Luậ văn một số bài tập về lý thuyết đường cong

Mục đích nghiên cứu Luận văn với đề tài “Một số bài tập về lý thuyết đường cong” nhằm tiếp cận sâu hơn về các tính chất có liên quan đến đường cong, những đối tượng hình học vốn đã que

và mặt trong không gian hai chiều, ba chiều cũng như khảo sát một số đặc trưng cơ

bản của đường và mặt dựa vào phép tính vi tích phân trong không gian E 2 , E 3 Qua

việc tìm hiểu các khái niệm và tính chất về đường trong không gian E2 , E 3, em nhận

thấy lý thuyết về hình học vi phân còn khá mới mẻ đối với nhiều sinh viên ngành Sư phạm Toán

Nhờ có sự gợi ý và hướng dẫn tận tình của thầy Đặng Văn Thuận, em đã chọn đề

tài “Một số bài tập về lý thuyết đường cong” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp ngành

Toán

II Mục đích nghiên cứu

Luận văn với đề tài “Một số bài tập về lý thuyết đường cong” nhằm tiếp cận sâu

hơn về các tính chất có liên quan đến đường cong, những đối tượng hình học vốn đã quen thuộc với chúng ta như đường tròn, parabol, cycloid,… thông qua giải các bài tập

cụ thể

Ngoài ra việc thực hiện đề tài cũng giúp cho em có dịp củng cố kiến thức về giải tích, phép tính vi tích phân và làm quen với cách nghiên cứu những vấn đề mới của Toán học

III Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng phương pháp tổng hợp, phân tích và so sánh: tổng hợp, hệ thống hóa những kiến thức được trình bày trong các tài liệu và các vấn đề đã học, phân

tích các dạng bài tập nhằm làm rõ những đặc điểm lý thuyết của đường cong trong E2 ,

E 3 và so sánh để có sự trình bày tương đối rõ ràng và hợp lý ở các vấn đề có liên quan

IV Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các vấn đề xung quanh lý thuyết đường cong trong E2, E3 thông qua một số dạng bài tập cụ thể

V Nội dung của luận văn

Nội dung của đề tài đề cập đến một số vấn đề về đường cong trong E2, E3, được chia thành các phần sau:

Chương 1: Đó là các định nghĩa về hàm vectơ, vectơ tiếp xúc, trường vectơ,

trường mục tiêu, cung tham số, trường vectơ dọc một cung tham số, đạo hàm của trường vectơ nhằm tạo nền tảng về kiến thức cho phần sau

Bài tập chương 1: Trình bày một số bài tập có liên quan và làm rõ một số tính

Khi U =J là một khoảng trong R, cho hàm vectơ X J→ : →E t→n, a X t→( ) thì

đạo hàm của X→ tại t (nếu có) là '( ) lim0 ( ) ( )

→ khả vi thì X

→

là hàm hằng khi và chỉ khi X→'( )t =0,→ ∀ ∈t J Với các hàm vectơ X→ ,Y→ xác định trên U, hàm số ϕ xác định trên U, có thể xác định được các hàm vectơ X Y→+→,ϕ X→, hàm số X

→.Y

→

và khi n=3 có thể xác định hàm vectơ X→∧Y→ trên U Khi U =J, ta có các công thức

Với hàm vectơ nhiều biến số ta định nghĩa được các đạo hàm riêng theo các biến của X

→

1.3 Trường vectơ

Định nghĩa: Trường vectơ trên tập mở U ⊂E n là ánh xạ X:U →TU sao

cho với mọi p∈U,X(p)∈T p U pa X( )p

Trường vectơ X :U →TU xác định ánh xạ X U: E n

→ bởi ))

(,

Định nghĩa: Trường mục tiêu (khả vi) trên tập mở U ⊂E n là hệ n trường

vectơ (khả vi) {U1,U2, ,U n} trên U sao cho với mỗi p∈U,{U1( ) ( )p,U2 p, ,U n( )p} là

một cơ sở của TP U

Nếu với mọi p∈U,U i(p)U j(p)=δ ij, hay U i U j =δ ij thì trường mục tiêu

{ }U i i= n gọi là một trường mục tiêu trực chuẩn

1.6 Trường vectơ dọc cung tham số

Định nghĩa: Trường vectơ dọc cung tham số ρ : J → E n là ánh xạ

C )

