Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn trong cơ học lượng tử

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI,

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ NGA

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN

TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ NGA

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN

TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2018

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn trong cơ học lượng tử” đã được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự

giúp đỡ tận tình của gia đình, bạn bè và thầy cô

Qua đây, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo hướng dẫn –Pgs.Ts Nguyễn Thị Hà Loan đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình

tham gia khóa luận

Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành khoa luận này

Xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình,bạn bè trongsuốt quá trình làm khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Nga

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành

với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn của Pgs.Ts Nguyễn Thị Hà Loan Các dữ liệu đưa ra trong khóa luận là hoàn toàn trung thực và không

trùng với các công trình nghiên cứu của các tác giả khác

Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Nga

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 3

1.1 Tọa độ 3

1.2 Xung lượng 4

1.3 Mômen xung lượng 5

1.4 Năng lượng 7

Kết luận chương 1 9

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN 10

2.1 Biểu diễn tọa độ 10

2.2 Biểu diễn xung lượng 11

2.3 Biểu diễn năng lượng 13

2.4 Biểu diễn Schrodinger 16

2.5 Biểu diễn Heisenberg 16

2.6 Biểu diễn tương tác 20

Kết luận chương 2 22

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄNTRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 23

3.1 Bài tập về các trạng thái lượng tử trong các biểu diễn khác nhau 23

3.2 Bài tập về các toán tử trong các biểu diễn khác nhau 29

Kết luận chương 3 38

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

1 Lý do chọn đề tài

MỞ ĐẦU

Thế kỷ XX là thế kỷ của, vật lý học hiện đại với khuynh hướng xâmnhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất, đó là những vật thể vô cùng nhỏ bénhư nguyên tử, hạt nhân và các hạt cơ bản Cho đến nay, một trong nhữngđối tượng nghiên cứu quan trọng nhất của vật lý học hiện đại là thế giới vi

mô mà cơ học lượng tử là cơ sở đầu tiên giúp con người tìm hiểu và chinhphục thế giới đó Cơ học lượng tử là một phần khá trừu tượng trong vật lý lýthuyết, có những khái niệm vốn quen thuộc trong vật lý học cổ điển

Có thể định nghĩa một cách tóm tắt cơ học lượng tử là lý thuyết củanhững nguyên tử và hạt nhân Nguyên tử có kích thước vào cỡ 10-8cm, cònhạt nhân có kích thước vào cỡ 10-13cm Những vật có kích thước như vậy vànhỏ hơn được gọi là những vật vi mô

Để nghiên cứu các đại lượng động lực của hệ các hạt vi mô, người ta cóthể dùng các biểu diễn khác nhau Mỗi bài toán trong cơ học lượng tử thì sẽ

có một cách giải quyết riêng và việc chọn dùng biểu diễn nào để giải quyếtbài toàn ấy là đơn giản nhất, mà vẫn cho kết quả mô tả đầy đủ tính vật lý của

hệ vật lý vi mô là rất cần thiết và quan trọng

Thêm vào đó việc giải bài tập một mặt rèn luyện kỹ năng, mặt khác còn

để củng cố lý thuyết Phải nắm được lý thuyết, hiểu nó mới có thể vận dụng

để tìm tòi ra nhiều điều khác có liên quan Giúp nắm chắc và hiểu lý thuyếtsâu sắc hơn

Vì vậy, tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài về: “ Một số bài tập về

lý thuyết biểu diễn trong cơ học lượng tử”.

2 Mục đích nghiên cứu

Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải quyết một số bài tập về lý thuyếtcủa các hạt vi mô

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các đại lượng động lực trong cơ học lượng tử

Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải quyết một số bài tập trong cơ họclượng tử

4 Đối tượng nghiên cứu

Các đại lượng động lực và dạng của chúng trong các biểu diễn khác

nhau

Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán học

Phương pháp của lý thuyết biểu diễn của cơ học lượng tử

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì khóa luận baogồm ba chương:

CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN.

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN.

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ.

