Chuyên đề tích phân luyện thi đại học THPTQG

Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN B... Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức và vận dụng hợp lý... ln1 xdxxIV PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CH

Chuyên đề: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

B Ví dụ:

VD1: Tính tích phân

1 2x x 0

dxI

4 0

J(3x e )dx.

Giải:

a/ Ta có:

2 2

2

1 1

b/ Ta có:

4 x

3 4 2 2

2

0 0

0

0 0

a u t

b u t a x

b x

) (

)()

('.)(

b u

a u b

a

dt t f dx x u x u f

CHÚ Ý: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa ( 1

, ln x)

+, Khi f(x) có chứa nu(x) thì thường đặt t = u(x)

+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu

Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức và vận dụng hợp lý

Hướng dẫn:

Đặt

3 2

2 2 1

x dxI

1 dxcos x

x (1 x ) dx

6

2 0



dx x x

ln e x 2e x 3

dx

Tuyensinh247.com

; 17) 3

4

2sin

)ln(

(



dx x

sin



dx x

x x

; 21) 2 

0 1 cos

cos2sin



dx x

x x

; 22) 2 

0

sin

cos)cos(



xdx x

1

lnln31

; 25) 4 

0

2

2sin1

sin21



dx x

b x

+) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

 f  t  t dt dx

x f I b

a

)(')()

axcos t

2 0

dxI

0 0

dxI

33

cosdxI

Giải:

Đặt x = sint, khi đó: dt = cosxdx

Đổi cận:

1x= t =

2 0

9 3x dxx



1

5 0

1

x dx x





2 2 2 3

x x

sin x.cos xdx; 3)

e x

2x 1

2

x x



 dx; 3)

1 2

3 0

21

x x

sincos

x x



 dx ; 9)

3

cos 0

sinx e x



1 x 0

dx2e 3

u( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

Hay: b   

Cách thực hiện:

+) Đặt

)(

)(')

('

)(

x v v

dx x u du dx x v dv

x u u

b x a

e sin axdx ,

b x a

e cos axdx thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt

v2

 I2 =

3 0

1

0 0

ln(1 x)dxx

IV PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ

Tính tích phân

3 2

3 2

I ln(sin x 1 sin x)dx;

b)

2008

2007 0

I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ) Tính tích phân

2 5 0

3 Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos

Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc

2007 2007 2

Tuyensinh247.com

Vậy I 2

Câu8:: Tính tích phân :

1 2008 1

x dxI

x dxJ

cos xdxI

d(cost) I 2I d(cost) d(cost)

2 0

II TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

Tuyensinh247.com

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b]

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x)

Tuyensinh247.com

+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) f(x) và min f(x), g(x) g(x)

+ Nếu h(x) 0 thì max f(x), g(x) g(x) và min f(x), g(x) f(x)

Ví dụ 1 Tính tích phân

4

2 0

Giải

Tuyensinh247.com

Đặt h(x) 3x 4 x 3x x 4 Bảng xét dấu

x 0 1 2 h(x) – 0 +

dx

Cách làm:

Biến đổi ax2 bxc

về một trong các dạng ,sau đó thực hiện phép đổi biến tương ứng ta

sẽ đưa về việc tính tích phân của hàm hữu tỉ

a) a2 t2 Đặt t = a.tgu (hoặc a.cotgu) với u ;

a x

dx t

dx t

sin1

cos

t dt t

34

1

x

x d

=

3 2

2

34412ln2

457ln2

2 1

2

34412ln21

21ln2

12

1

)21(2

12

x d x

dx

= - ln521

c bx ax

dx B Ax

2

)(

Với a.A 0

Cách làm:

Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là ax2 bxc,một tích phân có tử

là đạo hàm của tam thức bậc hai,một tích phân có tử là hằng số

c bx ax

dx B Ax

2

)(

b ax

2

2

c bx ax

dx M

2

32

)4(

2

x x

dx x

x

32

6)22(

63

2

)22(2

1

2 2

x x

dx x

x

dx x

=

Tuyensinh247.com

x x

dx x

x x

dx x

dx x x

x x

dx x

2 2

221

ln22

2

1

51

)21(2ln

x = 3 thì t =

21

và dx = - 2

t dt

2

111

t

t t

2

1

t

t d

=

1

2 1 2 1 2

2

1ln2

103ln21

0 (1 x) 1 x 2x

x

e e e

dx e

Tuyensinh247.com

dt du

3

12

12121

3

1

u

u d

=

2 1

3 1

2

12

12

12

1ln3

322ln21

c bx ax

dx x f

2

)(

Với a0 bậc f(x)2,f(x) là đa thức

c bx ax

dx x f

2

)(

= g(x) ax2 bxc

c bx ax

dx

2

Với g(x) là đa thức , bậc g(x)+1 = bậc f(x)

Tìm các hệ số của g(x) và số  bằng phương pháp hệ số bất định

Ví dụ 1:Tính M = 

32

)1(

dx x

Tách : 

32

)1(

dx x

= (AxB) x2 2x3 +   

32

2

x x

dx

Lấy đạo hàm hai vế ta có:







32

1

2

2

x x

x

A x2 2x3 +

32

)1)(

x B Ax

+

32

x

32

2

x x dx

Tuyensinh247.com

= 2 32

3 2  



x x

x

+ lnx1 x2 2x3 C

x x

x x

22

1

2 3

x x

x x

22

2

x x

-65

61

25

2

x x dx

dx x

x

x x x

)1(1

dx x

x

x x x

22

dx x x

x x

22

1

dx x x

x x

- 

0

1 2

2

3221

526

426

d cx b ax

dx

2

)(

)(

với m,nN*,a.c0

m

d cx

b ax

13

13

7.45

13.32

x tdt

3 2

21

2)45

dt x

x

x x

dt

=

= t 3dt

4 27 8

8 1

21

 =

27 8

8 1 3

d cx

b ax

Với a.c0

Cách làm: Cách 1: Đặt

d cx

b ax t

Ta thực hiện theo cách đặt 2: Đặt t 3x

x

dx dt

dt x

82

4

224

11

11

dx x x

Tuyensinh247.com

dx x

2 3 4 6

1

61

666666

t t

t t

t t t t

Tích phân này dễ dàng tính được

0 2

112

21

dx x

x x x

21

dx x

x x

x

=2 

1 4

)2(2

t t

tdt t

= 2 

1 3

1

42

dt t

1 2

1

22

dt t t

2

121

1

)1(

3

2ln

2

t t

t d t

t

t t d

= lnt t1L

3

2ln

2

32

1



333

( x x

dx

Viết tích phân cần tính ở dạng sau: I =  4  3

)1

( x x

dx

3 4 1 2

4

t t

dt t

)1

1)

1(

1(2

dx

Tuyensinh247.com

Ta có: J = x ax 2 dx

3 2 5

)

2

151

xdx t

t

tdt t a

t

a at t

2 2 4

2

t

a at

23

1

;2

2 2

3 2 3 2

)1(

31

t

a x

t x

a

2 12

1

dx x

32

1

)1(2

3

t

dt t a

2 6

1 - 9

dx x



C=2

2 2 0

sin 2(1 cos )

x dx x

e

dx e



3 2 2

2 0

sin

1 cos

dx x





2 2 1

ln x dx x

3x 2x

dx x



4 1

11



2

2 0





)1()1

D=

  2   2

21

x x

11

11

22

dx

(Đặt x2 2x2 xt) H=    

33)

1(

)12(

2

x x x

dx x

584

)12(

x x

dx x

23

dx x x x

x x x

L = 



2 7

3 x2 3x 4

dx