Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
Trang 1Tích phân
lvlovely@gmail.com
Luyện thi Đại học Tích phân
Đề thi 1999-2009
7 tháng 2 2010
Trang 2Tích phân 1999-2008 I.Bất đẳng thức tích phân
1.Chứng minh các bất đẳng thức sau :
2
1
2
1
2dx lnxdx (lnx)
2)
3
1 x
cotgx 12
4
π
π
3)
4 x
-1
dx 2
0 2000
π
4)
26
1 dx x 1
x 2
26
0 3 10
25
5)
3
3 2 1 cosx x cos
dx 3
3
π
3.Giải bất phương trình :
e
lnx 2
lnx
4
3 t
dt t
2 dt
Phương pháp đổi biến số Tích phân của các hàm phân thức
1999-2000
1.Tính tích phân :
x
1
x
1
1
2
2
b) 3
2
dx 1 x x
1
1
0 6
4
dx 1 x
1 x
d)
2) 3x
(x
dx
1
0x2 3x 2
1) (x xdx
1
1
x
1
x
1
0 6
2
1x2(x 1)
1 x x
2 6x
2
0 2
£22 3.Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = ex, y = 1/e, y = e và trục tung quay xung quanh trục Oy
Đề thi Tú tài năm 2008
Kỳ I Tính tích phân
1
0
)xdx x e (1
2.Phân ban Ban A
1
1
-dx 4 ) 3 x (1 2 x
2 π
0
cosxdx 1) (2x
π
0
sinxdx cosx
Đề thi Tú tài năm 2008
Kỳ II Tính tích phân
1
0
dx 1 3x
2.Phân ban Ban A
1
0
dx x e 1) (4x
2
1
1)dx 4x 2 (6x
1
0
1)dx 2x 2 (3x
Trang 3£21 Từ đó tìm
CĐ Kinh tế – Công nghệ tp.HCM năm 2007
4 Hãy chứng minh
54
dx x 2 cos 4
1 57
π
π
6 π
Diện tích hình phẳng
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường :
1 y x24x3,yx3 2
2 4
2 x y 4
2 x 4
3 y(e1)x,y(1ex)x
Đề thi ĐH-CĐ khối A năm 2007
4 x + y = 0, x2 2x + y = 0
CĐ KTKT Công nghiệp II năm 2007
5 y = 7 2x2, y = x2 + 4
CĐ KT Cao Thắng năm 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới parabol (P) : y = – x2 + 4x và
đường thẳng d : y = x
Đề thi CĐ khối A, B, D năm 2008
Thể tích của các khối tròn xoay
1.Cho hình phẳng H giới hạn bỏi các đường y = xlnx, y = 0, x = e
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh
trục Ox
Đề thi ĐH-CĐ khối B năm 2007 2.Cho hình phẳng H giới hạn bỏi các đường y = ex , y = e x + 2
x = 0, x = 2
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh
trục Ox
£2
2 Chứng minh rằng :
cotga
tga
1/e 2
0) (tga 1
) x x(1
dx x
1 xdx
2
1
2
trong đó a là một số cho trước
1) (x
x lim
1
1 3n
n Tính các tích phân :
x 1
arctgx x
x
1
2
4
20dx 4) -x(x
2000-2001
Tính các tích phân :
9 2x x
1 10x 2x x 2) dx 9 2x x
10 3x x 1)
1
0 2
2 3 1
0 2
2
1 2
2 1
0 2
dx 12 7x x
x 2)
dx 6 5x x
11 4x 1)
1
0
2
4 4x 3 x
dx
0 2
3
dx 1 2x x
3x 4)
1
0 4 2
dx 1 x x
x
dx x 1
3 6)
2001-2002
1.Tìm họ nguyên hàm :
1) 3x 1)(x 5x (x
1 x
2 2
2
Trang 42 2
5
1
1 2
x
4
x
1 2
x
3
1
dx x
2 4
4.