1.1 Tọa độ

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Các hạt vi mô vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt cho nên các đạilượng động lực mô tả trạng thái của hạt như tọa độ, xung lượng, momenxung lượng, năng lượng, ở thời điểm t sang thời điểm t’ đã khác đi và nókhông tuân theo qui luật cổ điển mà nó tuân theo qui luật lượng tử tức là cáctrạng thái này không hoàn toàn đồng thời xác định Để mô tả được trạng tháicủa các hạt vi mô thì các đại lượng động lực này có qui luật mới là a.b # b.a

do đó các đại lượng động lực trở thành các toán tử theo nguyên lý tươngứng Để tìm dạng tường minh của các toán tử biểu diễn biến số động lựcchúng ta chú ý rằng cơ học cổ điển là trường hợp giới hạn của cơ học lượng

tử (khi kích thước của các vật mà ta xét tang lên tới mức vĩ mô) Như vậy ta

có thể thừa nhận một cách tự nhiên rằng:

Những toán tử cơ học lượng tử thỏa mãn những hệ thức giống như hệthức giữa các đại lượng động lực tương ứng trong cơ học cổ điển (khôngchứa đạo hàm) Đó là nguyên lý tương ứng

Toán tử tọa độ ̂ Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái củahạt mô tả bởi hàm sóng x) đã được chuẩn hóa Toán tử tọa độ ̂ phải làecmit và có dạng thế nào để trị trung bình của tọa độ cho bởi công thức:

̅ ∫ ̂ (1.1.1) Nếu gọi p(x) là mật độ xác suất đẻ tọa độ có giá trị là x thì trị trung bình của

Ta có: ∫ ̂ ∫

Vậy ̂ (1.1.2)

Như vậy toán tử ̂ là một phép nhân với x Ta có thể viết:

̂(1.1.3)Cũng tương tự như vậy, khi hạt chuyển động trong không gian thì có 3 toán

tử tọa độ

* ( )+

đó là điều cần chứng minh

Et 

)ħ

Cũng tương tự như vậy ta có thể chứng minh rằng:

Trong đó là vectơ tia nối từ gốc tọa độ đến vị trí của hạt (coi là một điểm)

Đó là một toán tử vectơ có ba thành phần:

(1.3.2)

Các thành phần đó là các toán tử biểu diễn hình chiếu của vectơ

mômen xung lượng lên các trục x,y,z Nếu chọn

̂iħ ( y 

z  z

 )

y

̂iħ ( z 

x  x

 )

̂iħ ( x 

 y  ){ y xNgười ta còn định nghĩa toán tử bình phương mômen xung lượng:

̂̂̂̂(1.3.4)Các thành phần của toán tử mômen xung lượng tuân theo những hệ thức

giao hoán quan trọng sau đây:

[̂ ̂] ̂[̂ ̂] ̂ (1.3.5)[̂ ̂] ̂

Đồng thời:

[ ̂ ̂] [ ̂ ̂] [ ̂ ̂] (1.3.6)

Từ các hệ thức trên ta thấy rằng không thể đo được một cách chính xác đồngthời hình chiếu của mômen xung lượng lên hai trong ba trục tọa độ vuônggóc Nếu đã đo được chính xác chẳng hạn, thì đồng thời không thể đo

được chính xác hoặc Có thể đo được chính xác đồng thời bình phương của mômen xung lượng và hình chiếu của nó lên một trục bất kì.Đôi khi để cho thuận tiện, người ta đưa vào các toán tử sau đây:

̂̂

+ ̂ ; ̂ ̂ ̂ (1.3.7)Các toán tử ấy tuân theo những hệ thức giao hoán:

[̂ ̂] ̂[̂ ̂] ̂ (1.3.8)[̂ ̂] ̂

Và ̂ ̂ ̂ ̂ ̂

̂ ̂ ̂ + ̂ (1.3.9) Nếu viết biểu thức của các toán tử mômen xung lượng trong tọa độ cầu

thì ta có:

̂(

)

   

H   V2m x, y,z

Trong đó m là khối lượng của hạt, V(x,y,z) là biểu thức của thế năng,

(1.4.1)

Theo nguyên lý tương ứng thì toán tử năng lượng toàn phần (hay toán tử Hamintơn) cũng tuân theo một biểu thức tương tự biểu thức (1.4.1), trong đó các đại lượng động lực được thay thế bằng các toán tử tương ứng:

Kết luận chương 1

Ở trong chương 1, tôi đã trình bày về các khái niệm cơ bản: Tọa độ,Xung lượng, Mômen xung lượng, Năng lượng

