LÝ THUYẾT VỀ CÁC BÀI TOÁN TẤM BÊ TÔNG

đây là các lý thuyết về các bài toán về tấm bê tông xi măng trên nền dành cho các bạn muốn nghiên cứu về nền đường cũng như những áp dụng lý thuyết vào thực tế của các bài toán. các bạn muốn học tốt sức bền thì đây cũng là một dạng toán nâng cao của sức bền.

có cốt thép chịu lực (chỉ có thép làm thanh truyền lực tại khe nối) Các khe co, khe dãn, khe dọc phải có cấu tạo đảm bảo cho tấm co dãn tự do, đồng thời phải đảm bảo truyền lực từ tấm này sang tấm khác khi tải trọng tác dụng gần mép tấm Lớp móng được đặc biệt chú ý đến cường độ, độ ổn định và thoát nước tốt để tăng tuổi thọ cho kết cấu mặt đường

Trên thế giới có nhiều phương pháp thiết kế mặt đường BTXM đường ô tô

và sân bay, sản phẩm cuối cùng của các phương pháp thiết kế là đưa ra được một kết cấu áo đường với kích thước và bố trí vật liệu hợp lý, đáp ứng yêu cầu khai thác

Có thể chia các phương pháp thiết kế thành hai nhóm cơ bản: Thực nghiệm và Cơ học Phương pháp thực nghiệm có tính địa phương, và do đó, khó có thể giải quyết tốt đối với vật liệu mới, các điều kiện mới về tác động của tải trọng và của môi trường Ngược lại, phương pháp cơ học sử dụng phân tích lý thuyết và các tính chất

cơ lý của vật liệu để đưa ra lời giải

Bên cạnh hai nhóm phương pháp cơ bản này, còn có phương pháp nửa thực nghiệm, phương pháp thiết kế định hình theo Catalogue

 Nhóm các phương pháp thực nghiệm:

- Đại diện tiêu biểu cho trường phái này là phương pháp của AASHTO Phương pháp này, về cơ bản dựa trên các mặt đường thực nghiệm, dưới tác dụng của xe chạy trên nền đất đặc trưng bởi hệ số nền (k) hoặc mô đun phản ứng nền hữu hiệu (MR) Phương pháp này được giới thiệu dưới dạng các toán đồ giải các phương

trình thực nghiệm rút ra được từ kết quả của các đợt thí nghiệm, có sửa chữa bổ sung và phát triển qua các thời kỳ

- Phương pháp dựa trên cơ sở thực nghiệm của AASHTO: FAA, DCED,

 Nhóm các phương pháp lý thuyết-thực nghiệm:

- Đại diện tiêu biểu là quy trình СНИП 02.05.08-85 của Liên Xô (cũ) và quy trình СНИП 32.02.97 của CHLB Nga Các quy trình này sử dụng mô đun đàn hồi

để đặc trưng cho cường độ của nền đất và đưa ra 3 tiêu chuẩn để tính toán thiết kế kết cấu áo đường BTXM Mô hình tính toán là tấm trên bán không gian đàn hồi đồng nhất, đẳng hướng

- Quy phạm JTG-D40-2011, [47], của Trung Quốc cũng sử dụng mô đun đàn hồi để đặc trưng cho cường độ nền đường và sử dụng mô hình tấm trên nền đàn hồi nhiều lớp để tính toán kết cấu mặt đường BTXM Đây là một trong những phương pháp mà nước ta đang nghiên cứu ứng dụng, [2], [3]

 Các phương pháp khác:

- Phương pháp tính của CH Pháp, được lập ra trên cơ sở bài toán Burmister

- Phương pháp nửa thực nghiệm của Anh quốc: sử dụng chỉ tiêu CBR

- Phương pháp của Yang H Huang, [43], [44]

 Cơ sở lý thuyết tính toán tấm mặt đường BTXM:

- Cơ sở lý thuyết tính toán tấm BTXM mặt đường ô tô và sân bay trong quy phạm thiết kế của các nước, kể cả phương pháp thực nghiệm AASHTO và một số phương pháp khác dựa trên kinh nghiệm của AASHTO, là đi tìm lời giải cho bài toán “Tấm trên nền đàn hồi”

- Mô hình tính toán tấm trên nền đàn hồi, phổ biến nhất là:

+ Tấm một lớp trên hệ đàn hồi nhiều lớp

+ Tấm hai lớp tách rời trên hệ đàn hồi nhiều lớp

+ Ba vị trí đặc trưng cho tác dụng của tải trọng là: giữa tấm, góc tấm và giữa cạnh tấm Vị trí tác dụng của tải trọng giới hạn sinh ra hư hỏng tổng hợp (do hoạt tải và nhiệt độ gây ra) lớn nhất là ở giữa mép khe dọc của tấm

 Việc giải bài toán “ Tấm trên nền đàn hồi ” hiện nay và những tồn tại:

- Hiện nay, ở nước ta vẫn dùng 22TCN 223-95 và mới đây Bộ GTVT đã ra quyết định tạm thời về Tiêu chuẩn thiết kế, thi công và nghiệm thu mặt đường cứng, [2], [3] Riêng về thiết kế mặt đường cứng sân bay thì ở ta vẫn sử dụng song song hai quy trình : СНИП 32.02.97 của CHLB Nga và FAA của Mỹ

