Một số kỹ thuật tính tích phân đặc sắc v1

Tích phân từng phần.

Trang 1

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2014

MỘT SỐ KỸ THUẬT TÍNH TÍCH PHÂN ĐẶC SẮC:

Bài tập 1: Tính tích phân 4

0cos 2 sin 2

dx I

π

=

+

∫

Hướng dẫn:

2

2 2

2

1 tan

cos

d

I

x

+

Đặt t =tanx

Bài tập 2: Tính tích phân 1( ) 2

0

Hướng dẫn:

1

0

d

x x

1 d 2 1 1d

d d chän







1 0

Bài tập 3: Tính tích phân 2 2

0

sin

1 sin 2 d

x

π

+

= +

∫

Hướng dẫn:

1 sin 2 d 1 sin 2 d 1 sin 2 d

+

Tính

2 2

2

0

sin

1 sin 2 d

x

π

=

+

2 2 / 2 0

cos

1 sin 2 d

x

π

= +

∫

Suy ra:

2 /

0

2 2

/

0

1

1 sin 2

2cos 2

1 sin 2

d

x

I x

x

π









−



∫

Trang 2

Tính

1

2

1

cot

4

π π

2 1

1

−

=

∫

Hướng dẫn:

2

t

−

+

6

cot sin sin

4

d

x

π

=

 + 

∫

Hướng dẫn:

Biến đổi

2

sin sin

4

 + 

Đặt t =cotx

Tương tự: Tính tích phân 4

0cos sin

4

dx I

π

=

 + 

6sin sin

6

dx I

π

=

 + 

∫

Bài tập 6: Tính tích phân

4 0

tan cos 4cos sin d

x

π

=

−

∫

Hướng dẫn:Tương tự Bài tập 5

2 5

d

x x I

=

∫

Hướng dẫn: Đặt t= x2 + ⇒5 t2 =x2+ ⇒5 t td =x xd

Bài tập 8: Tính tích phân 6 ( )

1

3

I

x

=

+

∫

Hướng dẫn: Đặt t= x+ ⇒3 t2 = + ⇒x 3 2 dt t =dx

2

I = ∫ t − +t x (tích phân từng phần)

0

2 2d

I =∫x x − x+ x=∫x x− + x Đặt x− =1 tanx

Trang 3

6

1 sin sin

2d

π

6

3

π

2

0

sin cos d

x

π

=∫

Hướng dẫn: Đặt t=sin2x

Bài tập 12: Tính tích phân 3 2 4

4

sin cos

dx I

π

=∫

Hướng dẫn:

d

x

Đặt t =tanx

3

sin 2 4sin

2dx I

π

=

+

∫

Hướng dẫn:

Biến đổi

I

Đặt t =cosx

3 0

sin cos 2 sin cos

d

x x I

π

=

+

∫

Hướng dẫn: Biến đổi

3

2 0

sin sin cos cos sin

d

x x I

π

=

∫

1

2

A

A B

B

 =



− =

+ =



Trang 4

Suy ra

2

4

I

π

Bài tập 15: Tính các tích phân sau:

03sin 8sin cos 5cos

dx I

π

=

0

sin 2cos 5sin cos

d

x x I

π

=

+

∫

Hướng dẫn:

a) Dạng đẳng cấp bậc 2 theo t=tanx

Biến đổi

tan

d

I

Đặt t =tanx

b) Dạng đẳng cấp bậc 3 theo t=cotx

Biến đổi

3

0sin 2cot 1 cot 5cot

dx I

π

=

Bài tập 16: Tính các tích phân sau:

a)

2

03cos 4sin 5

dx I

π

=

2

0 cos 2sin 1

dx I

π

=

2 3 3

sin

dx I

x

π

=∫

d)

2

0 cos sin 1

dx I

π

=

2 3 0

tan d

π

4

01 tan

dx I

x

π

= +

∫

Hướng dẫn:

Đặt tan

2

x

t = Lưu ý:

2

−

Bài tập 17: Tính các tích phân sau:

0

sin cos d

π

0

sin

3 cos

d

I

x

π

= +

0

sin cos d

π

0

.sin d

π

=∫

Hướng dẫn:

Cách 1: Phương pháp tích phân từng phần

Cách 2: Đổi biến dạng 1

Đặt t = − ⇒π x dt= − dx

Lúc đó:

( ) ( ) ( ) ( )

0

π

Để ý: tsin cost 2tdt xsin cosx 2x xd

=

Trang 5

cos

0

π

Bài tập 18: Tính tích phân 2 6 6 6

0

sin

x

π

=

+

∫

Hướng dẫn:

Đặt

t =π − ⇒x t = − x

Lúc đó:

6

2

sin

2

t

π

 − 

 − +  − 

Mặt khác:

sin cos

π

+

Từ (1) và (2) suy ra:

4

= =

0

sin sin cos d

x

π

=

+

2

2 0

sin

x

π

=

+

∫

Bài tập 19: Tính tích phân

2 2 1

ln

ln 1

x

=

+

Hướng dẫn:

Cách 1:

2 2 2 1

ln

ln 1

e

=

+

2 2

ln 1

x





d d chän

Lúc đó: ( )2

1

ln

2 ln 1

ln 1

e

x x

x

2

1 2

ln 1

x

+

1

ln 1

x

−

=

+

2

x

−







d d chän

Lúc đó

2

1

e

−

Trang 6

2 1

1

e

Hướng dẫn:

Biến đổi

2 2

2

x

x e

x

= +

Hướng dẫn:

Đặt

( ) ( )

2

2 2

x x





d d

d d chän

Lúc đó:

2 2

0

2 0 2

x

x e

x

3

4 2

x I

x x

=

+

Hướng dẫn:

Cách 1: Đặt x= tant

Cách 2: Biến đổi

4 2

1 1

x x

+ +

2

x

=

Hướng dẫn:

Cách 1: Đặt t = 2− +x 2+ ⇒ − =x t2 4 2 4−x2 ⇔t t( 2−4)dt= −2x xd

2

1

x I

=

Hướng dẫn:

Đặt

2

3

2

2 3 3 4 1

x x x I

x

−

Hướng dẫn:

Biểu biễn:

3

1

x x x

−

Trang 7

Bài tập 26: (THTT 2012)Tính các tích phân sau:

a)

2

e e

2

1

2 ln

ln d

e e

x

∫

Hướng dẫn:

a)

/ //

Tính

2

ln d

e

x

ln d ln d

d d chän







Suy ra:

2

e

−

Lúc đó:

1

b)

/ / / 2

Tính

2

/ 2 ln d

e

I =∫ x x Đặt

ln

d d chän







Suy ra:

2

e e

Bài tập 27: (THTT 2013) Tính tích phân ( 2 )1

1

e

x

Hướng dẫn:

1

x

Đặt t lnx dt 1dx

x

1

2 0

1

2

1 1

1

d d chän

t



+





0 0

1

t

+

Trang 8

1

2 1

1

−

=

Hướng dẫn:

Xét

0

2 1

1

−

=

∫ Đặt t= − ⇒x dt= − dx

Ta có:

1

Lúc đó:

2

x

e

x

π

+

Bài tập 29: Xác định nguyên hàm của hàm số ( ) tan tan tan

Hướng dẫn:

Biến đổi

( )

2 2

f x

3 3

4sin 3sin sin 3

tan 3

x

−

2 1

d

x

+

= ∫

Hướng dẫn:

Đặt

2

2 2

1

d d chän

x





Lúc đó:

3 3 2

2 1

1

2

2 3

x

π

+

3 3

6

3 0

cos cos

x

π

−

Hướng dẫn:

1

Trang 9

( )

3

5

4 2

4

sin

x

π

=

+

Hướng dẫn: Dùng kỹ thuật tích phân liên kết

Xét

4 2

4

sin

x

π

=

+

4 2

4

cos

x

π

=

+

4

4 d

π π

π

I J+ =∫ x= (1)

Mặt khác, ta xét:

2

1

2

2 4

d

x

π

−

Từ (1), (2) suy ra: 1 ( )

ln 3 2 2

8 4 2

3 2 2 1

1 d

x

+

Hướng dẫn:

Cách 1: Đặt x=tant

Cách 2: Tích phân từng phần

Đặt

2

2 2

1

d d chän

x





Lúc đó:

3

2 3

2

1

x

2 1

Trang 10

2 3 4

cos sin d

x

π

=∫

Hướng dẫn:

Đặt

d d

d d chän

x









Lúc đó:

2

1

cot

x

π π

ln16 4 0

1

1d

x x

e

+

=

+

Hướng dẫn:

t

Suy ra:

1

t

Bài tập 36: Tính tích phân 1 ( )

0

x

=

+

∫

Hướng dẫn:

4

2 0

1

d

x

+

=

∫

Hướng dẫn:

1 2

d

x

2

t

3

=

4 2

2

t

Bài tập 38: Xác định nguyên hàm của hàm số ( ) 3 1 5

sin cos

f x

=

Hướng dẫn:

sin cos cos sin 2 cos

I

Đặt t =tanx 2 ; sin 2 2 2

d

+

Trang 11

2

1 8

2

1

d

t t

t

+

 + 

3

−

2

tan tan 3ln tan

Bài tập 39: Tính tích phân 6

0

tan

4 d cos 2

x

=∫

Hướng dẫn:

2

tan

x

 − 

+

2

1

cos

x

1

x= ⇒ =t x=π ⇒ =t

Suy ra

1

2

0 0

1

t I

t t

−

+ +

4

2 4

sin

d 1

x

−

=

∫

π

Hướng dẫn:

2

1 2 2

sin

1

x

+ Tính

4

2 1

4

−

π

Đặt x= − ta có: t

−

+ Tính

4

I = ∫ x x x

π

Tích phân từng phần

Trang 12

1 2

1

1 x xd

x

+

=  + − 

Hướng dẫn:

Biến đổi:

1 2

Tính

2 1

1

2

d

x

I =∫e + x Đặt

2

1 1

d d chän

x

 Lúc đó:

2 2

2

1 1

2 2

d 2

x

∫

Vậy

ln 5

d

x I

=

Hướng dẫn:

Biến đổi

I

Đặt t = e x− ⇔1 t2 =e x− ⇔1 2 dt t e x= xd

Suy ra:

2

2 2

9

I

t t

−

4 0

4

4 3sin 2

cos

d

x

 − 

=

−

∫

Hướng dẫn:

Ta có:

1 sin cos 4

4 3sin 2 2 4 3sin 2

cos

x

 − 

Đặt t =sinx−cosx⇒dt=(sinx+cosx x)d

và t2 = −1 sin 2x⇒sin 2x= − 1 t2

Trang 13

Lúc đó:

2 2

4 3 1

I

t t

+

3

4

sin 3 cos 3

∫

π

Hướng dẫn:

sin 3 cos sin cos3 sin 3 cos sin cos3 sin 3 cos 3

4sin 2 sin 42 8cos 2

sin 2

x x

4 4

8cos 2 d 4sin 2 2 3 4

π

π π π

2

1

2009

ln d

e

x

+

Hướng dẫn:

Đặt t = x ⇒t2 = ⇒x 2 dt t=dx

2

t x

Tiếp tục bằng phương pháp tích phân từng phần

Bài tập 45: Tìm nguyên hàm:

3 3

4

2012 d

x x

∫

Hướng dẫn:

3 3

1 1

−

3 2

1 1 d

x

−

2

−

( ) 3 3 3 4 33 1 4

∫

Trang 14

Tìm F x2( ) 2012d3 x 10062 C2

−

Do vậy

4 3

3

8

∫

Lưu ý: Nếu HS làm như sau thì sai ( )

1 3

1 1

2

x

−

Bài tập 46: Tìm nguyên hàm:

a) 4sin 2 cos d

cos 4 4cos 2 5

x

c) (3cot 22 cos2 ) sin (cos sin )

d 2cos 4 1

x x

+

∫

Hướng dẫn:

Bài tập 47: Tính tích phân a)

4 0

sin 2 cos

1 sin 2

x

π

−

=

+

4

sin 2 cos 2 sin cos 1

π

−

+

=

Hướng dẫn:

b)

+ Tính

4

sin 2 sin cos 1

x

π

−

=

sin 2x= sin 2x+ − =1 1 sinx+cosx − =1 sinx+cosx+1 sinx+cosx− 1

4

2

π

−

+ Tính

4

cos 2 sin cos 1

x

π

−

=

Ta có: cos 2x=(cosx+sinx)(cosx−sinx)

Đặt t =sinx+cosx+ ⇒1 dt =(cosx−sinx x)d

Trang 15

1

2 ln 2 1

t

+ −

2

Cách 2: Kỹ thuật biến đổi

2 4

4

cos sin 1 cos 2

sin cos 1

cos sin sin cos 1 1 sin cos 1

sin cos 1

cos sin

sin cos 1

π

−

=

−

∫

d

4 4

2

π π

π

−

1

ln

=

+

Hướng dẫn:

Ta có:

1

e

x

+ +

0

cos sin

d

3 sin 2

x

π

+

=

+

∫

Hướng dẫn:

Ta có:

2

Đặt t =sinx−cosx⇒dt=(cosx+sinx x)d

Tính được kết quả:

6

=

( )( )

3 4

1

d

−

=

Hướng dẫn:

Phân tích:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

Trang 16

Đặt t = −(x+1)+ −(x+2)

t

Suy ra:

( )( )

2 1

t

+

2 1 2

2 1 d

−

Hướng dẫn:

Ta có:

( )

( ) ( )

2

x

( )

2 0

1 2

d

x

−

=

2 2

Khi đó:

π

− −

+ Tính: 2 6 2 6

2

1

2

I

2

6

t = ⇒ =y t=π ⇒ = sao y ϕ

cho tan 6

3

2

π ϕ

 < < 

Khi đó: 2

0

ϕ

+ Tính:

0 3

1 2

2 1d

−

= ∫ + Đặt: t= 2x+ ⇒1 2x t= 2− ⇒1 dx t t= d

Khi đó:

2 2

0

t

∫

vớitan 6

3

2

π ϕ

 < < 

Bài tập 52: (THTT 2013) Tính tích phân

3 1

1 d

e x e x

x

+

=∫

Hướng dẫn:

Phân tích:

x

Trang 17

Bài tập 53: (THTT 2013) Tính tích phân 2 2

1

ln 1

d ln

−

=

−

∫

Hướng dẫn:

1

x

−

Đặt t lnx dt 1 ln2 xdx

−

Lúc đó:

2

I

∫

0

1 3 sin 2 2cos d

π

Hướng dẫn:

0

3

π

1

0

d 1

x

−

+

Hướng dẫn:

Phân tích:

1

x

−

+

* Tính

1

2

e

* Tính

1

2

0

d 1

x

=

+

Đặt x = tanu thì 2 4 22 ( ) 4 ( ) 4

2 tan

u

π

+

2

I

e

π

= − −

2 0

1 sin d 1

x

π

+

∫

Trang 18

2

x

2

0

d

x

e x I

π

=

Hướng dẫn:

Đặt t = 3e x− 2

Khi đó:

2 2

2

I

−

∫

ln 6 0

x

e

=

Hướng dẫn:

Đặt 3+e x = Khi đó t e x = − ⇒t2 3 e x xd =2 t td

Đổi cận: x= ⇒ = 0 t 2, x=ln 6⇒ = t 3

Suy ra

2 2

2

d

+ +

1

t 1

t

80 2ln 1 ln 2 1 2ln 4 2ln 3 ln 7 ln 5 ln

63

Bài tập 58: (Thi thử ĐH 2013) Tính tích phân

4

2 0

x

+

=

∫

Hướng dẫn:

1 2

x

2

Đổi cận: x= ⇒ = 0 t 2; x= ⇒ = 4 t 4.

t

Bài tập 59: (Thi thử ĐH 2013) Tính tích phân ( 4 ) 3

1

d

2 ln

=

+

∫

Hướng dẫn:

3

Trang 19

3

1

e e

d 2 ln

e

x x

+

Bài tập 60: (Thi thử ĐH 2013) Tính tích phân ( )

2 2

1

d ln

=

+

∫

Hướng dẫn:

ln

2

ln

+

( )

2

1

ln

e

+

1

I

e e

= − −

+

Tương tự: (Thi thử ĐH 2013) Tính tích phân: ( ) ( )

3

2 2

d

2 ln

=

+

∫

Bài tập 61: (Thi thử ĐH 2013) Tính tích phân ( )

1

cos 2 cos 2 ln ln

d

1 ln

x x

=

+

∫

Hướng dẫn:

1 1

os2 d sin 2 sin 2 sin 2

e e

∫

1

1 ln

e

x

x x

+

Vậy 1(sin 2 sin 2) ln 1( )

2

Bài tập 61: (Thi thử ĐH 2013) Tính tích phân 1( ) 2

3 0

Hướng dẫn:

Trang 20

0

4 1 dt

⇒

0

4 1 t 4 td 3e 1 4et 5

Bài tập 62: (Thi thử ĐH 2013) Tính tích phân ( )2

1

ln ln

d

ln 1

e x x xe

x x

+

=

+

∫

Hướng dẫn:

Phân tích:

1

ln 1

e

x x

+

∫

Bài tập 63: (Thi thử ĐH 2013) Tính tích phân

2

2 1

d

e

x

= ∫

Hướng dẫn:

Đặt t lnx dt dx

x

Lúc đó:

2

1 2

1

t

−

Đặt:

t

−

e I

−

Tiêu đề	Một số kỹ thuật tính tích phân đặc sắc
Người hướng dẫn	Lấ Bá Bảo
Trường học	CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Thể loại	Luyện thi
Năm xuất bản	2014
Thành phố	TP Huế

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	727,95 KB