ÔN TẬP HÀM SỐArranged by: 007 Vấn đề 1: Tiếp tuyến, sự tiếp xúc giữa các đường cong Lý thuyết 1.. Tính hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0= 2 b.. Viết phương trình tiếp tuyến đồ
Trang 1ÔN TẬP HÀM SỐ
Arranged by: 007 Vấn đề 1: Tiếp tuyến, sự tiếp xúc giữa các đường cong
Lý thuyết
1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (x0; y0) thuộc đồ thị (C) của hàm số y = f(x) có dạng
y = f0(x0)(x − x0) + y0 (y0= f (x0))
f0(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến
2 Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình
f (x) = g(x)
f0(x) = g0(x)
có nghiệm và nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ tiếp điểm của hai đường cong đó
Số nghiệm của hệ là số điểm tiếp xúc
Bài tập
1.1 Cho (P) y = x2
a Tính hệ số góc tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0= 2
b Viết phương trình tiếp tuyến ở câu a
c Viết phương trình tiếp tuyến với (P) biết tiếp tuyến đi qua M(2;1)
1.2 Tìm b, c sao cho đồ thị hàm số y = x2+ bx + c tiếp xúc với đường thẳng y = x tại (1;1)
1.3 Cho 2 hàm số y = 1
x√
2 và y =
x2
√
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị các hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa các tiếp tuyến
1.4 Cho y = x3− 3x + 2 có đồ thị (C)
a Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc (C) có hoành độ bằng 2
b Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm M thuộc (C) có hoành độ bằng 2
1.5 Xác định m để hàm số y = x3− 2x2− (m − 1)x + m tiếp xúc với trục hoành
1.6 Xác định m để hàm số y = x3+ mx2− 9x − m tiếp xúc với trục hoành
1.7 Cho hàm số y = x3+ mx2+ 1, đồ thị là (Cm)
Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 - x tại 3 điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho tiếp tuyến của (Cm) tại B, C vuông góc với nhau
1.8 Cho hàm số y = x3− 3x + 2
a Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm N(1;-5) kẻ tới đồ thị (C) của hàm số
b Tìm trên trục hoành các điểm M sao cho qua M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C)
1.9 Chứng minh rằng đường cong y = x3− x tiếp xúc với parabol y = x2− 1 tại một điểm nào đó Xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm đó
1.10 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;-2) và tiếp xúc với parabol y = x2− 2x
1.11 Chứng minh rằng các đồ thị của hai hàm số f (x) = x
2
2 +
3
2x và g(x) =
3x
x + 2 tiếp xúc với nhau Xác định tiếp điểm của hai đường cong trên và viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó
1.12 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x4− x2+ 1 tại hai điểm uốn
1.13 Cho hàm số y = x + 1
x − 2
a Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm A của đồ thị với trục tung
b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho, biết rằng tiếp tuyến đó song song với tiếp tuyến tại điểm A 1.14 Cho hàm số y = x − 2
x − 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm (3;3)
1.15 Cho hàm số y = −x + 1
2x − 1 Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B Gọi k1, k2lần lượt
là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B Tìm m để tổng k1+ k2 đạt giá trị lớn nhất
1.16 Cho hàm số y = (2m − 1)x − m
2
x − 1 Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x
1.17 Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y =1
3x
3−m
2x
2+1 3
Trang 2M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1 Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x - y = 0 1.18 Cho hàm số y = 2x
x + 1 Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox,Oy tại A,B và tam giác OAB có diện tích bằng 1
4
1.19 Cho hàm số y = −x4− x2+ 6
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = 1