- Bài toán “Tấm trên nền đàn hồi” , đi tìm cách giải quyết hai vấn đề cơ bản

là Tấm và Nền Hiện nay :

+ Tính toán tấm dựa trên lý thuyết tấm của G.R.Kirchhoff, xác định một hàm ẩn duy nhất là độ võng của tấm Vấn đề tồn tại của lý thuyết tấm Kirchhoff là không xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang do lực cắt gây ra trong tấm Và như vậy, chỉ làm thỏa 2 điều kiện biên của tấm

+ Sau khi xác định được độ võng tấm, tính phản lực nền, rồi cho tác dụng trở lại nền để tính toán nền Có nhiều phương pháp tính toán đất nền: R.D.Mindlin, toán đồ của Packard, phương pháp đồ giải của Foster và Ahlvin,…Cùng với kinh nghiệm thi công và khai thác, xác định được kết cấu nền móng dưới tấm BTXM

Như vậy, không tính được đồng thời trạng thái ứng suất-biến dạng của tấm

và nền Nền móng dưới tấm BTXM mặt đường được tính toán gián tiếp

- Đã có nhiều lý thuyết xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang do lực cắt gây ra trong tấm chịu uốn, tiêu biểu nhất là lý thuyết tấm của E.Reissner Theo

lý thuyết tấm của E.Reissner, tiết diện trước biến dạng và sau khi biến dạng vẫn phẳng nhưng không còn thẳng góc với mặt trung bình của tấm Do có xét ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang, nên đã làm thỏa mãn cả 3 điều kiên biên của tấm Đây là điểm khác biệt cơ bản so với lý thuyết tấm của Kirchhoff

- Các tác giả của các tác phẩm [1], [9], [23] đã trình bày một phương pháp tốt để giải quyết hiện tượng “nghẽn cắt” trong dầm và cả trong tấm chịu uốn Tuy nhiên, trong [1], chưa giải quyết được bài toán:

+ Tấm có 4 cạnh hoàn toàn tự do

+ Tấm nằm trên nền đàn hồi

+ Và chưa nghiên cứu về mặt ứng dụng như thế nào trong thực tế

- Có nhiều mô hình mô tả quan hệ giữa độ võng tấm và phản lực đất nền: mô hình Winkler, bán không gian đàn hồi, mô hình Pasternak,….Cần thiết đánh giá đúng tương tác giữa chúng, để làm giảm khối lượng tính toán, tăng độ bền và tuổi thọ công trình

- Trên thế giới có nhiều phần mềm mạnh phục vụ tính toán kết cấu mặt đường BTXM, như: ALIZE’5, COMFAA, KENPAVE, R805FAA,….Tuy nhiên, chúng không cho biết đồng thời trạng thái ứng suất-biến dạng của tấm và của nền

 Lý do lựa chọn đề tài luận án:

Với mong muốn giải quyết tốt hơn bài toán “ Tấm trên nền đàn hồi”, phục vụ

cho việc thiết kế tấm BTXM mặt đường, nghiên cứu sinh lựa chọn đề tài:

“Nghiên cứu phương pháp tính toán tấm bê tông xi măng mặt đường có xét ảnh

hưởng của biến dạng trượt ngang”

 Mục đích nghiên cứu:

Hoàn thiện phương pháp tính tấm trên nền đàn hồi

 Đối tượng nghiên cứu:

Tấm bê tông xi măng mặt đường

 Phạm vi nghiên cứu:

Tính tấm trên nền đàn hồi Winker và trên nền bán không gian đàn hồi, có xét ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang do lực cắt gây ra trong tấm

 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài:

Góp phần hoàn thiện lý thuyết tính toán tấm trên nền đàn hồi, từ đó có những ứng dụng thiết thực vào việc thiết kế tấm BTXM mặt đường ô tô và sân bay

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ MÔ HÌNH NỀN VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TẤM

Chương này, trình bày tổng quan một số mô hình nền, lý thuyết tính toán tấm hiện nay và lý do lựa chọn phương pháp xây dựng bài toán tấm trên nền đàn hồi

1.1 MÔ HÌNH NỀN VÀ TƯƠNG TÁC GIỮA KẾT CẤU VỚI ĐẤT NỀN

Trong những năm gần đây, có rất nhiều mô hình nền đã được xem xét, chẳng hạn: mô hình Filonenko-Borodich, Hentenvy, Pasternak, mô hình đàn dẻo, mô hình phi tuyến và đàn nhớt,… Mỗi mô hình đều có ưu điểm, nhược điểm và phạm vi áp dụng riêng Vấn đề đặt ra là cần thiết phải mô hình hóa và đơn giản hóa sự làm việc của đất nền dưới tác dụng của tải trọng, nhằm giảm khối lượng tính toán và tăng độ bền dự trữ cho công trình Mô hình đàn hồi Winkler và mô hình bán không gian đàn hồi được sử dụng phổ biến nhất:

1.1.1 Mô hình Winkler-mô hình một hệ số nền

Theo mô hình này, độ lún của nền tỷ lệ với tải trọng tác dụng Ý này do Viện

sĩ người Nga Fuksser đề xuất vào năm 1801 và được E.Winkler ứng dụng để tính toán dầm trên nền đàn hồi vào năm 1867