1.8 Ánh xạ tiếp xúc của f U: →V

Cho ánh xạ (khả vi) f U: →V (U mở trongE m , V mở trong E n ), với mỗi p xác định

ánh xạ T f T U p : p →T f p( )V xác định bởi:

cho α p∈T U p ,α p = f '( )t0 , ρ:J →U là một cung tham số, thì T f p ( )α p =(f oρ) ( )' t0

Nếu T f p là đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì f được gọi theo thứ tự là dìm,

ngập, hay trải tại p Nếu điều đó đúng với mọi p thì nói f là dìm, ngập, trải

1.9 Đạo hàm của trường vectơ dọc cung tham số

Định nghĩa: Cho cung tham số ρ:J →E n và cho trường vectơ dọc ρ, X

,…

Cho ánh xạ khả vi λ:I →J, saλ(s)=t, từ khoảng I vào khoảng J thì với trường vectơ X dọc ρ ta có trường vectơ X oλ dọc cung tham số ρ λo :I →E n và

d dt

X D

dt

DY dt

DX Y

X dt

DX Y

X dt

D

dt

DY X Y dt

DX Y

X dt

d

∧+

).(

Định nghĩa: Trường mục tiêu dọc cung tham số ρ:J→E n, taρ( )t , là hệ n trường vectơ {U1,U2, ,U n} dọc ρ sao cho với mọi t∈J, {U1(t),U2(t), ,U n(t)} là một

cơ sở của T ρ( )t E n Khi đó, mọi trường vectơ X dọc ρ được biểu diễn duy nhất dưới

n i

i i U

dt

DU U

dt

d dt

DX

1

ϕ ϕ

Ngược lại nếu t J X t, ( ) ( ), X t'

a Chứng minh rằng khi n=3, điều kiện cần và đủ để X t( )

→ luôn thuộc một không gian vectơ con hai chiều cố định của E→3 là hệ {X t→( ) ( ) ( ),X t→' ,X t→'' } phụ thuộc tuyến tính với mọi t∈J

→ khi đó ( )

1

n i i i

x −y =

Bài 6

Xét mặt phẳng Euclide E2 với hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy Hãy

phác họa ảnh của các cung tham số ρ:J →E2, ρ( )t =(x t( ) ( ),y t ) xác định bởi: (a, b là hằng số dương)

a) trên một đường thẳng (cycloid)

b) trên và bên ngoài một vòng tròn (epicycloid)

c) trên và bên trong một vòng tròn (hypocycloid)

O1

MN

Vậy quỹ đạo là đường cycloid ρ( ) (t = −t sin , 1 cost − t)

b Giả sử M(x, y) nằm trên đường tròn tâm O1 bán kính r1 lăn không trượt ở phía ngoài đường tròn tâm O bán kính R, điểm xuất phát là A Gọi t = AON∧ (N là tiếp điểm của hai đường tròn), ta có OMuuuur uuuur uuuur=OO1+O M1

Cho trường vectơ liên tục X trên một tập mở U của E3 mà có điểm O∉U

sao cho X→( )p cùng phương với Op→ với mọi p∈U (X gọi là một trường vectơ xuyên tâm với tâm O) Xét cung tham số ρ:J →U t, aρ( )t sao cho ρ→''( )t =X→( )ρ( )t

1) Chứng minh rằng ρ( )J nằm trong một mặt phẳng qua O

O1

M

P

N

= uuur với mọi p∈U (k là hằng số dương), chứng minh

rằng ρ( )J nằm trên một đường thẳng qua O hay một đường bậc hai nhận O làm một tiêu điểm

k b

→

→

⇒a , b cố định

Mặt khác →a.→b =0 và →a.→ρ=0

+ Nếu →a=→0 thì ρ( )J nằm trên một đường thẳng qua O

+ Nếu →a ≠→0 thì ρ( )J nằm trên một mặt phẳng qua O và vuông góc với →a

mà r

k

a a

k k

ρ ρ ρ

2 2

''

1

01

r ϕ (( )r,ϕ là tọa độ cực trong mặt phẳng đó đối với gốc O, trục OB) Vậy trong hệ tọa độ đó

