Hệ thức lượng trong tam giác là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng của chương trình toán học phổ thông. Mặt khác, nó còn gắn liền với thực tế qua những bài toán tìm cạnh, góc, diện tích đơn giản, … trong một tam giác cho đến những bài toán khó đòi hỏi nhiều tính toán, suy luận. Trong chương trình toán học lớp 10, sách giáo khoa giới thiệu cho học sinh một số bài toán khá thú vị cho thấy ứng dụng thực tế của hệ thức lượng trong tam giác. Đồng thời sách giáo khoa cũng cho học sinh giải một số bài tập về giải tam giác. Tuy nhiên những bài tập đó chủ yếu chỉ rèn cho học sinh khả năng sử dụng máy tính cầm tay, không có nhiều dạng bài tập đòi hỏi khả năng tư duy, suy luận. Bên cạnh đó, với thời lượng học toán 7 tiết 1 tuần ở học kỳ II, tôi tin rằng việc cung cấp cho học sinh thêm một số bài tập về “ Hệ thức lượng trong tam giác” là điều cần thiết để các em trao dồi, rèn luyện thêm những kỹ năng, khả năng suy luận toán học. Đó cũng là lý do mà tôi chọn viết chuyên đề này.
Trang 1I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1 Họ và tên: ĐẶNG THỊ HỒNG VÂN.
2 Ngày tháng năm sinh: 01 - 05 - 1978.
3 Giới tính: Nữ.
4 Địa chỉ: 1/4, Tổ 24, Kp 4, P Bửu Long, Tp Biên Hòa.
5 Điện thoại: 0613 951729.
6 Chức vụ: Giáo viên.
7 Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền.
II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
1 Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học.
2 Năm nhận bằng: 2000.
3 Chuyên ngành đào tạo: Toán học.
III KINH NGHIỆM KHOA HỌC
1 Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy toán.
2 Số năm kinh nghiệm: 11 năm.
Trang 2B Đề tài
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Hệ thức lượng trong tam giác là một trong những nội dung cơ bản và quan trọng của chương trình toán học phổ thông Mặt khác, nó còn gắn liền với thực tế qua những bài toán tìm cạnh, góc, diện tích đơn giản, … trong một tam giác cho đến những bài toán khó đòi hỏi nhiều tính toán, suy luận Trong chương trình toán học lớp 10, sách giáo khoa giới thiệu cho học sinh một số bài toán khá thú vị cho thấy ứng dụng thực tế của hệ thức lượng trong tam giác Đồng thời sách giáo khoa cũng cho học sinh giải một số bài tập về giải tam giác Tuy nhiên những bài tập đó chủ yếu chỉ rèn cho học sinh khả năng sử dụng máy tính cầm tay, không có nhiều dạng bài tập đòi hỏi khả năng tư duy, suy luận Bên cạnh đó, với thời lượng học toán 7 tiết/
1 tuần ở học kỳ II, tôi tin rằng việc cung cấp cho học sinh thêm một số bài tập về “ Hệ thức lượng trong tam giác” là điều cần thiết để các em trao dồi, rèn luyện thêm những kỹ năng, khả năng suy luận toán học Đó cũng là lý
do mà tôi chọn viết chuyên đề này.
Chắc chắn rằng chuyên đề không thể tránh khỏi những thiếu sót, xin quý thầy cô đóng góp ý kiến để nội dung chuyên đề được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn.