Tuy vậy, mô hình Winkler vẫn được sử dụng rộng rãi, bởi những lý do sau đây:

- Theo mô hình này, coi nền đất như một hệ lò xo cùng độ cứng  k (được gọi là hệ số nền), độ lún của đất nền chỉ xảy ra trong phạm vi đặt tải Độ lún của mặt đất nền cũng là độ lún của tấm đặt trên nền đó và chỉ có chuyển vị thẳng đứng Đây là ưu điểm nổi bật của mô hình Winkler

- Theo AASHTO, FAA, khi tính toán chiều dày tấm BTXM mặt đường ôtô

và sân bay, sử dụng mô đun hữu hiệu của đất nền  M R được xác định thông qua thí nghiệm FWD, để tính hệ số nền theo quan hệ kM R/19.4, sau đó hệ số nền được hiệu chỉnh qua hệ số tổn thất  LS và theo mùa Cuối cùng, đưa hệ số nền đã hiệu chỉnh vào các toán đồ để xác định chiều dày tấm BTXM

- Phương pháp PCA dựa trên công thức của Picket là công thức nửa thực nghiệm, tìm được trên cơ sở về sự làm việc thực tế của nền-mặt đường và kết quả thực nghiệm ở bang Arlinhton (Mỹ) Công thức của Picket sử dụng tham số bán kính độ cứng của tấm bê tông của Westergaard với mô hình hệ số nền Winkler

- Kết cấu mặt đường BTXM được tính toán dựa trên nguyên lý tấm trên nền đàn hồi với lời giải của Westergaard cho 3 trường hợp tải trọng đặt tải ở giữa, ở cạnh và ở góc tấm Công thức của Westergaard dựa trên mô hình Winkler với hệ số nền  k , đã giải quyết được khiếm khuyết của phương pháp Shekter I.A.Mednicov

đã tính đổi từ mô hình hệ số nền  k sang mô hình bán không gian đàn hồi có mô đun đàn hồi  E o và hệ số poisson  o Quan hệ giữa  k và  E được tìm bằng o

cách đồng nhất các công thức tính toán ứng suất cho trường hợp đặt tải ở giữa tấm của Westergaard và của Shekter Kết quả là Mednicov đã tìm được công thức xác định chiều dày tấm BTXM mặt đường cho cả 3 trường hợp đặt tải Dựa vào quan hệ này, Mednicov, Ivanov và Motulev đã soạn được các bảng tính để xác định chiều dày tấm BTXM cho các trường hợp đặt tải và được sử dụng trong 22TCN 223-95

- Theo AASHTO-T222, cường độ của nền đường dưới mặt đường BTXM sân bay được xác định bằng thí nghiệm nén tấm ép đường kính 30 inches, hoặc xác

định bằng cỏch đo mụ đun đàn hồi tĩnh Từ thớ nghiệm đú, xỏc định được hệ số nền Theo FAA, khi thiết kế mặt đường cứng sõn bay khụng nờn sử dụng k500pci

- Hiện nay trờn thế giới, phương phỏp tớnh toỏn mặt đường BTXM sõn bay của FAA và của CH Phỏp được dựng phổ biến nhất, thụng qua cỏc toỏn đồ hoặc cỏc

đồ thị cho từng loại mỏy bay với sơ đồ càng 1 bỏnh và nhiều bỏnh Hệ số nền được

sử dụng là hệ số nền tương đương cho cả nền đất và múng nhõn tạo

- Những năm gần đõy, cú nhiều bài viết nghiờn cứu về tấm trờn nền đàn hồi,

mụ hỡnh nền được sử dụng phổ biến là mụ hỡnh Winkler, [30], [35], [39], [45]

1.1.2 Mụ hỡnh bỏn khụng gian đàn hồi, đồng nhất và đẳng hướng

Nền đất được xem như một bỏn khụng gian đàn hồi đồng nhất và đẳng hướng (sau đõy gọi tắt là nền bỏn khụng gian đàn hồi), cú đặc trưng là mụ đun đàn hồi  E o và hệ số poisson  o Biến dạng của nền đất dưới kết cấu khi chịu ỏp lực

tỏc dụng khụng chỉ trong phạm vi dưới kết cấu mà cả ngoài phạm vi kết cấu, [10]

Mụ hỡnh này được G.Proctor và K.Wieghardt đề xuất từ những năm đầu thế

kỷ XX, sau đú đó được cỏc nhà khoa học N.Gersevanop, B.Zemochkin, O.Shekter (1939), M.Gorbunov-Possadov (1941), phỏt triển:

Tải trọng q(x,y)

Phản lực đất nền R(x,y)

Tấm

Hỡnh 1.2 Quan hệ giữa tải trọng ngoài và độ vừng của nền theo mụ hỡnh

bỏn khụng gian đàn hồi

Chuyển vị w của điểm bất kỳ cú tọa độ x y z , , , cỏch điểm đặt lực P một

khoảng r (hỡnh 1.3), được xỏc định theo lời giải bài toỏn của J.Boussinesq, [10]:

Nếu một áp lực có cường độ q tác dụng phân bố trên một diện tích a b 

có tọa độ trọng tâm là  , , khi đó độ lún của điểm bất kỳ trên mặt nền sẽ là:

Việc đánh giá quá cao tác động của tải trọng tác dụng trên lớp mặt, nên chiều dày tấm mặt đường tính toán theo mô hình này có xu hướng lớn hơn so với khi sử dụng mô hình nền khác

1.2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN TẤM

Lý thuyết về tấm đã có trên 100 năm nay, gắn với tên tuổi những nhà khoa học nổi tiếng: G.R.Kirchhoff, S.Germain, J.Lagrange, C.L.Navier, M.Lévy,…Đóng góp lớn cho sự hoàn thiện lý thuyết tấm phải kể đến: S.P.Timoshenko, E.Reissner, H.Hertz, R.D.Mindlin, A.Kromm, H.Hencky, O.Shekter, K.A.Kitôver, I.G.Bubnov, Y.H.Huang, GS.TSKH Hà Huy Cương, GS.TSKH Nguyễn Văn Liên,…

Tấm là vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng mà khoảng cách giữa chúng, gọi là bề dày tấm, nhỏ hơn nhiều so với hai kích thước còn lại Mặt ngăn cách và cách đều hai mặt phẳng trên gọi là mặt trung bình của tấm Giao tuyến của mặt

trung bình với những mặt bên của tấm gọi là chu tuyến Căn cứ vào độ lớn tương đối giữa bề dày với cạnh bé nhất của tấm, người ta chia tấm thành ba loại: tấm dày, tấm mỏng và màng

Theo [11], [16], [17], [19], tấm được coi là “mỏng” khi thỏa mãn điều kiện:

1 5

l w

1.2.1.Các giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm G.R.Kirchhoff, [11], [17]

 Mặt trung bình của tấm không bị biến dạng Ứng suất pháp trong mặt

phẳng thẳng đứng ở bề mặt trung bình có giá trị bằng 0

 Tiết diện trước biến dạng và sau khi biến dạng vẫn phẳng và thẳng góc với

mặt trung bình của tấm

 Các lớp riêng biệt của tấm không gây ra áp lực (chèn ép) lên nhau

- Giả thiết thứ nhất: Cho phép chỉ cần xét đến chuyển vị thẳng đứng (độ võng của mặt trung bình) w x y( , ) của tấm Thông thường, gối tựa của tấm không di động được cho nên mặt trung bình, đặc biệt ở gần gối tựa, cũng bị biến dạng Do vậy, giả thiết này chỉ đúng khi coi tấm là “mỏng”

- Giả thiết thứ hai: Độ võng w x y( , ) của mặt trung bình chỉ do mô men uốn gây ra, bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt đối với độ võng của tấm

- Giả thiết thứ ba: Xem các mặt phẳng song song với mặt trung bình của tấm đều có trạng thái ứng suất phẳng

Hình 1.4 Các thành phần ứng suất tác dụng lên phân tố tấm

Xét phân tố tấm, hình 1.4, trên mỗi điểm của mặt bên có các thành phần ứng suất, do không xét z (z = 0) nên các biến dạng x và y xác định như sau:

Để xác định x và y ta xét một điểm A nằm cách trục trung hòa khoảng cách

z và gọi u và v lần lượt là chuyển vị ngang của điểm A theo chiều x và chiều y (hình 1.5) Nhờ giả thiết thứ 2, tính được u và v như sau:

v

z

z

Hình 1.5 Giả thiết pháp tuyến thẳng

Theo lý thuyết đàn hồi, [15],xyvà yx được xác định:

Từ (1.6), (1.7), (1.8) và (1.9), thực hiện vài biến đổi, cuối cùng ta được:

Lực cắt được xác định theo công thức:

1.2.2 Các phương trình cân bằng và các điều kiện biên của tấm chữ nhật

Khi đã biết các liên hệ cơ bản giữa ứng suất - độ võng (1.10) hoặc mô men -

độ võng (1.12) thì có thể xác định được các phương trình vi phân cân bằng của tấm bằng một trong các phương pháp sau:

 Xét các điều kiện cân bằng của ứng suất hoặc nội lực trên phân tố tấm;

 Sử dụng phương trình Lagrange;

 Sử dụng hai nguyên lý biến phân năng lượng;

 Phương pháp nguyên lý cực trị Gauss

Nhờ các giả thiết của lý thuyết tấm chịu uốn mà ta chỉ cần xét mặt trung bình

có độ võng w x y , và các mô men, các lực cắt tác dụng lên nó

Sau đây, trình bày phương pháp thiết lập các phương trình cân bằng và các điều kiện biên của tấm mỏng chữ nhật bằng cách xét các điều kiện cân bằng ứng suất và nội lực trên phân tố tách ra từ mặt trung bình của tấm

1.2.2.1 Các phương trình cân bằng:

Xét phân tố chữ nhật có các cạnh dx, dy tách ra từ mặt trung bình của tấm

(hình 1.7) và đặt các nội lực mô men và lực cắt lên các cạnh của phân tố

- Tổng các lực lên trục đứng:

x y 0

Q Q

Hình 1.7 Thành phần nội lực tác dụng lên phân tố tấm tại mặt trung hòa

- Tổng mô men đối với cạnh dy:

Sau khi rút gọn, bỏ qua mô men do lực q và mô men do thay đổi lực cắt Q x

gây ra vì nó là đại lượng vô cùng bé bậc cao hơn những đại lượng mà ta giữ lại:

x

M M

dxdy dydx Q dxdy

Bỏ qua các đại lượng vô cùng bé bậc cao, ta có:

M y dxdy M yx dxdy Q dxdy y 0

b/

q

dx dy x

z y

My+ My y)dy

Myx+ Myx y)dy

a/

Lấy đạo hàm phương trình (1.19) theo x và phương trình (1.22) theo y rồi cộng

lại với nhau ta sẽ có:

Phương trình (1.23) là phương trình cân bằng mô men và ngoại lực tác dụng

Thay M x , M y và M xy xác định theo (1.12) vào phương trình (1.23) nhận được:

Theo định luật Hookes:

Rút ra được giá trị ứng suất lớn nhất, khi thay zh/ 2:

 max 2  max 2  max 2

;

y x

Q Q

1.2.2.2 Các điều kiện biên của tấm chữ nhật:

Điều kiện biên của tấm ở đây là nói tới điều kiện biên trên các cạnh tấm tại mặt trung bình của nó Phương trình (1.24) là phương trình vi phân cấp 4 đối với độ võng w x y , sẽ giải được với 2 điều kiện biên trên mỗi cạnh tấm Sử dụng phương pháp biến phân năng lượng, [11], Kirchhoff đã đưa ra các điều kiện biên mà lý thuyết tấm mỏng cần phải thỏa mãn, như minh họa trên hình 1.8:

0 0

y

M w

w

w x

Hình 1.8 Điều kiện biên trên các cạnh tấm chữ nhật

a/Cạnh ngàm (vừa có gối tựa, vừa liên kết ngàm):

b/Cạnh khớp (vừa có gối tựa vừa liên kết khớp):

Độ võng và mô men uốn bằng 0 Giả sử cạnh x = 0 ; x = a liên kết khớp:

2 0;

x

x x a

M w

c/Biên tự do và trên biên không có tải trọng tác dụng:

Mô men uốn và lực cắt bằng 0 Giả sử cạnh x = 0 ; x = a tự do, mô men uốn

y

M Q

Nếu trên biên có mô men và lực tác dụng thì các mô men và lực cắt tính theo công thức (1.34) và (1.35) sẽ tương ứng bằng các giá trị này

Khi biên tự do, ở các góc mô men xoắn bằng 0:

w

(1.37)

Như vậy, trên biên tự do của tấm, mô men uốn, lực cắt và cả mô men xoắn đều bằng 0 Đây là yêu cầu do Poisson đưa ra Để thỏa mãn biểu thức (1.24) thì 3 điều kiện này là quá thừa, chỉ cần 2 điều kiện là đủ, [11] Kirchhoff đã chứng minh được rằng hai yêu cầu của Poisson đối với mô men xoắn M xy và lực cắt Q x phải được thay bằng một điều kiện thống nhất Thomson và Tait cũng đã chỉ rõ rằng sự uốn của tấm sẽ không đổi nếu trên cạnhxa thay lực ngang hợp thành ngẫu xoắn

xy

M đặt lên phân tố với chiều dài dybằng hai lực thẳng đứng có độ lớn M xyvới cánh tay đòn dy, như trên hình 1.9

Hình 1.9 Phân tích mô men

xoắn trên biên tự do thành

ngẫu lực

Tiến hành biến đổi tương tự ngẫu xoắn dọc theo cạnh tấm và xét hai phân tố

kề nhau ở cạnh tấm ta thấy rằng sự phân bố mô men xoắn M xytương đương về mặt tĩnh học với sự phân bố lực cắt có cường độ:

a x

xy x

y

M Q

xy x

x

y

M Q

Thay M xy và Q x bằng các biểu thức ở (1.12) và (1.27), ta được (1.36)

Mxy+ Mxy y)dy

Khi biến đổi ngẫu xoắn như vậy, ta không những được lực cắt '

x

Q phân bố liên tục dọc theo cạnh xa, mà còn được hai lực tập trung ở hai đầu cạnh đó, hình 1.10 Độ lớn của các lực này bằng giá trị của các ngẫu xoắn M xy (ngẫu xoắnM xylà

mô men trên một đơn vị dài và vì vậy, nó có thứ nguyên của lực) ở các góc tương ứng của tấm Biến đổi tương tự các ngẫu xoắn M yx dọc theo cạnh yb thì, cũng giống như trên ta được lực cắt '

y

Q phân bố liên tục dọc theo cạnh y b, và được hai lực tập trung ở hai đầu cạnh đó, độ lớn của các lực này bằng giá trị của các ngẫu xoắn M yx Điều đó nói lên rằng, khi tấm chữ nhật tựa theo cách nào đó dọc theo các cạnh và chịu uốn, thì không những chỉ có phản lực tựa phân bố dọc theo cạnh mà còn có phản lực tập trung ở các góc Theo hướng của M xyvà M yx, và do tính chất đối xứng nên có thể nhận thấy rằng tất cả các lực ở góc tấm có cùng độ lớn và cùng chiều hướng xuống dưới