ϕ

cos1

a

r đây là phương trình trong tọa độ cực ( )r,ϕ của một cônic

nhận O làm tiêu điểm

CHƯƠNG 2: CUNG TRONG En

số của cung

2.2 Điểm chính quy, điểm kỳ dị, tiếp tuyến và pháp diện của cung

Cho cung Γxác định bởi ρ:J→E n Điểm t o mà ρ'( )t o ≠ 0 gọi là một điểm chính quy của Γ Nếu ρ'( )t o = 0 thì nó được gọi là một điểm kỳ dị của cung Γ Cung

mà mọi điểm là chính quy gọi là cung chính quy Tại điểm chính quy t o của cung Γ, tiếp tuyến của cung là đường thẳng đi qua ρ( )t o và có vectơ chỉ phương là ρ'( )t o

Ý nghĩa hình học của tiếp tuyến: Ta có ρ o(t)ρ(t)=(t−t o)(ρ'→(t)+→ε) →ε →→0khi t→t o, nên cát tuyến qua ρ(t o)=M ovà ρ(t)=M của cung có một vectơ chỉ

phương là ( ) ( )

o

o

t t

t t

−

ρ ρ

dần về ρ'( )t o khi t→t o, hay ta có thể nói: tiếp tuyến của Γ tại điểm ρ(t o)=M o là vị trí giới hạn của cát tuyến M o M khi M dần về M o dọc cung

2.3 Dáng điệu của cung tham số trong lân cận một điểm của nó

Xét cung tham số ρ:J →E n trong lân cận điểm t o∈J

Giả sử ρ'(t o)=ρ ''(t o)=…=ρ(k−1)(t o)=0và ρ(k)(t o) ≠ 0 thì số k đó không đổi qua phép

đổi tham số Khi đó đường thẳng qua ρ( )t0 với vectơ chỉ phương ρ(k)(t o) cũng là tiếp tuyến của đường cong tại ρ( )t0

Nếu tại t0∈J, có ρ'(t o)=ρ ''(t o)=…=ρ(k−1)(t o)=0 và ρ(k)(t o) ≠ 0, ,

vectơ chỉ phương ρ(k)(t o) (∆ là tiếp tuyến của cung tại ρ( )t o ) với đường thẳng d qua

( )t o

ρ với vectơ chỉ phương ρ l)(t o) chia mặt phẳng E2 thành 4 góc phần tư với:

+ k lẻ, l chẵn: cung đó nằm về một phía đối với ∆, và nằm trong 2 góc phần tư khác nhau

+k lẻ, l lẻ: cung đó nằm về 2 phía đối với ∆, và nằm trong 2 góc phần tư đối đỉnh (điểm ρ( )t o là điểm uốn)

+k chẵn, l lẻ: cung đó nằm về một phía đối với d, và nằm trong 2 góc phần tư

khác nhau (điểm ρ( )t o gọi là điểm lùi loại một)

+k chẵn, l chẵn: cung đó nằm trong 1 góc phần tư (ρ( )t o gọi là điểm lùi loại hai)

2.4.3 Tham số hoá tự nhiên của một cung chính quy

Định nghĩa: Một tham số hoá r:[ ]a b, →E n, sar s( )của một cung chính quy Γ gọi là một tham số hoá tự nhiên của nó nếu r' = 1 (s còn gọi là tham số hoá độ

dài cung)

2.5 Độ cong của một cung chính quy trong E n

Định nghĩa: Độ cong của Γtại điểm s trong tham số hoá tự nhiên s→r (s) của

nó là ( ) ( ) ' (s)

ds

Dr s

ds

DT s

k = = Vậy ta có hàm độ cong (hay độ cong) k1 dọc Γ là

Ý nghĩa hình học của độ cong:

Gọi θ là góc giữa T (s)và T(s+∆s)thì k s1( ) lim

s

θ

=

∆Thật vậy, ta có:

))(()

()(

ρ độc lập tuyến tính Mặt phẳng mật tiếp với Γtại điểm đó là 2-phẳng đi qua ρ (t) với không gian vectơ chỉ phương ρ'(t),ρ '(t)

Trong E 3, nếu ρ(t)=(x( ) ( ) ( )t ,y t ,z t ) thì mặt phẳng mật tiếp đó là

0

)('')

('')

(''

)(')

(')

('

)()

()

y t

x

t z t

y t

x

t z Z t y Y t x X

Trong đó (X,Y,Z) là toạ độ của điểm thay đổi trongE3

2.6.2 Định nghĩa:

Giả sử điểm của cung Γtrong E n ứng với t o trong tham số hóa taρ (t)

là một điểm song chính quy Gọi ∆ là tiếp tuyến với Γ tại t ovà pháp tuyến của Γtại t o

là các đường thẳng vuông góc với ∆, chúng tạo thành mặt phẳng pháp tuyến (pháp diện) của Γ tại t o

Pháp tuyến của Γ tại t o nằm trong mặt phẳng mật tiếp của Γ tại t o gọi là pháp tuyến chính của Γ tại t o Khi n=3, pháp tuyến của Γ tại t o vuông góc với mặt phẳng mật tiếp của Γ tại t ogọi là trùng pháp tuyến của Γ tại t o

Mặt phẳng tạo bởi tiếp tuyến và trùng pháp tuyến của Γ tại t o gọi là mặt phẳng trực đạc của Γ tại t o

2.7 Cung song chính quy trong E n

= thì được trường vectơ đơn vị N dọc Γ gọi là trường vectơ pháp tuyến

đơn vị dọc Γ Hay có thể viết DT k N k1 , 1

2.8.2 Ý nghĩa hình học của độ xoắn:

Gọi θ số đo của góc giữa B (s)

()(2sin

{T,N,B} là trường mục tiêu Frenet dọc cung song chính quy định hướng

Γ trong E3(có hướng) Khi đó ta có công thức sau gọi là công thức Frenet:

2.10 Công thức tính độ cong, độ xoắn

Cho cung song chính quy định hướng Γ trong E3 (có hướng) xác định bởi

)('')^

('

t

t t k

ρ

ρ ρ

B +∆

• Độ xoắn:

)('')^

('

))(''),(''),('(

t t

t t t ρ ρ

ρ ρ ρ

τ =

2.11 Cung định hướng và trường vectơ tiếp xúc đơn vị

Định nghĩa: Nếu trong định nghĩa 2.1, λ là những vi phôi bảo tồn hướng (tức là λ'( )t >0 ∀t hoặc λ'( )t <0 ∀t ) thì ta được khái niệm cung định hướng

2.12 Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong E3

Định lý: Cho 2 hàm số k1 và k2 (khả vi lớp C l , l≥0) trên khoảngJ ⊂R

1 0

và k > Khi đó

1) Có tham số hóa tự nhiên r J: →E3 (khả vi lớp l+ 2

C ) của một cung song chính quy định hướng trong E3 nhận k1 và k2 làm độ cong và độ xoắn

2) Nếu có 2 tham số hóa r vàρcủa 2 cung như thế thì có đẳng cấu Aphin trực giao bảo tồn hướng tức một phép dời hình f của E3 mà r= f oρ

Định nghĩa: Các phương trình k1 =k s1( ), k2 =k2( )s trong đó sak (s), 1

2.13.1 Cung chính quy định hướng trong E 2 và độ cong của nó:

Gọi T là trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc cung song chính quy định hướng Γ trong E2 (xác định hướng đó) Giả sử E2 đã có hướng thì xác định được trường vectơ dọc Γ sao cho {T , N}là trường mục tiêu trực chuẩn thuận dọc Γgọi là trường mục tiêu Fretnet dọc Γ, N gọi là trường vectơ pháp tuyến đơn vị dọc Γ Rõ

ràng phương của N tại mỗi điểm là phương của pháp tuyến của Γ tại điểm đó

* Với mọi tham số hóa tự nhiên sar (s) của trường Γ,ta có các công

=+Nếu Γ cho bởi dạng hàm ẩn F(x, y) = 0 thì

'' '' ' '' '' ' ' '

2.13.2 Phương trình tự nhiên (phương trình tham số hóa tự nhiên):

Trong tọa độ Descartes vuông góc thuận Oxyz, giả sử

Vì T(s) =1 nên có thể đặt x'(s)=cosϕ (s), y'(s)=sinϕ (s)

Khi đó T'(s)=ϕ'(s)(−sinϕ(s),cosϕ(s))

1

'( ) sin ( ), cos ( )'( ) ( )

y

ds s s

x

ϕ

ϕ

sin)(

)(cos)

(

Và cung phải tìm là Γ:sar(s)=(x(s),y(s))