Người viết chuyên đề
Trang 3II NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
A KIẾN THỨC CẦN NẮM:
I HỆ THỨC L Ư ỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH; gọi BH, CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên cạnh huyền BC, đặt AB = c, AC = b, BC = a, AH = h,
CH = b, BH = c Ta có các hệ thức sau:
1
2 ;
3 b.c = a.h
4
5
II HỆ THỨC L Ư ỢNG TRONG TAM GIÁC
Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a và AC = b
1 Định lý côsin :
2 Định lý sin :
A
h
B
a
B
c
b
a
Trang 43 Công thức tính độ dài đ ư ờng trung tuyến :
Cho tam giác ABC, gọi ma , mb , mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến ứng với các cạnh a, b, c Ta có:
4 Công thức tính diện tích :
( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác )
( với ; r bán kính đường tròn nội tiếp tam giác )
(công thức Hê rông)
Trang 5B BÀI TẬP
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, hai trung tuyến AM = 2 và BN = 3 Tính
các cạnh của tam giác ABC
Giải
Vì ABC vuông tại A, nên:
BC = 2AM = 4
Ta có: BN2 = AB2 + AN2
9 = AB2 +
36 = 4AB2 + (1)
Mặt khác: BC2 = AB2 + AC2
16 = AB2 + AC2 (2)
Từ (1)và (2), ta được: AB = và AC =
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC,
CA, AB và EM là đường cao của tam giác EBC Chứng minh rằng:
a)
b)
Giải
a) =
=
=
= = (đpcm) b) =
=
= = (đpcm)
C
A
B
N M
B
E D
Trang 6Bài 3: Cho hình thang ABCD với đường cao AB Biết rằng AD = 3a, BC = 4a,
Tính AB, CD và AC
Giải
Vẽ DH BC ( H BC)
Ta có ADHB là hình chữ nhật, nên:
BCD vuông tại D, nên:
= DH = AB = DH =
Ta lại có: CD = 2a
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC, ta có:
AC =
Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A Vẽ các đường cao AH, BK Chứng minh
rằng:
Giải
Trong tam giác vuông AHC, dựng đường cao HI
Tam giác vuông BKC có:
HI = BK (1)
Ta lại có: (2)
( HI là đường cao của tam giác vuông AHC)
Từ (1) và (2)
A
B
D
C H
A
K I
Trang 7Bài 5: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ vuông tại A và A’ và đồng dạnh với
nhau Chứng minh rằng:
a)
b)
Giải
a) Do ABC A’B’C’, nên:
sin =
cos =
Vậy:
b) Do ABC A’B’C’, nên:
sin =
cos =
Vậy:
C
H h
Trang 8BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có BD là đường phân giác trong của góc
(D AC) Tính chu vi của tam giác trong mỗi trường hợp sau:
a) AD = 4, DC = 5
b) AD = 1, BD =
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A , có , đường cao AH = 6 Tính
HB, AB và AC
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có chu vi bằng 36 Tiếp điểm của đường
tròn nội tiếp tam giác với cạnh huyền chia cạnh huyền làm hai đoạn theo tỉ số Tính độ dài các cạnh
Bài 4: Một tam giác vuông nội tiếp đường tròn đường kính 37 và ngoại tiếp
đường tròn đường kính 10 Tính các cạnh của tam giác này
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác trong của góc A chia
cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài bằng và Tính các cạnh góc vuông và đường cao AH
Bài 6: Cho hình vuông ABCD, từ A kẻ đường bất kỳ cắt BC và CD lần lượt tại E
và F Chứng minh rằng:
Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là một điểm trên cạnh huyền BC.
Chứng minh rằng:
Bài 8: Cho tam giác ABC, có A, B, C là các góc nhọn Gọi AA’là đường cao hạ
từ A, H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC
a) Chứng minh: tanB tanC =
b) Chứng minh: HG // BC tanB.tanC = 3
Trang 9HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC = a và Â =
a) Tính BC theo a và
b) Gọi r là bán kínnh đường tròn nội tiếp ABC CM:
Giải
a)
=
=
b) Ta có: BC = 2BH = 2a
Diện tích ABC là S =
Mặt khác: S = p.r
Do đó: r = =
= = (đpcm)
Bài 2: Cho góc Từ điểm M trong góc , ta dựng MA Ox và
MB Oy Biết AB = 5 Tính OM
Giải
Vì MA Ox và MB Oy
Nên tứ giác OAMB nội tiếp đường tròn đường kính OM
Do đó OAB nội tiếp đường tròn đường kính OM
Áp dụng định lý sin cho OAB, ta có:
A
O
y
M A
60 0
5
Trang 10Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Chứng minh rằng:
Giải
Áp dụng định lý côsin cho ACD, ta có:
Áp dụng định lý côsin cho BC, ta có:
=
( vì AB = DC và cosD = -cosA )
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, cho AB = c, AC = b; r là bán kính đường
tròn nội tiếp tam giác ABC và là độ dài đường phân giác trong của góc A
a) Chứng minh rằng:
b) Chứng minh rằng:
c) Gọi M là điểm trên cạnh BC thỏa Chứng minh rằng:
Giải
a) Ta có:
(đpcm)
b) Ta có:
A
C D
B
A
B
l a
C M
D
Trang 11c) Ta có:
(đpcm)
Bài 5: Cho tam giác ABC có a = 4, b = 3, c = 2 Gọi M là trung điểm của AB.