M thành một ngẫu lực, Kirchhoff đã thống nhất 2 yêu cầu của Poisson thành 1 điều kiện và số điều kiện biên từ 3 giảm xuống 2 Cách quy đổi như thế có sai số Sai số ở chỗ là đã bỏ qua biến dạng lệch của phân tố tấm do lực cắt gây ra, hiển nhiên là tương đương với giả thiết coi mô đun trượt G Nhờ giả thiết này nên tấm không chịu được xoắn bởi ngẫu nào đó đặt trong mặt trụ của tấm, nếu véc tơ của ngẫu trùng với pháp tuyến của mặt này Điều này cho phép coi số gia M xy/ y

của ngẫu xoắn do ứng suất tiếp ngang tại cạnh x  a cũng giống như tác dụng của lực thẳng đứng Qx cũng tại đây, được biểu thức (1.38)

Việc không xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang do lực cắt gây ra, mặc dù làm cho lời giải của bài toán đơn giản đi rất nhiều và đủ chính xác trong thực tế nếu coi tấm là “mỏng” và tải trọng tác dụng ở xa mép tấm, [11] Nhưng làm như vậy, sẽ không đủ chính xác trong trường hợp:

- Tấm chịu tải trọng tập trung

- Tấm chịu tải trọng ở góc và ở mép tấm

- Tấm dày

1.2.3 Ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang đối với tấm chịu uốn

Lý thuyết tấm có xét tới ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang do lực cắt gây

ra đã được nhiều nhà khoa học nghiên cứu, nổi bật là lý thuyết tấm của E.Reissner

1.2.3.1 Nội dung cơ bản về lý thuyết tấm của E.Reissner, [11], [36], [37]:

Hình 1.12 Lý thuyết

tấm Reissner

dy dx

dz

qdxdy

Giả sử có phân tố tấm chịu tác dụng của tải trọng qdxdy , (hình 1.12) Theo

E.Reissner các thành phần ứng suất  x, y và xy phân bố theo chiều dày tấm với quy luật bậc nhất, còn phân bố thành phần ứng suấtxzvà yztheo quy luật parabol

Về sự phân bố z, nếu xét tới điều kiện ở mặt trên và mặt dưới của tấm là:

; 12

xy xy

y x

M M

M z h

xy x

x

Q Q

q

M M

Giả thiết vật liệu tấm là đẳng hướng và các chuyển vị u v w o, o, o tại điểm bất

kỳ của tấm là nhỏ so với chiều dày h của tấm Theo định luật Hooke, bỏ qua trọng lượng bản thân tấm, ta có:

2 1 1

2 1 1

2 1 1

phân bố bậc nhất của các thành phần ứng suất  x, y và xy đã nêu trên Từ biểu thức (e) thấy rằng, vẫn xét z nhưng không xét biến dạng do nó gây ra

Ngoài ra ta còn đưa vào đây giá trị trung bình w của chuyển vị ngang đối với toàn bộ chiều dày tấm và giá trị trung bình x,y của biến dạng góc (góc xoay) của mặt cắt ứng với xconst và yconst Xác định các trị số này bằng cách so sánh công của ngẫu lực tổng hợp trên các góc xoay trung bình với công của các ứng suất tương ứng trên chuyển vị thực u v o, o và w o ở cùng một mặt cắt, tức là cho:

/ 2 / 2 2 / 2 / 2 2 / 2

1 2

12

12

h o h h o x

h h o y

v z dz

Từ phương trình (c) kết hợp với phương trình (b) ta có :

3 2

3 2

2

y x

x

y

y x xy

Nếu thay biểu thức (a) có các thành phần ứng suất xzvà yzvào hai phương trình

cuối cùng của (e), rồi nhân kết quả với  2

2

z h dz h

  , sau đó lấy tích phân với các cận zh/ 2 và z h/ 2, ta được :

12 1 5

12 1 5

y y

y x xy

Phương trình (1.40) được thỏa mãn nếu ta biểu diễn ‘‘độ võng trung bình’’

w tại điểm  x, y dưới dạng tổng :

trong đó w1 là nghiệm riêng của phương trình :

2 1

2 '

Vi phân phương trình (r) lần lượt theox , theoy rồi cộng các kết quả ấy lại

ta rút ra điều kiện cân bằng:

' '

Trong [39], tác giả Papkovich-Neuber, đưa ra công thức:

Phương trình (1.40) là phương trình vi phân bậc 4 đối với độ võng tấm cho phép thỏa mãn 2 điều kiện biên trên mỗi cạnh tấm Phương trình (1.41) là phương trình vi phân bậc 2 đối với hàm ứng suất  cho phép thỏa mãn thêm 1 điều kiện biên trên mỗi cạnh tấm Như vậy, khi xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang

do lực cắt gây ra ta có thể thỏa mãn 3 điều kiện biên trên mỗi cạnh tấm chứ không phải là 2 điều kiện biên như trong lý thuyết tấm Kirchhoff

Trong (1.40) không có thành phần lực cắt Sau khi giải được (1.40), cần giải tiếp phương trình (l) để xác định hàm lực cắt Q và x Q y Để giải được hai phương trình trong (l) thì E.Reissner đã chọn một hàm ứng suất  nào đó thỏa mãn điều

kiện (1.41) Tuy nhiên, hàm ứng suất  được chọn chỉ thỏa mãn một số trường hợp

cụ thể, chưa mang tính tổng quát Sẽ gặp khó khăn đối với việc thỏa mãn các điều kiện biên và xấp xỉ hàm  khi sử dụng phương pháp số để giải bài toán Mặt khác, điều kiện biên Mxy  0trên cạnh tự do của tấm cũng không được đề cập tới, [11]

