TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU III... TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 1.
Trang 1TÍNH CÁC TÍCH PHÂN SAU III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
∫5 − −+
3
1
2
dx
x
x
x
∫b + +
a
dx b x a
x )( ) (
1
∫1 ++ +
0
3
1
1
dx
x
x
x
dx x
x x
∫1 +++
0 2
3
1 1
∫1 +
0
3
2
)
1
3
x
0
2
) 2 (
1
dx x
x
∫2 −+
1
2008
2008
)
1
(
1
dx
x
x
x
∫
+ +
−
0 1 2
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
∫3 −
2
2
2
4
)
1
x
∫1 + −
0 2
3 2
) 1
x
n n
∫2 + − +
1
2
4
2
) 2 3
(
3
dx x
x
x
x
∫2 +
1
4) 1 (
1
dx x x
∫2 +
0
2
4
1
dx
0 4
1 x dx x
dx
x
x
∫2 − +
0
1
∫1 +
0
3
2) 1
x
∫4 − +
2
2
1
dx x
x
2 3
2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
∫2 +−
1
4
2
1
1
dx
x
x
∫1 +
0 3
1
1
dx x
∫1 + ++ +
0
6
4
5
6
1
2
dx x
x
x
x
∫1 +−
0 2
4
1
2
dx x x
∫1 ++
0
6
4
1
1
dx
x
x
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
xdx
x 4
2
0
sin
∫
π
∫2
0
3
sin
π
xdx x
Trang 2x
x
∫2
0
5
sin
π
0
3
(sin
π
dx x
0
4
(sin
2
cos
π
dx x x
0
2
sin 2 (
π
dx x x
x x
∫2
3
sin
1
π
π
dx
0
4 4 10
(sin
π
dx x x x
x
∫2 −
π
x
dx
∫2 +
1
π
dx x
∫2 +
0
2
3
cos
1
sin
π
dx
x
6
4 cos sin
π
dx
0
2
sin
π
x x
x x
dx
∫2 +
cos
π
dx x x
∫2 −
cos
π
dx
x
x
∫2 +
sin
π
dx x x
∫2 +
0
3
cos
1
cos
π
dx
x
x
1
π
dx x x
∫2 −
3
2
)
cos
1
(
cos
π
xdx
∫
+
−
2
2
3 cos 2 sin
1 cos sin
π
π
dx x x
x x
∫4
0
3
π
xdx
6
3
cot
π
π
∫3
4
4
π
π
xdx
tg
∫4 +
01 1
π
dx tgx
Trang 3+
4
4 cos(
cos
π
π
x
x
dx
∫2 ++ ++
6 cos 7 sin
π
dx x x
x x
∫π +
2
0
sin
π
x x
dx
∫4 +
0
4
3
cos
1
sin
4
π
dx
x
x
∫2 + ++
2 sin 2 cos 1
π
dx x x
x x
∫2 +
3
sin
π
dx
x
4
sin 2 sin
π
dx
∫4
0
2
3
cos
sin
π
dx
x
x
0
3
sin 1 ( 2 sin
π
dx x x
∫
π
0
sin
4
3
sin
sin sin
π
π
dx xtgx
x x
∫2 + +
π
x x
dx
π
x dx
∫2
4
5
cos
π
π
xdx
x
∫4 +
0
2
cos 1
4 sin
π
x xdx
π
x
6
sin
π
dx
∫
+
3
6 sin(
sin
π
dx
∫
+
3
4 cos(
sin
π
π x dx x π
∫3
4
6
2
cos
sin
π
xdx
dx x
tgxtg )
6 (
3
6
π
π
π
Trang 4∫3 +
0
3
) cos
(sin
sin
4
π
x
x
− +
0
2
2
) sin 2 (
2 sin
x
∫2
0
3
sin
π
dx
0
2cos
π
xdx x
0
1
2
2
sin
π
dx
e
x
x x
∫2 ++
sin 1
π
∫4 +
6
2
cot
4
sin
3
sin
π
π
dx x g
tgx
x
x
0
sin
2 sin
π
x x
xdx
dx x x
∫2 −
0
2
cos
)
1
2
(
π
∫ π
0
2
cos sinx xdx x
∫4
0
2
π
xdx
0
2
2 sin xdx
e x
∫2
0
3 sin2 sin cos
π
xdx x
e x
∫4 +
0
) 1 ln(
π
dx tgx
0
2
) cos
2
(sin
π
x x
dx
∫2 + − −
0
cos 2 )(
sin 1 (
cos ) sin 1 (
π
dx x x
x x
V TÍCH PHÂN HÀM Vễ TỶ:
∫b
a
dx x f x
R( , ( ))
Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x, a x
x a
+
− ) Đặt x = a cos2t, t [0;2]
π
∈ +) R(x, a2 −x2 ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t +) R(x,
n
d cx
b ax
+
+ ) Đặt t =
n
d cx
b ax
+ +
+) R(x, f(x)) = (ax+b) αx2 +βx+γ
1
Với (αx2+βx+γ
)’ = k(ax+b)
Trang 5Khi đó đặt t = αx2+βx+γ
, hoặc đặt t = ax+b
1
+) R(x, a2 +x2 ) Đặt x = a tgt, t [ 2;2]
π π
−