6x − 1 1.20 Cho hàm số y = −1
3x
3− 2x2+ 3x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất 1.21 Cho hàm số y = x
2+ x − 1
x + 2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C)
1.22 Cho hàm số y = x4− 6x2+ 1 (1)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1;-9)
1.23 Cho hàm số y = x + 2
2x + 3 (1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A,B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O
Vấn đề 2: Giao điểm của hai đồ thị
Lý thuyết
Giao điểm của hai đường cong y = f(x) và y = g(x) có hoành độ và tung độ là nghiệm của hệ phương trình
y = f (x)
y = g(x) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị trên là nghiệm của phương trình
f (x) = g(x)
Bài tập
2.1 Với giá trị nào của m, đường thẳng y = m cắt đường cong y = x4− 2x2− 3 tại bốn điểm phân biệt
2.2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x - m cắt đường cong y = −x2+ 2x
x − 1 tại hai điểm phân biệt 2.3 Cho hàm số y = 2x − 1
x + 1 Với giá trị nào của m, đường thẳng dmđi qua điểm A(-2;2) và có hệ số góc m cắt đồ thị hàm số đã cho
a Tại hai điểm phân biệt
b Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị
2.4 Cho hàm số y = 2x + 1
x + 1 có đồ thị (C) Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + 1 cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng nhau
2.5 Cho hàm số y = x
2− 2x + 4
x − 2 Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 − 2m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt
2.6 Cho hàm số y = x3− 3x + 2
Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) và có hệ số góc là m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân biệt
2.7 Cho hàm số y = x3− 3x2+ 4
Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k ( k > -3) đều cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt I,A,B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB
2.8 Cho hàm số y = x4− (3m + 2)x2+ 3m
Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị hàm số tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2
2.9 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số y = x
2+ x − 1
x tại hai điểm phân biệt A,B sao cho trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc trục tung
2.10 Cho hàm số y = 2x4− 4x2
Trang 3Với giá trị nào của m, phương trình x |x − 2| = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt
2.11 Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = -x + m cắt đồ thị hàm số y = x
2− 1
x tại hai điểm phân biệt A,B sao cho AB = 4
2.12 Cho hàm số y = 2x + 1
x + 1 Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
√
3 (O là gốc tọa độ)
2.13 Cho hàm số y = mx
2+ x + m
x − 1 Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương
2.14 Cho hàm số y = −x2+ 3x − 3
2(x − 1) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A,B sao cho AB=1
2.15 Cho hàm số y = 2x3− 9x2+ 12x − 4
Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt: 2|x3| − 9x2+ 12|x| = m
2.16 Cho hàm số y = x3− 2x2+ (1 − m)x + m
Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện x2+ x2+ x2< 4
Vấn đề 3: Cực trị
Lý thuyết
I Hai quy tắc để tìm cực trị của hàm số
QUY TẮC 1
1 Tìm f0(x)
2 Tìm các điểm xi(i = 1, 2 ) tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm
3 Xét dấu f0(x) Nếu f0(x) đổi dấu khi x qua điểm xi thì hàm số đạt cực trị tại xi
QUY TẮC 2 (dùng cho các hàm số có đạo hàm cấp 2)
1 Tìm f0(x)
2 Tìm các nghiệm xi(i = 1, 2 ) của phương trình f0(x) = 0
3 Tìm f00(x) và tính f00(xi)
Nếu f00(xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm xi
Nếu f00(xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xi
I Tính chất cực trị của các hàm số đã học