1
1(1 x2)2
12x(x4 1) dx
6.12 dx
1)
x(x
1
x
2
x
7.0b 2dx
)
2
x
(a
2
x
a
(a,b là các tham số dương cho trước)
2002-2008
1
1
0(x 1)3
xdx
01 x2
xdx
1
3.1
0 x2 1
dx
3
x
4
02x2 5x 2
dx
1 5
1x x3
dx
3
x 2
x
2 2x 2 3x
3
x
4
x
2
1
CĐ GTVT III năm 2007
1
2
x
1
x
1
0
CĐ Công Nghiệp Thực phẩm Tp.HCM năm 2007 8
0
1
- x2 2x 2
dx
1 x 2 x
1 2x
1
0
10
0
1
- 2 2x 4
dx
Đề thi ĐH Sài gòn khối A năm 2007
£20
T
0
T a
af(x)dx f(x)dx
Dùng tính chất chẵn lẻ của hàm số
1999 − 2000
Tính tích phân :
1
1 2
4
dx 1 x
sinx x I
2000 − 2001
1.Chứng minh rằng :
0 nx)dx -sin(sinx I
2π
0
2.Tính tíc h p ha ân :
x sin -4
cosx x
2 π
2 π
2
2) I (e sinx exx2)dx
1
1
-x 2
Các tích phân đơn giàn
2002-2008
3 1) (x
a
TÌm a va ø b b ie át ra èng f’ (0) = 22 va ø f(x)dx 5
1
0
2.Tính tíc h p ha ân
2
0
dx x 2 x I
3 Tính tíc h p ha ân
I(x) = x dt
1) t(t 1
vơ ùi x > 0
Trang 5£19 19
19 C 21
1 18 19 C 20
1
2 19 C 4
1 1 19 C 3
1 0 19 C
2
1
2.a )Tính tíc h p ha ân : I x (1 x ) dx
1
0
n 3 2
n
b )C hư ùng m inh ra èng
1) 3(n
1 -2 C 3 3n
1
C 12
1 C 9
1 C
6
1
C
3
n 3
n 2
n 1
n
0
Các dạng toán khác
Các tích phân đơn giàn
2000 − 2001
1.Tính c a ùc tíc h p ha ân :
dx e
) e (1 2) dx
4 -2 J
1)
1
0 3
2 x 3
0
2.Tính tíc h p ha ân : max[f(x), g(x)]dx
2
0
tro ng đ o ù : f(x) = x2 va ø g (x) = 3x2
3.C ho f(x) = Asin2x + B Tính A, B đ e åf (0) 4, f(x)dx 3
2π
0
2001 − 2002
1.Tính tíc h p ha ân : dx
4
0xx-m tu y ø the o m 2.Tính tíc h p ha ân :
2
dx 2 1) (2x
Dùng tính chất tuần hoàn của hàm số
C hư ùng m inh ra èng ne áu f(x) la ø ha øm lie ân tu ïc vơ ùi m o ïi g ia ù trị c u ûa
x va ø tu a àn ho a øn vơ ùi c hu ky ø T thì :
£4
4 2 x
1 x 4 x
2
0
Tích phân của các hàm căn thức
1999-2000
Tính tíc h p ha ân :
a 3
7
0
1 3x
1 x
7 x x2 9
dx
c dx
2 3x
1 x
2
0 3
d 1
2
1 x
x)dx (x
e
1 x 1) (2x dx
3 1
1 x
2x x
3
3 5
g 1
0 x 1 xdx
2000-2001
Tính c a ùc tíc h p ha ân :
4
0
2 3
3
0
2
3 2x xdx x
2)
a
0
2 2 2
(a la ø ha èng so á d ư ơ ng )
dx ) x (1 2)
1
0
3 2
c
1 x x
dx 1)
2
1x 1 x2
dx 2)
2001-2002
1 x5 1 x3dx
1 0
0
2 3
dx x 1 x
3 10
2 5x 1 dx :
Trang 62002-2008
9
1
dx
3
x
1
1
0
dx 2 x 1 3
x
1
0
.dx
1
2
x
x 4.x2 2x3dx
5.
