Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn trong cơ học lượng tử

Để nghiên cứu các đại lượng động lực của hệ các hạt vi mô, người ta có thể dùng các biểu diễn khác nhau.. Mỗi bài toán trong cơ học lượng tử thì sẽ có một cách giải quyết riêng và việc c

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn

trong cơ học lượng tử” đã được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự

giúp đỡ tận tình của gia đình, bạn bè và thầy cô

Qua đây, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo hướng dẫn –Pgs.Ts

Nguyễn Thị Hà Loan đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình

tham gia khóa luận

Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Vật lý lý

thuyết, khoa Vật lý trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành khoa luận này

Xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình,bạn bè trong suốt quá trình làm khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Nga

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành

với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn của Pgs.Ts Nguyễn Thị Hà

Loan Các dữ liệu đưa ra trong khóa luận là hoàn toàn trung thực và không

trùng với các công trình nghiên cứu của các tác giả khác

Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018

Sinh viên

Nguyễn Thị Nga

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 3

1.1 Tọa độ 3

1.2 Xung lượng 4

1.3 Mômen xung lượng 5

1.4 Năng lượng 7

Kết luận chương 1 9

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN 10

2.1 Biểu diễn tọa độ 10

2.2 Biểu diễn xung lượng 11

2.3 Biểu diễn năng lượng 13

2.4 Biểu diễn Schrodinger 16

2.5 Biểu diễn Heisenberg 16

2.6 Biểu diễn tương tác 20

Kết luận chương 2 22

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄNTRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 23

3.1 Bài tập về các trạng thái lượng tử trong các biểu diễn khác nhau 23

3.2 Bài tập về các toán tử trong các biểu diễn khác nhau 29

Kết luận chương 3 38

KẾT LUẬN 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

mô mà cơ học lượng tử là cơ sở đầu tiên giúp con người tìm hiểu và chinh phục thế giới đó Cơ học lượng tử là một phần khá trừu tượng trong vật lý lý thuyết, có những khái niệm vốn quen thuộc trong vật lý học cổ điển

Có thể định nghĩa một cách tóm tắt cơ học lượng tử là lý thuyết của những nguyên tử và hạt nhân Nguyên tử có kích thước vào cỡ 10-8cm, còn hạt nhân có kích thước vào cỡ 10-13cm Những vật có kích thước như vậy và nhỏ hơn được gọi là những vật vi mô

Để nghiên cứu các đại lượng động lực của hệ các hạt vi mô, người ta có thể dùng các biểu diễn khác nhau Mỗi bài toán trong cơ học lượng tử thì sẽ

có một cách giải quyết riêng và việc chọn dùng biểu diễn nào để giải quyết bài toàn ấy là đơn giản nhất, mà vẫn cho kết quả mô tả đầy đủ tính vật lý của

hệ vật lý vi mô là rất cần thiết và quan trọng

Thêm vào đó việc giải bài tập một mặt rèn luyện kỹ năng, mặt khác còn

để củng cố lý thuyết Phải nắm được lý thuyết, hiểu nó mới có thể vận dụng

để tìm tòi ra nhiều điều khác có liên quan Giúp nắm chắc và hiểu lý thuyết sâu sắc hơn

Vì vậy, tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài về: “ Một số bài tập về

lý thuyết biểu diễn trong cơ học lượng tử”

2 Mục đích nghiên cứu

Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải quyết một số bài tập về lý thuyết của các hạt vi mô

2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các đại lượng động lực trong cơ học lượng tử

Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải quyết một số bài tập trong cơ học lượng tử

4 Đối tượng nghiên cứu

Các đại lượng động lực và dạng của chúng trong các biểu diễn khác nhau

Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp của vật lý lý thuyết và vật lý toán học

Phương pháp của lý thuyết biểu diễn của cơ học lượng tử

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì khóa luận bao

gồm ba chương:

CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

3

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Tọa độ

Các hạt vi mô vừa có tính chất sóng vừa có tính chất hạt cho nên các đại lượng động lực mô tả trạng thái của hạt như tọa độ, xung lượng, momen xung lượng, năng lượng, ở thời điểm t sang thời điểm t’ đã khác đi và nó không tuân theo qui luật cổ điển mà nó tuân theo qui luật lượng tử tức là các trạng thái này không hoàn toàn đồng thời xác định Để mô tả được trạng thái của các hạt vi mô thì các đại lượng động lực này có qui luật mới là a.b # b.a

do đó các đại lượng động lực trở thành các toán tử theo nguyên lý tương ứng Để tìm dạng tường minh của các toán tử biểu diễn biến số động lực chúng ta chú ý rằng cơ học cổ điển là trường hợp giới hạn của cơ học lượng

tử (khi kích thước của các vật mà ta xét tang lên tới mức vĩ mô) Như vậy ta

có thể thừa nhận một cách tự nhiên rằng:

Những toán tử cơ học lượng tử thỏa mãn những hệ thức giống như hệ thức giữa các đại lượng động lực tương ứng trong cơ học cổ điển (không chứa đạo hàm) Đó là nguyên lý tương ứng

Toán tử tọa độ ̂ Xét trường hợp hạt chuyển động trên trục x, trạng thái của hạt mô tả bởi hàm sóng x) đã được chuẩn hóa Toán tử tọa độ ̂ phải là ecmit và có dạng thế nào để trị trung bình của tọa độ cho bởi công thức:

̅ ∫ ̂ (1.1.1) Nếu gọi p(x) là mật độ xác suất đẻ tọa độ có giá trị là x thì trị trung bình của

x là:

̅ ∫ Theo cách giải thích của Boocnơ về ý nghĩa của hàm sóng thì:

P(x)=| | Vậy ̅ ∫

Các thành phần đó là các toán tử biểu diễn hình chiếu của vectơ

mômen xung lƣợng lên các trục x,y,z Nếu chọn

̂

̂

̂

Các thành phần của toán tử mômen xung lƣợng tuân theo những hệ thức

giao hoán quan trọng sau đây:

[ ̂ ̂] ̂ [ ̂ ̂] ̂ (1.3.5) [ ̂ ̂] ̂

Đồng thời:

[ ̂ ̂] [ ̂ ̂] [ ̂ ̂] (1.3.6)

Từ các hệ thức trên ta thấy rằng không thể đo đƣợc một cách chính xác đồng thời hình chiếu của mômen xung lƣợng lên hai trong ba trục tọa độ vuông góc Nếu đã đo đƣợc chính xác chẳng hạn, thì đồng thời không thể đo

7

được chính xác hoặc Có thể đo được chính xác đồng thời bình phương của mômen xung lượng và hình chiếu của nó lên một trục bất kì Đôi khi để cho thuận tiện, người ta đưa vào các toán tử sau đây:

̂ ̂+ ̂ ; ̂ ̂ ̂ (1.3.7) Các toán tử ấy tuân theo những hệ thức giao hoán:

8

p2  

2m

Trong đó m là khối lượng của hạt, V(x,y,z) là biểu thức của thế năng,

Theo nguyên lý tương ứng thì toán tử năng lượng toàn phần (hay toán tử Hamintơn) cũng tuân theo một biểu thức tương tự biểu thức (1.4.1), trong đó các đại lượng động lực được thay thế bằng các toán tử tương ứng: p2   H V x, y, z 2 ˆ m ˆ   ˆ ˆ , (1.4.2) Trong đó

̂ ̂ ̂ ̂

=( i

x   ħ ) +( i y   ħ ) ( i z   ħ ) = (

2 2 2 2 2 2 x y z         ) =

Và ̂

̂

̂

Vậy: ̂ =

2m ħ

9

Kết luận chương 1

Ở trong chương 1, tôi đã trình bày về các khái niệm cơ bản: Tọa độ, Xung lượng, Mômen xung lượng, Năng lượng

Trong cơ học lượng tử, thì các đại lượng động lực này đã có biểu thức

có dạng giống như trong cơ học cổ điển nhưng viết đối với các toán tử Các đại lượng động lực của các hạt vi mô không đồng thời xác định nên không thể đo chính xác nó trong cùng một trạng thái Sai số của phép đo các đại lượng vật lý tuân theo hệ thức bất định Heisenberg

10

CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN 2.1 Biểu diễn tọa độ

Xét một hàm sóng ψ(x) biểu diễn một trạng thái của một hạt Ta gọi ψ(x)

là hàm sóng trong biểu diễn tọa độ hay trong x-biểu diễn Cho một toán tử ̂ biểu diễn một biến số động lực Các hàm riêng của toán tử ̂ được kí hiệu là (x), các hàm riêng này hợp thành một hệ đủ Nói cách khác ta có thể biểu diễn ψ(x) dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng (x):