∈ +) R(x, x2 −a2 ) Đặt x = x
a
cos , t [0; ]\{2}
π π
∈ +) R (n 1 n 2 n i )
x ; x ; ; x
Gọi k = BCNH(n1; n2; ; ni)
Đặt x = tk
1 2∫3 +
dx
2
3
dx
3
∫
2
1
2
1(2x 3) 4x2 12x 5
dx
4 ∫2 +
dx
5 ∫2 +
1
2 2008dx
x
6 ∫2 +
dx
7 ∫1 +
0
2
x
8 ∫1 −
0
3
2) 1 ( x dx
9 ∫3 ++
2
1
1
dx x
x
x
10 ∫2 −+
2
1
dx x x
11 ∫1 +
0 (1 x2)3
dx
12 ∫2 −
2
0 (1 x2)3
dx
13 ∫1 +
0
2
1 x dx
14 ∫2 −
2
2
1 x
dx x
15 ∫2 +
cos
π
x
xdx
16 ∫2 −
0
2
cos cos
sin
π
dx x x
x
17 ∫2 +
cos
π
x
xdx
18 ∫2 + +
sin 2 sin
π
dx x
x x
19 ∫7 +
3
1 x
dx
x
20 ∫3 −
0
2
x
Trang 621 ∫1 +
xdx
22 ∫1 + +
3
1
x x
dx x
23 ∫7 + +
dx
24
dx x x
1 0
8
25 ∫2 −
0
5
π
xdx x
x
26 ln∫3 +
dx
27 ∫
1
dx
28 ln∫2 +
0
2
1
x
x
e
dx e
29
1
4
5
4
30 ∫e + dx
x
x x
1
ln ln 3 1
31 ∫3 ++
3 5
1 x dx
x x
32
dx x x x
0
2
33 ∫
−
+ +
0
1
3
x x
34 ln∫3 +
2 ln
2
1 ln
ln
dx x x x
35 ∫3 +
0
2
2
cos
3 2 cos
2 cos
π
dx x
tgx x
x
36 ln∫2 +
x
e
dx e
37 ∫3 +
cos
π
x
xdx
38 ∫2 +
cos
π
x xdx
39
dx x
x
∫ ++
7
2
40 ∫a x +a dx
2 0
2 2
VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:
∫
−
a
a
a
dx x f x f dx
x
f
0
)]
( ) ( [
)
(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên [- 2
3
; 2
3π π
] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x
2
cos
2
Tính:
∫
−
2 3
2 3
) (
π
π
dx x f
Trang 7+) Tính ∫
− +
+
1 1
2
4
1
sin
dx x
x x
−
a
a
dx x
f( )
= 0.
Ví dụ: Tính: ∫
−
+ +
1 1
2) 1
−
+ +
2
2
2) 1 ln(
cos
π
π
dx x x
x
−
a
a
dx x
f( )
= 2
∫a f x dx
0
)
(
Ví dụ: Tính ∫
1 1
2
x
dx x
2
2
2
cos
4 sin
−
+
−
∫ x x
dx x
π
π
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:
∫
+
−
a
a
a
x dx f x dx
b
x
f
0
) ( 1
)
(
(1≠b>0, ∀a)
Ví dụ: Tính: ∫
− +
+
3 3
2
2 1
1
dx
x
2
2
1
5 cos 3 sin sin
π
π
dx e
x x x
x
π ], thì ∫ =∫2
0
2 0
) (cos )
(sin
π π
dx x f x f
Ví dụ: Tính ∫2 +
0
2009 2009
2009
cos sin
sin
π
dx x x
x
sin
π
dx x x
x
0 0
) (sin 2
) (sinx dx f x dx xf
Ví dụ: Tính ∫π +
01 sinx dx
x
∫ +
π
sin
dx x
x x
a
b
a
dx x f dx x b a
⇒ ∫b f b−x dx=∫b f x dx
0 0
) ( )
(
Trang 8VÝ dô: TÝnh ∫π +
0
2
cos 1
sin
dx x
x x
0
) 1 ln(
4 sin
π
dx tgx x
Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×:
a∫+T =T∫
a
dx x f dx x f
0
) ( )
(
⇒ nT∫ f x dx=n∫T f x dx
0 0
) ( )
(
VÝ dô: TÝnh 2008∫π −
0
2 cos
C¸c bµi tËp ¸p dông:
1 ∫
− +
−
1
1
2
2 1
1
dx
x
x
2
∫
−
+
− +
−
4
4
4
3 5 7
cos
1
π
π
dx x
x x x x
3 ∫
1
1
2) 1 )(
1
dx
x
4
∫
− −
+
2
2
2
sin 4 cos
π
π
dx x
x x
5
∫
−
2
1
2
1
) 1
1 ln(
2
x
x x
6.
dx nx)
x sin(sin
2 0
7 ∫
2
2
5
cos 1 sin
π
π
dx x
x
8
1 ) 1 ( 1
cot
= +
+
e
tga
e
x x
dx x
xdx
(tana>0)
VII TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
1 ∫
−
−
3
3
x
2 ∫2 − +
0
x
3 ∫2 −
0
x
4
∫
−
2
2
sin
π
π
dx
x
5 ∫
−
−
π π
dx x
sin 1
6
6
2
π
π
dx x g x
tg
7
∫4
3
4
2 sin
π
π
dx x
8 2∫π +
0
cos
1 x dx
9 ∫
−
−
− +
5 2
) 2 2
Trang 910 ∫3 −
0
4
2x dx
11
∫
−
−
3
2
3
cos cos
cos
π
π
dx x x
x