên ta cĩ thể giả sử rằng P(x)x21 Q(x) (1) với mọi x

Thay x vào hai vế của (1) ta được: P(1)1        1 3 b a b 0 a 2b2 (2)

Thay x  vào hai vế của (1) ta được: P( 1)1          1 3 b a b 0 a 2b 4 (3)

2

5 Định lý BEZOUT (Bơ -Du) (1739 - 1783)

Định lý BEZOUT:

Định lý: Trong phép chia P(x) cho (x - a) thì số dư là R = P(a)

Chứng minh:

Chia đa thức P(x) cho (x - a), giả sử được thương là h(x) và dư là hằng số R Ta cĩ:

P(x) xa h(x)R với mọi x

Do đĩ với x = a thì P(a)0.h(a)RRP(a) (đpcm)

Hệ quả:  P(x) chia hết cho (x a) P(a)0 

Hệ quả: Đa thức P(x) có nghiệm là a khi và chỉ khi P(x) (x-a)

P(a) = 0 P(x) = (x a).Q(x), trong đó Q(x) là một đa thức  

6 Sơ đồ HOOCNE Horner 1786 - 1837)

Để tính các hệ số của đa thức thương và dư của phép chia đa thức



 n n n 1 n 1  1  0

P(x) a x a x a x a cho (x - a) ta có thể dùng sơ đồ HOOCNE sau đây

n

Trong đó:



Khi đó:

Ví dụ 1: Tìm thương và dư của phép chia đa thức P(x) 2x 39x212x 4 cho đa thức x 1

Ví dụ 2: Tìm thương và dư của phép chia đa thức P(x) 2x 43x24x 5 cho đa thức x 1 

7 Phân tích đa thức ra thừa số

Định lý: Giả sử đa thức P(x) a xn n an 1xn 1 a x1 a (a0 n 0)



thì

P(x)a xn x1xx x2  xn

Ví dụ: Phân tích đa thức P(x)x39x211x21 thành nhân tử

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐA THỨC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Giải các phương trình

1) 2x46x35x23x  2 0

2) 2x43x316x23x  2 0

3) x44x33x22x  6 0

4) 5 9 4 13 2 22 8 0

2

5) x5x4x311x225x140

Bài 2: Giải phương trình

2x211x21 3 4 3 x4  0

Bài 3: Giải phương trình

  x 3 2 1x 1x3 1x2

Bài 4: Giải phương trình

2   2

10x 3x 1 6x1 x  3

-Hết -