Trong cơ học lượng tử, thì các đại lượng động lực này đã có biểu thức

có dạng giống như trong cơ học cổ điển nhưng viết đối với các toán tử Cácđại lượng động lực của các hạt vi mô không đồng thời xác định nên khôngthể đo chính xác nó trong cùng một trạng thái Sai số của phép đo các đạilượng vật lý tuân theo hệ thức bất định Heisenberg

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN 2.1 Biểu diễn tọa độ

Xét một hàm sóng ψ(x) biểu diễn một trạng thái của một hạt Ta gọi ψ(x)

là hàm sóng trong biểu diễn tọa độ hay trong x-biểu diễn Cho một toán tử biểu diễn một biến số động lực Các hàm riêng của toán tử ̂ được kí hiệu là(x), các hàm riêng này hợp thành một hệ đủ Nói cách khác ta có thể biểudiễn ψ(x) dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng (x):

ψ(x)=∑ (x) (2.1.1) tổng lấy theo toàn bộ các giá trị có thể của chỉ số nguyên n Nếu biết tất cả các hệ số thì ta có thể xây dựng được tổng ở (2.1.1), tức là biết được biểu thức ψ(x) Tập hợp các hệ số hoàn toàn có thể thay cho ψ(x) để

mô tả trạng thái của hạt, người ta nói rằng: tập hợp các hệ số là hàm sóng của hạt trong L-biểu diễn Việc lựa chọn hệ hàm riêng của những toán tử vật

lý nào, được gọi là việc chọn biểu diễn

Biểu diễn tọa độ kí hiệu trạng thái lượng tử bởi chỉ số a Hàm sóng phụthuộc vào tọa độ và kí hiệu là (chữ x kí hiệu một hoặc một tập hợp tọađộ)

Bình phương mô đun hàm sóng đã chuẩn hóa trong biểu diễn tọa độ bằngmật độ xác suất để trong trạng thái đã cho tọa độ x có giá trị xác định

Hàm phân bố xác suất cho tọa độ x trong trạng thái ψ(x) là:

|

|

Và do đó:

∫ ̂ ∫| | ∫Nghĩa là: ̂

Như vậy, trong biểu diễn tọa độ, toán tử tọa độ là toán tử nhân với tọa

độ, khi tác dụng lên hàm sóng nó chỉ là thừa số nhân

Xét trong không gian vecto 3 chiều thông thường:

2.2 Biểu diễn xung lượng

Biểu diễn xung lượng hay p-biểu diễn chú ý rằng trị riêng của toán tử xung lượng có giá trị liên tục Hàm riêng của toán tử xung lượng, ứng với trịriêng p, trong biểu diễn tọa độ là:

Hàm này được chuẩn hóa:

(x)

∫ (x)dx= (p- ) (2.2.1)

Bây giờ phân tích hàm sóng (x) của trạng thái a trong x-biểu diễn theo hệ

đủ các hàm (x):

(x)=∫ (x)dp (2.2.2) Hệ số phân tích c(p) dưới dấu tích phân chính là hàm sóng của trạng thái a trong p-biểu diễn và có thể kí hiệu như sau:

c(p) (p) (2.2.3)

Có thể viết lại công thức (2.2.2) như sau:

(x)=∫ dp (2.2.4)

Bình phương môđun của hàm sóng bằng mật độ xác suất để xung lượng có giá trị p

(x)= 1 exp( ip x ) (2.2.7)

2πħ ħ

= 1 exp ipx 

* Ta tìm dạng của các toán tử động lực trong biểu diễn xung lượng

Toán tử xung lượng được biểu diễn bằng một ma trận có các phần tử như

Ta đã biết trong biểu diễn tọa độ: ̂

Biểu diễn năng lượng hay E-biểu diễn Để đơn giản, ta xét trạng thái của mộthạt chuyển động trong một trường ngoài có năng lượng âm, như vậy trị riêngcủa năng lượng là gián đoạn.

Kí hiệu các trị riêng ấy là Các hàm riêng tương ứng là (x) Các hàm

ấy là hàm sóng ứng với trạng thái có năng lượng là , nên có thể viết:

(x)= (x)Theo định lí về tính chất đủ của hệ các hàm riêng của toán tử (năng lượng)hecmit, ta có giống như (2.1.1):

W( =| | (2.3.3) Nếu hàm sóng trong biểu diễn mới cũng được chuẩn hóa Thực vậy,trong phương trình chuẩn hóa vừa viết trên nếu ta thay (x) bằng biểu thứcphân tích của nó:

(x)= φ a n EE  ψ (x)nn

(x)=  φ* a m E E  ψ* m (x)m

Thì ta sẽ có: a m a n φ* E  φ  EEm  ψ* Enxψ  xdx 1

n m

Vì hàm sóng trong x-biểu diễn được chuẩn hóa, nên tích phân ở vế đầu

có giá trị là Sau khi lấy tổng theo m thì phương trình trở thành:

φ E  φ E   φ E  2  1

Đó là điều kiện chuẩn hóa hàm song trong E-biểu diễn.