1.2.3.2 Lý thuyết tấm dựa theo lý thuyết dầm Timoshenko:

Lý thuyết dầm Timoshenko đã giải thích hiện tượng “nghẽn cắt” (shear locking) khi không xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang do lực cắt gây ra

trong phần tử dầm chịu uốn, [9], [23], [41]

Bài toán dầm là bài toán 1 chiều (chỉ cần xét độ võng đường trục dầm), bài toán tấm là bài toán 2 chiều (chỉ cần xét độ võng mặt trung bình của tấm) Tương tự dầm, hiện tượng “nghẽn cắt” cũng xảy ra đối với tấm chịu uốn khi coi G, [1]

Dựa theo lý thuyết dầm Timoshenko, ta có thể viết được các quan hệ sau đối với tấm chịu uốn:

- Góc xoay theo phương x và theo phương y có dạng:

Q w

Q Q w

- Nội lực mô men uốn M x , M y và M xy :

y x

Q Q

x

y

y x

Thay 1.2 vào các công thức xác định M x và M y trong (1.50), ta được:

x

y

Q Q

y

Q Q

Để ý tới (1.52), viết lại các công thức (1.50) dưới dạng:

x

y

y x xy

Q Q

1.3 XÂY DỰNG PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG CỦA TẤM, THEO PHÉP

SO SÁNH DỰA TRÊN PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN LÝ CỰC TRỊ GAUSS

Hệ cần tính Tải trọng rải đều q

Lò xo có độ cứng k=0 Tấm có liên kết giữ, kích th- ớ c ( a x b)

xy

b w

Hỡnh 1.13 Minh họa phộp so sỏnh theo phương phỏp nguyờn lý cực trị Gauss

Đối với tấm mỏng , cỏc biến dạng uốn được xỏc định theo cỏc biểu thức sau:

   và w - Tương ứng là biến dạng uốn và chuyển vị của tấm (0)

hoàn toàn tự do, được lấy làm hệ so sỏnh

2-Là hệ số, để xột 2 mụ men xoắn M xy = M yx

k- Độ cứng của lũ xo đặt dưới tấm cần tớnh và dưới tấm lấy làm hệ so sỏnh

V- Là diện tớch bề mặt tấm

Cú thể viết độ cứng của lũ xo dưới dạng:

  0   0

lim

w

q k

1.3.1.Thiết lập phương trình cân bằng

- Tính tích phân đầu tiên của (1.60):

- Tính tích phân thứ 3 của (1.60), để đảm bảo tính đối xứng theo phương x

và theo phương y, tách thành hai phần:

Phương trình (1.62) chính là phương trình Sophie Germain (1.24)

1.3.2 Các điều kiện biên của tấm chữ nhật

1.3.2.1.Trên cạnh x0 và xa:

Xét tích phân:

2

2 0



 có giá trị bất kỳ (1.64) Gộp các biểu thức (1.60b), (1.60h) và (1.60j), được:

0

w w

1.3.2.2.Trên cạnh y0 và yb : Tương tự như trên, ta cũng thiết lập được các

điều kiện biên cho cạnh này của tấm

Như vậy, bằng phép so sánh trên cơ sở phương pháp nguyên lý cực trị Gauss thiết lập được các phương trình cân bằng và các điều kiện biên của tấm

1.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

 Tồn tại của lý thuyết tấm Kirchhoff là không xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang trong tấm chịu uốn, tương đương với việc coi mô đun trượt

G, và chỉ làm thoả mãn 2 điều kiện biên Lý thuyết tấm của E.Reissner

và của một số tác giả khác, đã xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang, nhằm làm thỏa mãn trực tiếp cả 3 điều kiện biên trên cạnh tấm, thông qua việc sử dụng 1 hàm ứng suất nào đấy, nhưng chưa mang tính tổng quát và khó khăn trong quá trình sử dụng phương pháp số để giải bài toán, [11]

 Lý thuyết tấm của E.Reissner và lý thuyết tấm dựa theo lý thuyết dầm Timoshenko chỉ khác nhau một hằng số

 Sử dụng phép so sánh trên cơ sở phương pháp nguyên lý cực trị Gauss và phép tính biến phân hoàn toàn thiết lập được các phương trình cân bằng và các điều kiện biên của tấm chịu uốn Đây là một trong những phương pháp đúng và hiệu quả, đã được nhiều nhà khoa học sử dụng để giải các bài toán

kỹ thuật, [1], [9], [18], [23], [25]

 Mô hình nền được sử dụng phổ biến nhất trong bài toán tấm trên nền đàn hồi

là mô hình Winkler và mô hình bán không gian đàn hồi Và nghiên cứu sinh

sẽ sử dụng lý thuyết tấm dựa theo lý thuyết dầm Timoshenko và phép so sánh dựa trên cơ sở phương pháp nguyên lý cực trị Gauss để xây dựng bài toán “ Tấm trên nền đàn hồi” trong đề tài luận án của mình

1.5 MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI

Xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang do lực cắt gây ra trong tấm, tính được đồng thời trạng thái ứng suất – biến dạng của tấm và của nền, từ đó hoàn thiện phương pháp tính tấm trên nền đàn hồi