ψ(x)=∑ (x) (2.1.1) tổng lấy theo toàn bộ các giá trị có thể của chỉ số nguyên n Nếu biết tất cả các hệ số thì ta có thể xây dựng được tổng ở (2.1.1), tức là biết được biểu thức ψ(x) Tập hợp các hệ số hoàn toàn có thể thay cho ψ(x) để mô tả trạng thái của hạt, người ta nói rằng: tập hợp các hệ số là hàm sóng của hạt trong L-biểu diễn Việc lựa chọn hệ hàm riêng của những toán tử vật lý nào, được gọi là việc chọn biểu diễn

Biểu diễn tọa độ kí hiệu trạng thái lượng tử bởi chỉ số a Hàm sóng phụ thuộc vào tọa độ và kí hiệu là (chữ x kí hiệu một hoặc một tập hợp tọa độ)

Bình phương mô đun hàm sóng đã chuẩn hóa trong biểu diễn tọa độ bằng mật độ xác suất để trong trạng thái đã cho tọa độ x có giá trị xác định

Hàm phân bố xác suất cho tọa độ x trong trạng thái ψ(x) là:

| |

Và do đó:

∫ ̂ ∫| | ∫ Nghĩa là: ̂

Như vậy, trong biểu diễn tọa độ, toán tử tọa độ là toán tử nhân với tọa

độ, khi tác dụng lên hàm sóng nó chỉ là thừa số nhân

11

Xét trong không gian vecto 3 chiều thông thường:

̂

2.2 Biểu diễn xung lượng

Biểu diễn xung lượng hay p-biểu diễn chú ý rằng trị riêng của toán tử xung lượng có giá trị liên tục Hàm riêng của toán tử xung lượng, ứng với trị riêng p, trong biểu diễn tọa độ là:

(x) Hàm này được chuẩn hóa:

∫ (x)dx= (p- ) (2.2.1) Bây giờ phân tích hàm sóng (x) của trạng thái a trong x-biểu diễn theo hệ

12

(x)= 1

2πħ exp(ipx

Hệ số 1

2πħ xuất hiện do điều kiện chuẩn hóa Nếu xét trong không gian 3 chiều thì:

    3

2

 

 

 ħ

Như vậy hàm biến đổi từ x-biểu diễn sang p-biểu diễn có dạng

2π exp

 

 

 



ħ

* Ta tìm dạng của các toán tử động lực trong biểu diễn xung lượng

Toán tử xung lượng được biểu diễn bằng một ma trận có các phần tử như

sau:

∫ ̂

= ∫

Đó là một ma trận chéo liên tục Phương trình toán tử trong p-biểu diễn: ∫

=∫

 ̂

Như vậy,trong biểu diễn xung lượng, toán tử vectơ xung lượng vẫn chỉ là phép nhân với xung lượng -Toán tử tọa độ được biểu diễn bằng một ma trận có các phần tử như sau: ∫ ̂

14

Biểu diễn năng lượng hay E-biểu diễn Để đơn giản, ta xét trạng thái của một hạt chuyển động trong một trường ngoài có năng lượng âm, như vậy trị riêng của năng lượng là gián đoạn

Kí hiệu các trị riêng ấy là Các hàm riêng tương ứng là (x) Các

hàm ấy là hàm sóng ứng với trạng thái có năng lượng là , nên có thể viết:

(x)= (x) Theo định lí về tính chất đủ của hệ các hàm riêng của toán tử (năng lượng)

hecmit, ta có giống như (2.1.1):

(x)=

n

n E n

Bây giờ biến số độc lập của hàm sóng trong E-biểu diễn có những giá trị

gián đoạn Bình phương môđun của hàm sóng xác định xác suất để năng

lượng có giá trị E:

Nếu hàm sóng trong biểu diễn mới cũng được chuẩn hóa Thực vậy,

trong phương trình chuẩn hóa vừa viết trên nếu ta thay (x) bằng biểu thức phân tích của nó:

Vì hàm sóng trong x-biểu diễn được chuẩn hóa, nên tích phân ở vế đầu

có giá trị là Sau khi lấy tổng theo m thì phương trình trở thành:

Đó là điều kiện chuẩn hóa hàm song trong E-biểu diễn

Dựa vào điều kiện trực chuẩn của hàm sóng (x) có:

∫ (2.3.5) thể tính đƣợc hàm sóng trong E-biểu diễn Biến đổi này đƣợc thực hiện nhờ hàm (x) là liên hiệp phức của hàm riêng của toán tử năng lƣợng trong x-biểu diễn, còn công thức (2.3.1) chính là công thức biến đổi từ E-biểu diễn sang x-biểu diễn, biến đổi đƣợc thực hiện nhờ (x)