Dựa vào điều kiện trực chuẩn của hàm sóng (x) có:

∫ (2.3.5) thể tính được hàm sóng trong E-biểu diễn Biến đổi này được thực hiệnnhờ hàm (x) là liên hiệp phức của hàm riêng của toán tử năng lượng trong

x-biểu diễn, còn công thức (2.3.1) chính là công thức biến đổi từ E-biểu diễnsang x-biểu diễn, biến đổi được thực hiện nhờ (x)

Từ (2.3.2) và (2.3.5) ta thấy hàm sóng trong E-biểu diễn là tập hợp các hệ sốphân tích hoặc hàm của biến số độc lập E Biến số này nhận cácgiá trị gián đoạn, cho các chỉ số n các giá trị lần lượt là 1,2,3 ta sẽ được

Giá trị trung bình của các đại lượng vật lý không phụ thuộc vào việc lựachọn biểu diễn Ta biết dạng của biểu thức giá trị trung bình của một đạilượng vật lý L trong trạng thái bất kỳ biểu diễn bằng hàm sóng ψ là:

̅∫ ̂

*Ta tìm giá trị trung bình của năng lượng:

Phân tích hàm sóng theo hàm riêng của toán tử năng lượng

nthay vào biểu thức tính giá trị trung bình:

= c*

n m n cm Lnm

Trong đó là phần tử ma trận của toán tử ̂ trong E biểu diễn

Ta có thể viết lại dưới dạng phương trình ma trận: ̅

Trong đó là ma trận một cột [ ]

còn là ma trận một hàng [ ]

2.4 Biểu diễn Schrodinger

Vectơ trạng thái phụ thuộc tường minh vào thời gian còn các toán tử không phụ thuộc tường minh vào thời gian trong đó tọa độ và xung lượngchọn như sau:

2.5 Biểu diễn Heisenberg

Các vectơ trạng thái không phụ thuộc tường minh vào thời gian còn sựphụ thuộc tường minh vào thời gian là ở các toán tử Vectơ trạng thái trongbiểu diễn Heisenberg được ký hiệu là:

Trong biểu diễn Schrodinger: ̂

Chọn ở thời điểm ban đầu: , ̂ ̂

Vectơ trạng thái tại thời điểm bất kỳ t được suy ra từ vectơ trạng thái tại thờiđiểm .

Tính các giá trị trung bình của các đại lượng ̂ trong hai biểu diễn và hai giátrị đó phải bằng nhau

⟨ ̂

⟩Giả sử rằng trong phép biến đổi Unita nói trên ̂ biến thành ̂ , thì giá trị trung bình:

Trong biểu diễn S: ⟨ ̂ ⟩=⟨ ̂ ⟩

Trong biểu diễn H: ⟨ ̂ ⟩=⟨ ̂ ⟩=⟨ ̂ ⟩

Ta thấy rằng toán tử U phải thỏa mãn phương trình S:

Với điều kiện ban đầu: U(0)=I

Nếu ̂ không phụ thuộc tường minh vào thời gian thì U sẽ có dạng:

H

i

Hˆ t ħ

i

Hˆ t

vì ̂ ̂

i Hˆ

t  i Hˆ t

Do đó có thể viết: ħ

̂ ħ ̂ ħTrong trường hợp này toán tử Haminton trong hai biểu diễn là như nhau

ħ

 i tHˆ

 i Hˆ t ħ

i

H F  F H  i H, F 

= ˆ ˆ

ħ  H ˆ ˆ ˆ ˆH  ħ  H Vậy sự thay đổi của toán tử ̂ theo thời gian được xác định bằng phương trình sau:

 pˆ H  t 

t [̂ (2.5.2) ̂]

pˆ ˆ

̂không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên U(t) phụ thuộc vào t qua q

tọa độ trong biểu diễn H