1
0
.dx
x
1
3
0
dx 5 x 1 2 x
1
x
1
x
2
1
5x 2 x 1 dx
9
3
2
5 x 2 4
dx
10.7
0
dx
3x 1
2 x
1
5
x
4
x
2
0
3 x 1 x 3
3 x
3
1
-
1
2
x
3
2x
5
x
3
0
14.3
7
0
dx
33x 1
1 x
1
2x
xdx
1
0
C Đ Ng u y e ãn ta át Tha ønh na êm 2007
5
x
1
x
x
2
1
17.1
51 1 3x dx
18.6
22x 1 4x 1
dx
Tích phân của các hàm mũ
1999-2000
a )ln2
0 ex 1
dx
b )
1 1
- dx 2 1
x
x 4
£18 2.C ho tíc h p ha ân : 2
π 0
n
I
vơ ùi n la ø so á ng u y e ân d ư ơ ng 1) Tính I3 va ø I4
2) Thie át la äp he ä thư ùc g iư õa In va ø In-2vơ ùi n > 2 Tư ø đ o ù tính I11 va ø
I12
2nx
e 1
e I
vơ ùi n = 0,1,2,3,…
1) Tính Io 2) Tính In + In+1
Công thức Newton
2000 − 2001
1.Tính tíc h p ha ân : I x(1-x ) dx (n N*)
1
0
n 2
Tư ø đ o ù c hư ùng m inh ra èng :
1) 2((n
1 C
1) 2(n
1) (
C 8
1 C 6
1 C 4
1 C 2
n
n 3
n 2 n 1 n 0
2.Tính tíc h p ha ân :
)
* N n ( dx x) (1 I
1
0
n
Tư ø đ o ù c hư ùng m inh ra èng :
1 n
1 -2 C 1 n
1
C 3
1 C 2
1 1
1 n n n 2
n 1
3.C ho n la ø m o ät so á ng u y e ân d ư ơ ng
a )Tính tíc h p ha ân : I (1 x) dx
1
0
n
b )Tính to ång : n0 1n 2n Cnn
1 n
1
C 3
1 C 2
1 C S
1.Tính tíc h p ha ân : I x(1-x) dx
1
0
19
Ru ùt g o ïn to ång :
Trang 7£17 4.C hư ùng m inh ra èng vơ ùi m o ïi n ng y e ân d ư ơ ng ta c o ù :
0 dx e 1) -(2x x-x2
1
0
1
2000-2001
4.a )C hư ùng m inh ra èng :
1)!
n (m
n!
! m dx
x) -(1 x I
1
0
n m n
vơ ùi m o ïi m ,n = 0,1,2,3,…
( Ky ù hie äu m ! = 1.2.3…m va ø q u y ư ơ ùc 0 ! = 1 )
b )G ia û sư û ra èng m + n = 10 Ho ûi vơ ùi m ,n na øo thì Im ,nđ a ït
g ia ù trị lơ ùn nha át , b e ù nha át ? Ta ïi sa o ?