2.13.3 Các đường tròn mật tiếp của một cung chính quy phẳng, cung túc bế của nó:

*Đường tròn mật tiếp:

Cho tham số hóa tự nhiên saρ( )s ∈E2của Γ thì đường tròn mật tiếp của

Γ tại điểm ứng với s0 là đường tròn (C) trong mặt phẳng mà ( ( ) )

C s d

1)

0

s k

s

q=ρ + (tâm cong hay khúc tâm của Γ tại s 0)

Nếu cung Γ cho bởi taρ(t)=(x(t),y(t)) trong hệ tọa độ Descartes vuông

góc thuận Oxy thì tâm cong của Γ tại t có tọa độ:

)(')('')('')('

)(')(')(')()(

)(')('')('')('

)(')(')(')()(

2 2

2 2

t y t x t x t y t Y

t y t x t y t x

t y t x t y t x t X

*Cung túc bế và cung thân khai của một cung trong E 2:

Xét hai cung chính quy Γvà γ trong E2 xác định như sau Γ:taρ(t) và )

(

:tar t

γ với t∈J Ta nói Γ là cung túc bế của γ hay γ là cung thân khai của Γnếu tiếp tuyến của Γtại t là pháp tuyến của γ tại t, với mọi t∈J

+Phương trình cung túc bế Γ của cung γ

Nếu γ cho bởi phương trình tham số r( )t =(x( ) ( )t ,y t ) Ta có phương trình

)(

1)()(

t k t r

ρ

)(')('')('')('

)(')(')(')()(

)(')('')('')('

)(')(')(')()(

2 2

2 2

t y t x t x t y t Y

t y t x t y t x

t y t x t y t x t X

+Phương trình cung thân khai γ của cung Γ

Nếu Γ cho bởi phương trình tham số ρ(t)=(x(t),y(t)) thì ta có phương trình cung thân khai là:

)(')('

)(')

(')(')

()(

)(')('

)(')

(')(')

()(

2 2

2 2

2 2

2 2

−+

=

++

−+

=

∫

∫

t y t x

t y dt

t y t x C t y t Y

t y t x

t x dt

t y t x C t x t X

2.14 Bao hình của họ các cung phẳng phụ thuộc tham số

2.14.1 Định nghĩa: Giả sử họ S( )Γα các cung chính quy trên mặt phẳng phụ thuộc tham sốα Cung chính quy Γα được gọi là bao hình của họ S( )Γα nếu tại mỗi điểm của nó đều tiếp xúc với ít nhất một đường cong thuộc họ và một phần bất kỳ của

Γ đều có vô số cung của họ tiếp xúc

2.14.2 Định lý: Giả sử các cung phẳng Γα của họ S( )Γα trong miền G được cho bởi phương trình ϕ(x,y,α)=0với a≤α ≤b trong đó ϕ là hàm khả vi liên tục theo tất cả các biến, thỏa mãn điều kiện: ϕ x2 +ϕ2y ≠0 Khi đó bao hình Γ của họ S( )Γα , nếu tồn tại, được cho bởi hệ phương trình:

0),,(

α ϕ

α ϕ

y x

B BÀI TẬP CHƯƠNG 2

Bài 1

Xét hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxy trong mặt phẳng E2 và cungΓ trong E2

xác định bởi ρ : J →E2 , ρ( )t =(x( ) ( )t ,y t )và giả sử Γcó tiếp tuyến tại mọi điểm Đặt

( )t

M =ρ , P là hình chiếu vuông góc của M xuống trục hoành Ox, T và N theo thứ

tự là giao điểm của Ox với tiếp tuyến và pháp tuyến của Γtại M (giả sử có các giao điểm đó)

a Tính PT (tiếp ảnh), PN (pháp ảnh), tính độ dài các đoạn MT, MN

b Tìm Γ sao cho pháp ảnh tại mọi điểm bằng a≠0 không đổi

c Tìm Γ sao cho tiếp ảnh tại mọi điểm bằng a≠0 không đổi

d Tìm Γ sao cho MN=a>0không đổi

e Tìm Γ sao cho MT =a>0 không đổi

Giải

a Đặt x=x( )t ,y= y( )t

Ta có: M ,( )x y , P là hình chiếu của M lên trục Ox nên P( )x,0

Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M của cung Γ:

' X−x −x Y−y =

y Ox

T =∆∩ ⇒  − ,0

'

