HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN

HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN HÌNH 10 CHUYÊN đề 2 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và ĐƯỜNG TRÒN

HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN

BÀI 1 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A TÓM TẮT KIẾN THỨC

1 Định lí Côsin

 Kí hiệu:

Cho ABC có các góc là A, B, C, cạnh đối

diện tương ứng theo thứ tự đó là a, b, c

2 Định lí sin

 Kí hiệu:

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC.

2R sin A sin Bsin C

3 Độ dài đường trung tuyến

 Kí hiệu:

m , m , m là các trung tuyến vẽ từ các đỉnh

A, B, C

2 a

2 b

2 c

m

4

m

4

m

4







4 Công thức tính diện tích tam giác

 Kí hiệu:

S là diện tích tam giác ABC

h , h , h là các đường cao vẽ từ các đỉnh A,

B, C

r là bán kính đường tròn nội tiếp của tam

giác

2p a b c   là chu vi tam giác

HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN

     

abc

4R

B CÁC DẠNG TOÁN

DẠNG 1 TÍNH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC

Ví dụ 1 Cho ABC có a 13, b 8,c 7.  

a) Tính góc A, suy ra S, h , R, r, m a a

b) Tính S, suy ra A, h , R, r, m a a

Ví dụ 2 Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O,

R 6, biết B 45 ,C 60    

a) Tính các cạnh tam giác

b) Tính S, sinA, ha, r

Ví dụ 3 Cho ABC cân tại A, góc đáy

B C 30 ,   cạnh đáy BC a  3

a) Tính R, r

b) Tính mb  ma mbm a

DẠNG 2 CHỨNG MINH QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC

Ví dụ 4 CMR: Với mọi tam giác vuông có hai cạnh góc vuông b, c thì b c 2 R r     

Ví dụ 5 CMR: Với mọi tam giác ABC thì

4S

Ví dụ 6 CMR: Với mọi tam giác ABC thì

a sin 2B b sin 2A

4





DẠNG 3 NHẬN DẠNG TAM GIÁC

Ví dụ 7 Chứng minh nếu các cạnh tam giác thỏa

mãn

2

2

a

b c a

1





 



   

Ví dụ 8 Nhận dạng tam giác ABC nếu ta có:

   

1

4

Ví dụ 9 Tìm tính chất đặc biệt của tam giác

ABC nếu ta có: 2a cos A b cos C c cos B. 

C BÀI TẬP

Bài 1 Cho ABC có cạnh AB b 4, 

AC c 3,  BC a 5  và diện tích S 3 3.

a) Tính góc A và cạnh a

b) Tính R, r

Bài 2 Cho ABC có chu vi 2p 3  3 sao

cho A 3C và B 2C.

a) Tính các cạnh a, b, c

b) Tính ma

Bài 3 Cho ABC có a 13, A 120 , 

 

b c 15 b c   

a) Tính b, c và S

b) Tính R, r và ma

Bài 4 Cho ABC có a 2 3, b 2 2,

a) Tính góc A, B, C

b) Suy ra giá trị sin15 

Bài 5 Cho hình bình hành ABCD, tâm O, đường

chéo AC 4 và đường chéo BD 2 hợp với nhau góc 60  Cho biết AC BC.

a) Tính các cạnh và diện tích hình bình hành b) Tính tích R.r của các bán kính của hai đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác ABC

Bài 6 Cho ABC có b c 2a.  CMR:

a) 2sin A sin B sin C. 

Bài 7 Nhận dạng ABC nếu có m2bm2c 5m 2a

Bài 8 Cho ABC đều cạnh a Trên các cạnh

AB, BC, CA lấy các điểm A, N, P cho bởi

HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN

AM BN CP x   0 x a   

Tìm x để

Bài 9 Cho ABC có đường phân giác trong góc

A là AD m.

a) Cho A 120   CMR:

m b c

b) Cho A tùy ý Gọi I là trung điểm của AD Qua

I, kẻ IEF E AB, F AC  

sao cho







Bài 10 Cho ABC và phân giác AD 12. Cho

DC 6 và DB 4. Tính hai cạnh AB và AC

D BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O

bán kính R với A 60 , C 45    

a) Tính các cạnh tam giác

b) Suy ra giá trị sin105 

Bài 2 Cho ABC có a 6, b 2,c  3 1.

a) Tính các góc trong tam giác

b) Tính ha, R, r

Bài 3 Cho ABC có bc a  2 CMR:

a) sin B.sin C sin A. 2

b) h hb c h a2

Bài 4 Cho ABC vuông tại A CMR:

Bài 5 Cho ABC vuông tại A, trung tuyến AE

Qua trọng tâm G của tam giác ABC kẻ đường

tahwrng cắt AB, AC tại M, N sao cho

a) CMR: 3xy bx cy  với AM x, AN y. 

b) Xác định vị trí của M trên cạnh AB để bài

toán có lời giải

Bài 6 Cho ABC nội tiếp trong đường tròn tâm

O bán kính R sao cho đường cao AH R. CMR:

1 sin B.sin C

2



Bài 7 Cho ABC có hai trung tuyến

BM 6,CN 9  hợp với nhau một góc 120  Tính các cạnh tam giác

Bài 8 Cho ABC có góc A 60 ,  nội tiếp trong đường tròn bán kính R 2. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp của ABC Tính bán kính R’ của đường tròn (IBC)

Bài 9 Cho ABC có góc A nhọn Kẻ hai đường cao CE và BF Cho biết EF 2 2 và

a) Tính cosA

b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC

Bài 10 Cho ABC đều cạnh a Tìm tập hợp

điểm M thỏa mãn:

2

2

HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN

BÀI 2 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Phương tích một điểm đối với đường tròn

a Định nghĩa

Cho đường tròn (C) tâm O, bán kính R và một

điểm M tùy ý Phương tích của điểm M đối với

(C), kí hiệu PM/(C),

là số thực OM2 R 2

 

M/(C)

b Quan hệ giữa phương tích và đường tròn

M/(C)

ở ngoài đường tròn (C)

M/(C)

ở trong đường tròn (C)

M/(C)

c Tính chất của cát tuyến

Qua M vẽ cát tuyến tùy ý MAB thì:

M/(C)

Nếu M ở ngoài (C) Kẻ tiếp tuyến MT cho (C):

2 M/(C)

Nếu M ở trong (C): PM/(C) MA.MB

2 Tứ giác nội tiếp đường tròn

a Tứ giác nội tiếp

Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi M là giao điểm của

AB và CD

ABCD nội tiếp đường tròn khi

   

b Tiếp tuyến đường tròn

Cho tam giác ABC Phía ngoài đoạn thẳng AB lấy điểm M

MC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi MA.MB MC  2

 

3 Trục đẳng phương của đường tròn

a Định nghĩa

Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) Trục đẳng phương của hai đường tròn là tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn đó

M / PM/(O) PM/(O')

b Định lí

Trục đẳng phương của (O, R) và (O’, R’) là đường thẳng  vuông góc với đường nối tâm OO’ tại điểm H cách trung điểm I của OO’ một đoạn IH được xác định bởi:

2OO '





c Tính chất

 Trục đẳng phương vuông góc với đường nối tâm

 Khi (O, R) và (O’, R’) cắt nhau tại A và B thì trục đẳng phương là AB

 Khi (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc nhau thì tiếp tuyến chung đi qua tiếp điểm là trục đẳng phương

B CÁC DẠNG TOÁN

DẠNG 1 TÍNH PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN

Phương pháp giải

 Sử dụng định nghĩa: PM/(O) OM2 R 2

 Sử dụng tính chất cát tuyến: PM/(C) MA.MB MA.MB.

 

 Đặc biệt là tiếp tuyến: PM/(C) MT2

(M ở ngoài (O))

Ví dụ 1 Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’)

cắt nhau tại A, B biết rằng OO ' 5a,

R OA 4a, 

24

5

 a) Tính PO'/(O) và PO/(O')

b) OO ' AB H CMR : P  H/(O) PH/(O')

Ví dụ 2 Cho AB 2R là đường kính của đường tròn (O, R) Gọi H là trung điểm của OA Qua H dựng dây PQAB và I là trung điểm của HP

AI cắt (O) tại M Tính IM

Ví dụ 3 Cho đường tròn đường kính AB 2R. Hai dây cung tùy ý AM và BN gặp nhau tại H Tính PA/(BHM)PB/(AHN)

DẠNG 2 CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Phương pháp giải

HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN

A, B, C, D thuộc đường tròn

AB CD M

MA.MB MC.MD



 





   

Ví dụ 4 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi I là trung điểm của BH và J là trung điểm của AH

E là điểm đối xứng của A qua H CMR: Tứ giác IJCE nội tiếp

Ví dụ 5 Cho ABC có đường cao AH Lấy điểm E tùy ý trên AH, đường tròn đường kính AE cắt AB,