Từ (2.3.2) và (2.3.5) ta thấy hàm sóng trong E-biểu diễn là tập hợp các hệ số phân tích hoặc hàm của biến số độc lập E Biến số này nhận các giá trị gián đoạn, cho các chỉ số n các giá trị lần lƣợt là 1,2,3 ta sẽ đƣợc

Giá trị trung bình của các đại lƣợng vật lý không phụ thuộc vào việc lựa chọn biểu diễn Ta biết dạng của biểu thức giá trị trung bình của một đại lƣợng vật lý L trong trạng thái bất kỳ biểu diễn bằng hàm sóng ψ là:

̅ ∫ ̂

*Ta tìm giá trị trung bình của năng lƣợng:

Phân tích hàm sóng theo hàm riêng của toán tử năng lƣợng

Trong đó là phần tử ma trận của toán tử ̂ trong E biểu diễn

Ta có thể viết lại dưới dạng phương trình ma trận: ̅

Trong đó là ma trận một cột [ ]

còn là ma trận một hàng [ ]

2.4 Biểu diễn Schrodinger

Vectơ trạng thái phụ thuộc tường minh vào thời gian còn các toán tử không phụ thuộc tường minh vào thời gian trong đó tọa độ và xung lượng chọn như sau:

Sự thay đổi trạng thái theo thời gian trong biểu diễn Schrodinger được biểu diễn bằng phương trình Schodinger:

2.5 Biểu diễn Heisenberg

Các vectơ trạng thái không phụ thuộc tường minh vào thời gian còn sự phụ thuộc tường minh vào thời gian là ở các toán tử Vectơ trạng thái trong biểu diễn Heisenberg được ký hiệu là:

Trong biểu diễn Schrodinger: ̂

Chọn ở thời điểm ban đầu: , ̂ ̂

Tính các giá trị trung bình của các đại lượng ̂ trong hai biểu diễn và hai giá trị đó phải bằng nhau

⟨ ̂ ⟩ Giả sử rằng trong phép biến đổi Unita nói trên ̂ biến thành ̂ , thì giá trị trung bình:

Trong biểu diễn S: ⟨ ̂ ⟩=⟨ ̂ ⟩

Trong biểu diễn H: ⟨ ̂ ⟩=⟨ ̂ ⟩=⟨ ̂ ⟩

 ̂ ̂

̂ ̂

Nếu trong phép biến đổi chính tắc biến đổi thì

̂ ̂ Ngược lại trong biểu diễn H mà: thì ̂

Ta thấy rằng toán tử U phải thỏa mãn phương trình S:

18

̂ Với điều kiện ban đầu: U(0)=I

Nếu ̂ không phụ thuộc tường minh vào thời gian thì U sẽ có dạng:

̂ ̂

i t ˆH ħ

vì ̂ ̂

Do đó có thể viết:

i t ˆH ħ

̂

i t ˆH ħ

ħ ̂ S

i t ˆH

ħ ̂ ̂

Lấy đạo hàm theo thời gian ̂

i t ˆH ħ

Để thấy sự liên hệ giữa các toán tử ̂ ̂ ̂ cũng có dạng như trong cơ học

cổ điển ta phải làm như sau:

Gỉa sử rằng: p2H  

2

ˆm

̂ không phụ thuộc tường minh vào thời gian nên U(t) phụ thuộc vào t qua q

tọa độ trong biểu diễn H

q

ˆˆ

Hq

ˆˆ

ˆˆ

2.6 Biểu diễn tương tác

Gỉa sử khảo sát toán tử Haminton của hệ được chia làm hai phần trong đó:

̂ ̂ ̂ ̂ Toán tử Haminton không có tương tác

̂ Toán tử Haminton đặc trưng cho sự tương tác của cơ hệ

Trong trường hợp này người ta thường dùng biểu diễn tương tác để mô

tả sự thay đổi trạng thái của hệ theo thời gian

Trong biểu diễn tương tác vectơ trạng thái và toán tử đều có thể phụ thuộc tường minh vào thời gian

Các giá trị của các đại lượng vật lý đó đều không phụ thuộc vào biểu diễn mà ta chọn vì thế từ biểu diễn này sang biểu diễn khác phải được thực hiện bằng phép biến đổi Unita

Ta hãy thực hiện một phép biến đổi Unita:

̂ ̂ ̂ Chọn toán tử Unita vì ̂ ̂

0

i t ˆH

eħ ̂ 0

i t ˆH

eħ ̂ 0

i t ˆH

eħ