'

y y

x x

y

x x y y

x x PT

'

''

Ox d

'

y x

y x

x

y x y x

y x PN

'

''

' − =+

=

2 2

PT MP

)'

'( y y

x

y +

)'

'(1

PN MP

)'

'( y x

y

y +

)'

'(1

⇒ y'y=ax'

'2

2

C ax

⇒

C ax

⇒ 2 2 (C=2C')Vậy cung Γcó phương trình y2 =2ax+C

y

y a

x= ln

−

a x

Ce

y= −

⇔Vậy cung Γcó phương trình a

a x

y

)'

'(1

2

2 2

'

'

y

y a x

''= −

⇔

''

2

y a

−

⇔ 2 2 2

)(x C y

Vậy cung Γcó phương trình 2 2 2

)(x+C + y =a

Ta có: MT =a>0

)1( )

'

'(

)(')('0))(sin(

)()1( ⇒y t =a ϕ t > ⇒ y t =a ϕ t ϕ t

))(sin(

))((cos)(')('

2

t

t a

t t

x và

ϕ

ϕ ϕ

=

2

cos ( ( ))( ) '( )

ϕ

C t

t tg a t

2

)((ln)

=

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

sin)

(

)cos2(ln)(

a y

C tg

a x

Vậy cung Γcó phương trình

=

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

sin)(

)cos2(ln)

(

a y

C tg

a x

0))()(

('))()(

('

=+

t y y t x t x x t y

Tiếp tuyến qua O(0,0) nên ta có:

)(

)(')(

)('

0)(')()()('

t y

t y t x

t x

t y t x t y t x

=

⇔

=+

ln =

)()(

)()(

t Cx t y

C

t y t x

=

⇔

=

⇔

Vậy cung Γlà đường thẳng y=Cx bỏ điểm O(0,0)

2) Pháp tuyến của cung tại P(x(t),y(t))bất kỳ thuộc Γcó phương trình:

0)()(')()(')(')('

0))()(

('))()(

('

=

−+

+

⇔

=

−+

−

t y t y t x t x y t y x t x

t y y t y t x x t x

Pháp tuyến qua O(0,0) nên ta có :

)()(')()('

0)()(')()('

t x t x t y t y

t y t y t x t x

2

)(2

)

2 2

(C=2C')

C t y t

⇔ 2( ) 2( )Vậy cung Γlà đường tròn tâm O(0,0) có phương trình x2 +y2 =C

t t y t x

1

t

at y t

at x

(a>0) Chứng minh rằng cung này là quỹ tích các điểm

M ∈E2 sao cho OM =PQ trong đó Q là điểm thay đổi trên đường thẳng x=a, P là giao điểm (thứ hai) của đường thẳng OQ với đường tròn đường kính OA,với A (a,0)

−

=

2 2 2 2

1111

t

t t y t

t x

t a x

3 3

sin

cos (a>0)

e Đường Lemniscat Bernoulli

=

+

=

4 3 2

1

1

t

t y t

t x

=

+

=

3 2 3

1

1

t

t y t

t x

t t y

t x

2'

t t y

t x R t

00

00

'

t

t y

⇒ Ứng với t =0 O, ( )0,0 là điểm không chính quy

x R t

⇒ Tiếp tuyến của cung nhận ρ"( ) ( )0 = 2,0 làm vectơ chỉ phương

1

t

at y t

at x

Ta có x, y là các hàm số khả vi trên R

2 4 2

2

1

3'

1

2'

,

t

at at y t

at x

=

∈

∀

Khi đó x'=0⇒t=0, y'=0⇒t=0

⇒ Ứng với t=0 O( )0,0 là điểm không chính quy Vì x chẵn, y lẻ, do đó ta lấy t biến

thiên trong [0,+∞) rồi thực hiện phép đối xứng qua Ox

Cung Γ nhận đường thẳng x=a làm tiệm cận

*Chứng minh quỹ tích:

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ Gọi M( )x, y

Đường thẳng ∆ qua A( )a,0 có phương trình x=a

Đường thẳng OM qua O có hệ số góc t có phương trình y=t x

Ta có Q∈OM ∩∆⇒Q(a,t a)

(x P t x P)