Tính bán kính x của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM
Giải
Xét tam giác ABC, ta có:
=
CM =
Mặt khác
=
Áp dụng định lý sin cho tam giác BCM, ta có:
Bài 6: Ba cạnh của một tam giác có số đo là : ; 2x + 1;
a) Tìm x để tồn tại tam giác như trên
b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc là 1200
O
M
A
Trang 12a) Để tồn tại tam giác thỏa yêu cầu bài toán, điều kiện là:
x > 1
Vậy: Khi x = 1 thì tồn tại tam giác thỏa yêu cầu bài toán
b) Đặt a =
b =
c = 2x + 1
Ta có: cosA =
= =
 = 1200
Bài 7: Cho tam giác ABC có cạnh a = 9, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với cạnh BC
tại D sao cho AD = DC, cosC =
a) Đặt AD = x Tính b, c theo x
b) Suy ra giá trị của b và c
Giải
a) Đường tròn tâm O nội tiếp ABC và tiếp xúc
với cạnh BC tại D, nên:
x = - c
A
Trang 13Tam giác CDH vuông tại H, có:
cosC = b = (2)
Thay (2) vào (1), ta được c = 9 -
b) Áp dụng định lý côsin cho ABC, ta có:
Vậy: b = 4 và c = 7
Bài 8: CMR với mọi tam giác có ba cạnh a, b, c thỏa mãn điều kiện ,
ta luôn có : trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp, h là dộ dài đường cao hạ xuống cạnh c
Giải
Diện tích của tam giác: S =
Vì a + b > c, nên < (1)
Mặt khác:
Trang 14
Bài 9: Chứng minh công thức Hê rông trong đó S là diện tích , a, b, c là ba cạnh của tam giác và
Giải
Ta có p – a =
p – b =
p – c =
Do đó: p(p – a)(p – b)(p – c) =
= =
= = = S2
Vậy:
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tính các góc của tam giác ABC biết:
a) ; b = ; c =
b) ; b = ; c =
Bài 2: Cho tam giác ABC có cạnh a = 6, b = 7, c = 8 Chỉ áp dụng định lý côsin
Trang 15Bài 4: Cho tam giác ABC, biết  = 1200 , cạnh BC = 13 và AB + AC = 15 Tính
AB và AC
Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a, O là giao điểm của AC và BD, M là trung
điểm của AB Tính bán kính đường tròn ngọai tiếp tam giác OMC
Bài 6: Tính góc  của tam giác ABC, biết ba cạnh của nó thỏa:
a)
b)
Bài 7: Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA lần
lượt tại M, D, N Biết AN = 2, CN = 3, Tính các cạnh của tam giác
Bài 8: Gọi B là điểm cố định nằm trong (O,R) Hai dây AB và CD di động luôn
qua P và vuông góc với nhau
a) CMR: AC2 + BD2 = const
b) CMR: PA2 + PB2 +PC2 + PD2 = const
c) Gọi I là trung điểm của AC, chứng minh OI =
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A , hai cạnh góc vuông là b và c M là một
điểm trên cạnh BC sao cho CMR:
Bài 10: Cho tam giác ABC có , R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp Tính bán kính x của đường tròn ngoại tiếp ACI
Bài 11: Cho tam giác ABC có các đường cao , , Tính diện tích tam giác ABC
Bài 12: Cho tam giác ABC có ba cạnh a, b, c và trung tuyến AM = Chứng
minh rằng:
a)
b)
Trang 16Bài 14: Chứng minh trong tam giác ABC, ta có:
a)
b)
c)
d)
Bài 15: Gọi a, b, c lần lượt là độ dài của ba cạnh của tam giác ABC Tam giác
ABC là tam giác gì nếu:
a)
b)
c)
Bài 16: Gọi S là diện tích tam giác Chứng minh
a)
b)
c)
d)
Bài 17: Cho tam giác ABC có cosA = Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho
, DA = 6, BD = Tính chu vi tam giác ABC
Bài 18: Cho tam giác ABC có độ đài ba cạnh a, b, c; p là nửa chu vi, r là bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác đó Chứng minh:
Trang 17SỬ DỤNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ
THỨC GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC
Bài 1: Cho tam giác ABC CMR: a.cosA + b.cosB + c.cosC = 4R.sinA.sinB.sinC
Giải
VT = 2RsinA.cosA + 2RsinB.cosB + 2R.sinC.cosC
= R(sin2A + sin2B + 2sinC.cosC)
= R(2sin(A +B).cos(A – B) + 2sinC.cosC)
= R(2sinC.cos(A – B) + 2sinC.cosC)
= 2RsinC[cos(A – B) - cos(A + B)]
= -4RsinC.sinA.sin(-B)
= 4RsinC.sinA.sinB
Bài 2: Cho tam giác ABC CMR: (a - b)cot + (b - c)cot + (c - a)cot = 0
Giải
Áp dụng định lý sin, ta có:
(a - b)cot = 2R(sinA - sinB)cot
= 4Rcos sin
= 4Rsin sin
= 4R.sin
= 2R(cosB – cosA) (1)
CM tương tự: (b - c)cot = 2R(cosC – cosB) (2)
(c - a)cot = 2R(cosA – cosC) (3)
Từ (1), (2), (3) ta suy ra:
Trang 18BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho ABC CMR:
Bài 2: Cho ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc với các cạnh tại CMR: a)
b)
c) với S, S’ là diện tích ABC và A’B’C’
Bài 3: Cho ABC, có:
a) Tính
b) Chứng minh:
Bài 4: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
a)
b)
c)
d)
Trang 19
-LỊCH SỬ CỦA HERON ( Thế kỷ I - II sau công nguyên)
Heron là nhà toán học và vật lý vùng Alexandria, không biết ngày sinh và ngày mất Các công trình của ông về các chủ đề về toán học và vật
lý học thì quá phong phú về nội dung cũng như nhiều về số lượng tới mức
mà người ta thường xem ông là một tác gia bách khoa trong lĩnh vực này.
Có những lý do giả định rằng ông là một người Ai Cập được huấn luyện theo kiểu Hy Lạp Trong mọi luận văn của ông thường nhắm đến tính hữu dụng thực tiễn hơn là tính hoàn chỉnh về lý thuyết, điều đó cho thấy có sự pha trộn giữa Hy Lạp và phương Đông Ông quan tâm đến việc xây dựng một nền móng khoa học cho kỹ thuật và cho trắc địa.
Các công trình của Heron có thể chia thành hai lớp : hình học ( công trình Metrica) và cơ học Các công trình về hình học nói đến các vấn đề đo lường còn các công trình về cơ học thì mô tả các thiết bị cơ học rất khéo léo (công trình Pneumatica, Dioptra và Catotrica).
Công trình quan trọng nhất của Heron là "Metrica" về hình học gồm
ba quyển và được tìm thấy ở Constantinple bởi R Schone vào năm 1896 Quyển I nói về việc đo diện tích của hình vuông, hình chữ nhật, hình tam giác, hình thang, các tứ giác đặc biệt khác nhau, các đa giác đều , vòng tròn
và các cung tròn, ellip, diện tích các hình trụ, hình nón, hình cầu và đới cầu Trong tác phẩm này, Heron đã rút ra được một công thức nổi tiếng để tính diện tích một tam giác theo ba cạnh S = trong đó
p = Heron còn đưa ra cách tính xấp xỉ về căn bậc hai của một số nguyên không chính phương Quyển II của Metrica nói về cách tính thể tích các hình nón, trụ, hình hộp, hình lăng trụ, hình chóp, hình nón cụt, hình cầu, các đới cầu Quyển III nói về cách chia một số diện tích và thể tích các thành phần theo các tỉ số cho trước.