1.6 NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1.6.1 Nội dung nghiên cứu

 Xây dựng và giải bài toán tấm trên nền đàn hồi có xét ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang do lực cắt gây ra

 Ứng dụng một số kết quả tính vào việc tính toán tấm BTXM mặt đường

1.6.2 Phương pháp nghiên cứu

Lý thuyết

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TẤM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI, CÓ XÉT ĐẾN ẢNH

HƯỞNG CỦA BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG

Trong chương này, nghiên cứu sinh đi xây dựng phương pháp tính tấm trên nền đàn hồi, có xét đến ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang do lực cắt gây ra, theo phép so sánh dựa trên cơ sở phương pháp nguyên lý cực trị Gauss

2.1 TẤM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI, THEO LÝ THUYẾT TẤM KIRCHHOFF

Để thấy được mọi thành phần nội lực, ta tách khỏi tấm một phân tố có các cạnh là dx, dy, chiều cao phân tố là chiều dày của tấm h, hình 2.1

Trên các mặt bên của phân tố có các mô men uốn M x, M y, mô men xoắn

xy

M , và lực cắt Q x, Q y tác dụng Các nội lực tác dụng trên các mặt đối nhau (song song với mặt tọa độ) không bằng nhau về mặt giá trị mà khác nhau bởi các số gia

Hình 2.1.Các thành phần nội lực trên phân tố tách ra từ tấm trên nền đàn hồi

Xét sự cân bằng của phân tố:

- Tổng hình chiếu các lực tác dụng lên phân tố theo trục Z bằng 0:

yx x

x

M M

- Theo mô hình nền Winkler (mô hình một hệ số nền k), quan hệ giữa phản

lực nền và độ võng của tấm (cũng là độ võng của mặt nền), được biểu diễn bằng quan hệ (1.1) Thay (1.1) vào (2.8), ta được :

- Nếu có thể coi nền đất như một bán không gian đàn hồi, trên mặt nền có đặt

một lực tập trung P, thì độ lún của một điểm cách P một khoảng r được xác định

theo lời giải bài toán của J.Boussinesq hoặc theo bài toán của R.D.Mindlin:

Hình 2.2 Mô hình bài toán tấm trên nền bán không gian đàn hồi

Xét một phân tố tấm có kích thước dd, cường độ độ tải trọng tác dụng trên phân tố tấm là q Lực tác dụng lên phân tố này là dp:

a b o o

2.2 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TẤM TRÊN NỀN ĐÀN HỒI WINKLER, CÓ XÉT ẢNH HƯỞNG CỦA BIẾN DẠNG TRƯỢT NGANG

Lý thuyết tấm của E.Reissner và lý thuyết tấm dựa theo lý thuyết dầm Timoshenko chỉ khác nhau một hằng số Ở đây, nghiên cứu sinh lựa chọn lý thuyết tấm được xây dựng dựa theo lý thuyết dầm Timoshenko là để tiện cho việc thiết lập các phương trình cân bằng

- Các biến dạng uốn x, y, xy (các độ cong của tấm) :

y x

Q Q

Sở dĩ nghiên cứu sinh lựa chọn phép so sánh trên cơ sở phương pháp nguyên

lý cực trị Gauss để xây dựng bài toán, là bởi vì phương pháp này có ưu điểm: Đi tìm lời giải bài toán này trên cơ sở so sánh một cách có điều kiện với bài toán khác đã

có lời giải đúng, do đó, cách nhìn nhận bài toán đơn giản và rõ ràng hơn

Trong biểu thức (2.17), có:

- Lượng cưỡng bức do mô men uốn Mx:

2 2

Các đại lượng biến phân trong các biểu thức trên là các biến dạng     x, y, xy, x, y

Khi tìm cực trị của (2.17) cần xem các biến dạng uốn  x, y, xy độc lập đối với các

nội lực mô men M x , M y , M xy; các biến dạng trượt  x, y độc lập đối với các lực cắt

Q x , Q y ; độ võng w độc lập đối với lực tác dụng q

Tính độc lập ở đây biểu hiện ở chỗ với lực tác dụng q được chọn là bất kỳ,

chẳng hạn, với q 0;R 0, thay vào (2.2) ta có: Q x Q y 0



trình vi phân, có vô số nghiệm số khác nhau chỉ bởi một hằng số   bất kỳ nào đấy Do đó, có thể nói các biến dạng trượt  x, y độc lập đối với các lực cắt Q

x , Q y Đối với tấm chữ nhật có kích thước a b , liên kết hai chiều (liên kết giữ) thì điều kiện cực trị của (2.17) được viết thành: Z  0 Suy ra:

y x

     

2 2

Việc tách như trên để đảm bảo tính đối xứng theo phương x và theo phương y

Gộp các thành phần (2.26c), (2.26f), (2.26i), (2.26l) với hai thành phần cuối của phương trình (2.26), ta được:

Thành phần thứ hai bên vế phải của (2.31) nói đến ảnh hưởng của lực cắt

Các công thức xác định lực cắt cắt Q x và Q y sẽ nói ở phần sau

Khi coi mô đun trượt G , phương trình (2.31) trở về phương trình (2.8) theo lý thuyết tấm Kirchhoff