P OM

42

2,

2 2 2

a x

t

a x

⇔

2

2 2

1

0

01

t

a x x

x a x t

P P

P P

M O P

x P =0⇒ ≡ ≡

2

2 2

2

2 2

11

−+

a a PQ t

a

x P

2 2

2

2 2

11

11

t

at x t y t

at x

t

at t

Vậy quỹ tích M là cissoid

1

1

t

at y t

at x

c Ta có x chẵn, y lẻ nên ta cho t biến thiên trong khoảng [0,+∞) rồi lấy đối

−

=+∞

∈

∀

2 2

4 2

2 2

1

41'1

4t

x' ,,0

t

t t t

y

t t

BBT:

Γ nhận đường thẳng x=−1 làm đường tiệm cận

Ứng với t =±1 và các tiếp tuyến tại O là 2 đường phân giác

d Ta có x, y đều tuần hoàn với chu kỳ 2π , do đó ta chỉ khảo sát t trên khoảng có độ dài 2π sẽ thu được toàn bộ đường cong Mặt khác x chẵn, y lẻ nên ta cho t biến thiên trong [ ]0,π rồi lấy đối xứng qua Ox

t x t x π

t y t x

0 π

rồi lấy đối xứng qua

đường phân giác thứ nhất

t t a t

x t

cossin3'

sincos3'

,4,0

a

22

'lim

t y

t

t ⇒Γ nhận Ox làm tiếp tuyến tại ( )a,0

e Ta có x và y đều lẻ nên ta cho t biến thiên trong khoảng [0,+∞) rồi lấy đối

4 2

2 4 4

1

431

31

,10

t

t t

y'(t)

t

t - x'(t) ,

31

00

)(',3

10

)(

'

t

t t

y t

t x

y

0

21

f D x=D y =R\{ }−1

t y t y t x R

21)('1,

3

3 2

3 3

t

t t t y t

t t

x t

+

−

=+

2

00

)(

'

2

10

)(

'

t

t t

y

t t

x

y

21

)()(lim

1lim)(

)(lim

2 1 1

1 1

−

=+

−

=+

t t

x t y

t t

x

t y

t t

t t

Γ

⇒ nhận đường thẳng ( )

3

1 =− −

(hay ρ( )ϕ =(x=r( )ϕ cosϕ,y=r( )ϕ sinϕ) trong hệ tọa dộ Descartes Oxy trong E2)

a Xác định điểm kỳ dị của cung

b Khi r( )ϕ =M ≠O, gọi T và N theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng qua O với vectơ chỉ phương 

e với tiếp tuyến và pháp tuyến của cung tại điểm ứng với ϕ

,2

π ϕ ϕ

π ϕ

d Phác họa ảnh của cung tham số xác định bởi: r( ) (ϕ =a1+cosϕ), a>0

2'

o

r

ϕ ρ

Vậy điểm kỳ dị của cung là những điểm ϕ o thỏa r'( ) ( )ϕ o =r ϕ o =0

π ϕ ϕ ϕ

ϕ

π ϕ ρ ϕ ϕ

=

++

=

e r e

r e r

e r e

r e r

e r

2'

2'

2'

T

)2(ϕ+π e

( )ϕ e

)('ϕ ρ θ

=

⇒

( ) ( ) ( )

'

2

2

π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ

e r

r OT r

r OT

ϕ ϕ

ϕ

ϕ θ

''

2

r

r r

r

r OM

OT

c 1) θ( )ϕ =θ o không đổi

( ) ( ) ( )

o o

tg r

r

tg r

r

tg tg

θ ϕ

ϕ

θ ϕ ϕ

θ θ

1'

tg C r

r

a r

r

1'

( ) ( ) ( )

o

o

a r

a r

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

d Phác họa cung Γ r=a(1+cosϕ)

Ta có r tuần hoàn với chu kỳ 2π , do đó ta xét ϕ biến thiên trong khoảng

có độ dài 2π Vì r chẵn nên xét ϕ biến thiên trong [ ]0,π rồi lấy đối xứng qua Ox

a Chứng minh rằng cung này là giao của mặt cầu 2 2 2 2

R z y

x + + = với mặt

trụ tròn xoay

42

2 2 2

R y

( )t ρ

⇒ thoả phương trình mặt cầu

4cos

sin2

Rcos

2 2 2

t t R

1

0

z z y x

Xét cung phẳng p2oρ lên Ozx(y=0)

Cung Γ là một Parabol