AC tại M, N CMR: Tứ giác BMNC nội tiếp

Ví dụ 6 Gọi BE và CF là hai đường cao của ABC M, N là trung điểm của AB và AC CMR: Tứ giác MNEF nội tiếp

DẠNG 3 CHỨNG MINH TIẾP TUYẾN

Phương pháp giải

IA tiếp xúc với đường tròn (ABC) tại A 2

I BC





 





  (I ở ngoài đoạn BC)

Ví dụ 7 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B Lấy điểm M tùy ý trên AB và ở ngoài hai

đường tròn Vẽ tiếp tuyến MD cho (O) và cát tuyến MEF cho (O’) CMR: MD tiếp xúc với đường tròn (DEF)

Ví dụ 8 Cho đường tròn đường kính AB, MN là dây cung tùy ý Đường tròn đường kính MB cắt AB tại

C, đường thẳng CM cắt AN tại E CMR: AM tiếp xúc với đường tròn (MNE)

Ví dụ 9 Cho đường tròn (O) ngoại tiếp ABC Kẻ hai đường cao CE và BF của tam giác Qua A kẻ / /EF,

  cắt CB tại D CMR: DA là tiếp tuyến của (O) tại A

DẠNG 4 CHỨNG MINH MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC ĐOẠN THẲNG

Ví dụ 10 Gọi A, B là hai điểm trong đường tròn (O, R) sao cho AB = R và O là trung điểm của AB Qua

A, B vẽ hai tia song song, cufnh hướng cắt (O) tại M, N CMR:

2

3R

4



Ví dụ 11 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB M là điểm tùy ý trên đường tròn Kẻ MHAB. Đường tròn (M, MH) cắt đường tròn (O) tại EF Dây EF cắt MH tại I CMR: IM = IH

Ví dụ 12 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Kẻ OC AB và Bx là nửa tiếp tuyến tại B Cho

M là điểm tùy ý trên cung phần tư BC AM cắt OC tại N, cắt Bx tại E Kẻ OH AM. CMR: Hai đường tròn (CNM) và (CHE) tiếp xúc nhau tại C

DẠNG 5 DÙNG PHƯƠNG TÍCH CHỨNG MINH ĐIỂM CỐ ĐỊNH TÌM TẬP HỢP ĐIỂM

Ví dụ 13 Cho đường tròn (O, R) và điểm I cố định không nằm trên đường tròn Gọi MN là đường kính di

động của đường tròn CMR: Đường tròn (IMN) luôn luôn đi qua một điểm cố định

Ví dụ 14 Cho đường tròn (O, R) và điểm A cố định cho bởi R = 2OA Gọi BC là dây cung quay quanh

A Vẽ đường tròn đường kính BC và MN là dây cung vuông góc với BC tại A Tìm tập hợp điểm M và N

Ví dụ 15 Cho A cố định ở trong (O, R) cho bởi

2R

3



M là điểm di động thuộc đường tròn Đường thẳng vuông góc với AM kẻ từ O, gặp tiếp tuyến vẽ từ M tại N Tìm tập hợp điểm N

DẠNG 6 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG

Ví dụ 16 Cho ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Đường thẳng vuông góc với AB tại B cắt tại D, đường thẳng vuông góc với AC tại C, cắt AB tại E Gọi M, N là trung điểm của AE và AD CMR:

Ví dụ 17 Cho ABC có các trung tuyến BE và CF Gọi (C1) là đường tròn đường kính BE, (C2) là đường tròn đường kính CF (C1) cắt (C2) tại H, K CMR: A, H, K thẳng hàng

Ví dụ 18 Cho hình thang vuông ABCD, đường cao CD Gọi (C) là đường tròn (A, AC), (C’) là đường

tròn (B, BD) (C) và (C’) gặp nhau tại E, F; EF cắt DC tại I CMR: IC = ID

C BÀI TẬP

HÌNH HỌC 10 – CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ĐƯỜNG TRÒN Bài 1 Hai dây cung AB và CD của đường tròn (O) cắt nhau tại E Hãy tính EC và ED nếu cho biết EA =

12, EB = 16 và CD = 32

Bài 2 Cho đường tròn tâm O và I ở trong đường tròn đó Qua I vẽ dây cung AB tùy ý và dây cung

EF OI. Tiếp tuyến với (O) tại E, F gặp nhau tại C CMR: OACB nội tiếp

Bài 3.

Bài 4.

Bài 5.

Bài 6.

Bài 7.

Bài 8.

Bài 9.

Bài 10.