Hàm số bậc 3 hoặc là có hai cực trị, hoặc là không có cực trị nào
Hàm số bậc 3 có 2 cực trị ⇔ y0 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1< x2(∆ > 0)
Hàm số bậc 3 không có cực trị ⇔ y0 = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x1= x2(∆ ≤ 0)
Hàm số bậc 3 có 2 điểm cực trị thì 2 điểm đó đối xứng với nhau qua điểm uốn
Hàm số trùng phương y = ax4+ bx + c hoặc là có ba cực trị, hoặc một cực trị
Hàm số trùng phương y = ax4+ bx + c có ba cực trị ⇔ y0 = 0 có 3 nghiệm phân biệt x1< x2= 0 < x3= −x1
Hàm số trùng phương y = ax4+ bx + c có một cực trị ⇔ y0 = 0 có nghiệm duy nhất x = 0
Hàm số trùng phương y = ax4+ bx + c có 3 điểm cực trị thì 2 điểm cực trị trong số đó đối xứng với nhau qua trục tung và cách đều điểm cực trị có hoành độ bằng 0 Tam giác tạo bởi 3 điểm này là tam giác cân
Hàm số bậc nhất / bậc nhất không có cực trị nào
I Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
Giả sử hàm số y = f (x) có hai điểm cực trị A(x1; y1), B(x2; y2)
Ta viết được hàm số y = u(x)f0(x) + v(x) thông qua phép chia đa thức f(x) cho f’(x)
Do f0(x1) = f0(x2) = 0 ⇒ f (xi) = v(xi) i = 1, 2
Nếu f(x) là đa thức bậc 3 thì v(x) là nhị thức bậc nhất ⇒ y = v(x) (số dư trong phép chia đa thức y cho y’) là đường thẳng
đi qua 2 điểm cực trị
I Giao điểm của đồ thị hàm số đa thức với trục hoành
Đồ thị hàm số bậc 3 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt hay phương trình y = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ y0 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1< x2 và f (x1).f (x2) < 0
Đồ thị hàm trùng phương y = ax4+ bx + c cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt hay phương trình y = 0 có 4 nghiệm phân biệt ⇔ y0= 0 có 3 nghiệm phân biệt x1< 0 < x2= −x1 và f (x1).f (0) < 0
Có thể dựa vào việc khảo sát và vẽ đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình y = 0
Bài tập
3.1 Tìm các hệ số a,b,c,d của hàm số
f (x) = ax3+ bx2+ cx + d sao cho hàm số f đặt cực tiểu tại điểm x = 0, f(0) = 0 và đặt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1
Trang 43.2 Xác định hệ số a,b,c sao cho hàm số
f (x) = x3+ ax2+ bx + c đạt cực trị bằng 0 tại điểm x = -2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;0)
3.3 Chứng minh rằng với mọi giá trị m, hàm số
y =x
2− m(m − 1)x + m3+ 1
x − m luôn có cực đại và cực tiểu
3.4 Cho hàm số y = 2
3x
3− mx2− 2(3m2− 1)x +2
3 (1), m là tham số thực Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị x1và x2 sao cho x1.x2+ 2(x1+ x2) = 1
3.5 Cho hàm số y = x3− 3mx2+ 3m2 (1), m là tham số thực
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48
3.6 Cho hàm số y = x4− 2(m + 1)x2+ m2 (1), m là tham số thực
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông
3.7 Cho hàm số y = x4− 2(m + 1)x2+ m (1), m là tham số
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,B,C sao cho OA = BC, O là gốc tọa độ, A là cực trị thuộc trục tung, B
và C là hai điểm cực trị còn lại
3.8 Cho hàm số y = mx4+ (m2− 9)x2+ 10 (1), m là tham số
Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị
3.9 Gọi Cmlà đồ thị của hàm số y = x
2+ (m + 1)x + m + 1
Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng√
20 3.10 Cho hàm số: y = −x3+ 3x2+ 3(m2− 1)x − 3m2− 1 (1), m là tham số
Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ O
3.11 Tìm k để phương trình −x3+ 3x2+ k3− 3k2= 0 có ba nghiệm phân biệt
3.12 Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = mx +1
x (∗), m là tham số Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (Cm) bằng √1
2 3.13 Cho hàm số y = x
2+ 2(m + 1)x + m2+ 4m
Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O
3.14 Cho hàm số y = x3+ mx2+ 7x + 3
a Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu
b Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu đó
Vấn đề 4: Chiều biến thiên của hàm số
Lý thuyết
1 Hàm số đồng biến trên (a;b) nếu với ∀x1< x2∈ (a; b) ⇒ f (x1) < f (x2)
2 Hàm số nghịch biến trên (a;b) nếu với ∀x1< x2∈ (a; b) ⇒ f (x1) > f (x2)
3 Hàm số có đạo hàm trên (a;b) và f0(x) > 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)
4 Hàm số có đạo hàm trên (a;b) và f0(x) < 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)
5 Quy tắc xét chiều biến thiên
a Tìm các điểm tới hạn, tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định
b Dấu của đạo hàm trong các khoảng được xác định bởi các điểm tới hạn
c Từ đó suy ra chiều biến thiên trên mỗi khoảng
Bài tập
4.1 Chứng minh rằng hàm số y = x
x2+ 1 đồng biến trên (-1;1) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞) 4.2 Chứng minh rằng hàm số y =√
2x − x2 đồng biến trên (0;1) và nghịch biến trên các khoảng (1; 2) 4.3 Tùy theo m hãy khảo sát sự biến thiên của hàm số
y = 4x3+ (m + 3)x2+ mx 4.4 Xác định m để hàm số sau luôn nghịch biến trên R
y = (m − 3)x − (2m + 1)cosx 4.5 Xác định m để hàm số y = −x
3
3 + (m − 1)x
2+ (m + 3)x đồng biến trên (0;3)
4.6 Xác định m để hàm số y = x3− 3x2+ 3mx + 3m + 4 đồng biến với mọi x
Trang 54.7 Xác định m để hàm số y = (2m − 1)x − 3mx + 5
x − 1 đồng biến trên [2;5]
4.8 Xác định m để hàm số y = −2x2− 3x + m
2x + 1 nghịch biến trên
−1
2; +∞
Vấn đề 5: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Lý thuyết
I Muốn chứng tỏ rằng số M ( hoặc m ) là giá trị lớn nhất ( hoặc giá trị nhỏ nhất ) của hàm số f trên tập D cần chỉ rõ : a) f (x) ≤ M ( hoặc f (x) ≥ m ) với mọi x ∈ D
b) Tồn tại ít nhất một điểm x0∈ D sao cho f (x0) = M ( hoặc f (x0) = m )
I Giả sử hàm số f liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b), có thể trừ một số hữu hạn điểm Nếu f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc (a;b) thì ta có quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên [a;b] như sau : QUY TẮC
1 Tìm các điểm x1, x2, , xmthuộc (a;b) tại đó hàm số f có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm
2 Tính f (x1), f (x2), , f (xm), f (a) và f (b)
3 So sánh các giá trị tìm được
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của f trên đoạn [a;b], số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của f trên [a;b]
Bài tập
5.1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f (x) =p4 − x2
5.2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau trên
−3;3 2
f (x) =p4 − x2
5.3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x + 1
x − 1 trên khoảng (1; +∞) 5.4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
f (x) = sin4x + cos4x
5.5 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a) f (x) = x2+ 2x − 5 trên [−2; 3]
b) f (x) = x
3
3 + 2x
2+ 3x − 4 trên [−4; 0]
c) f (x) = x + 1
x trên (0; +∞)
d) f (x) = −x2+ 2x + 4 trên [2; 4]
e) f (x) = 2x
2+ 5x + 4
x + 2 trên [0; 1]
f) f (x) = x − 1
x trên (0; 2]
5.6 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a)y = 2sin2x + 2sinx − 1 b)y = cos2x − sinxcosx + 4
Vấn đề 6: Các bài toán khác
Lý thuyết
Các khái niệm về điểm uốn, tâm đối xứng, trục đối xứng, tiệm cận
Cách xác định các đối tượng trên
Bài tập
6.1 Cho hàm số y = x3− 3mx2+ 9x + 1 (1), ( m là tham số )
Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1
6.2 Cho hàm số y = x3− 3x2+ m (1), ( m là tham số )
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ
6.3 Cho hàm số y = mx
2+ (3m2− 2)x − 2
x + 3m (1), ( m là tham số ) Tìm các giá trị của tham số m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng 450