5.Tính tíc h p ha ân : I (1-x ) dx (n N)
1
0
n 2
a )Tìm he ä thư ùc g iư õa In va ø In 1( vơ ùi n 1 )
b )Tính In the o n
6.Tính tíc h p ha ân :
.) 0,1,2,3,
n ( dx ) x -x(1 J
, dx ) x -(1
x
I
1
0
1
0
n 2 n
n 2 2
1)Tính Jn va ø c hư ùng m inh b a át đ a úng thư ùc :
1) 2(n
1
In
vơ ùi m o ïi n = 0,1,2, …
2)Tính In+1the o In va ø tìm :
n
1 n
I lim
x 1 ) x (1 dx
1
2001-2002
1.C ho tíc h p ha ân : π
0
2cos2x 3
sin2mx I
(m la ø tha m so á )
C hư ùng m inh ra èng :
Im + Im -2 = 3Im -1
vơ ùi m o ïi m 2
£6
2000-2001
1)ln2
0
dx 1 x e
2x e
0
dx 3 2x e 1
2001-2002
4 4
dx 1 x 6
x 6 cos x 6 sin
π
π 2 1
2 1 dx
2002-2009
1 ln5
ln3ex 2e x 3
dx
2
ln2
0
dx 2 x e
2x e
8 ln
ln3
dx 2x e 1 x
ln5
ln2 ex 1
dx 2x e
5
ln3
0 (ex 1)3
dx x
Tích phân của các hàm logarit
1999-2000
x
x) ln 1 lnx
e
1
1
dx 2x
lnx 2
c ) e
1
dx x lnx
2000-2001
e
1
dx x
x ln 1
Trang 82001-2002
cosx
1
sinx)
(1
ln
2
π
0
cosx 1
2 4
0 ln(1 tgx)dx
π
:
2002-2008
1 e
1
dx x
lnx
3lnx
1
2 e
1
dx 2lnx 1 x
2lnx 3
3
1
dx
1
lnx
x
x
2
ln
4.3
π
4 π
dx sin2x
(tgx) ln
5.e
1 3
lnx
1
x
x
d
C Đ Xa ây d ư ïng so á 2 na êm 2007
Tích phân của các hàm lượng giác
1999 − 2000
1.C ho 2 so á ng u y e ân d ư ơ ng p va ø q Tính :
xdx cospx.cosq I
2π
0
tro ng trư ơ øng hơ ïp p = q va ø p q
2.C ho ha øm so á : g(x) sinx sin2x sin3x
a )Tìm ho ï ng u y e ân ha øm c u ûa g (x)
b )Tính tíc h p ha ân : dx
1 e
g(x) I
2 π
2 π x
3.Tính tíc h p ha ân :
sin2x
3
sinx cosx
π/3
π
0
2xdx tg
5 3cosx 4sinx
6 7cosx sinx
π/2
0
x cos dx
π/4
0 4
£16 2) Tư ø c a ùc ke át q u a û tre ân , ha õy tính c a ùc g ia ù trị c u ûa I , J va ø :
3 5π
2
3π
sinx 3 cosx
cos2xdx K
2.Tính tíc h p ha ân :
0
π
dx cosx sinx
cosx
2) 8
π
cos2x sin2x
cos2x
3)
π 2 0
5c o sx 4sinx
d x 3 (c o sx sinx)
2002-2008
Tính c a ùc tíc h p ha ân
π
0
dx x 2004 cos x 2004 sin
x 2004 sin
13.2
π
0
sin5xdx 3x
e
Tích phân truy hồi
1999-2000
1.Tính tíc h p ha ân : I x e-2xdx n 1,2,3,
1
0
n
1)C hư ùng m inh : In In+1 Tính In+1 the o In 2)C hư ùng m inh :
1) 2(n
1 I
0 n
vơ ùi m o ïi n 2
nlim I
e 1
e I
1
0 x
nx
n 1) Tính I1
2) Vơ ùi n > 1 ha õy tìm c o âng thư ùc b ie åu d ie ãn Inq u a In-1 3.C ho tíc h p ha ân :
1
0
2dx (xsinx)
a ) Tính tíc h p ha ân khi t =
b ) C hư ùng m inh ra èng I(t) + I( t) = 0 ( t R )
Trang 95
2
0
dx
x
sin
0
1
-dx ) 3 1 x 2x x(e
7.
2
π
0
sinxdx
x)
3
cos
1
lnxdx x 1 3
9 e
1
lnxdx
x
1
2
10 2
π
0
2xdx sin cosx e
Tích phân liên hợp 1999-2000
1.Tính tíc h p ha ân :
π
0
2xcosxdx e
I
2.1) C ho ha øm so á f lie ân tu ïc tre ân 0,1 C hư ùng m inh :
π/2
0 π/2
0
f(cosx)dx f(sinx)dx
2) Sư û d u ïng ke át q u a û tre ân đ e å tính :
π/2
0
3 π/2
0
3
dx cosx sinx
xdx sin J
dx cosx sinx
xdx cos I
2001-2002
π 0
2 6
π
0
2
cosx 3 sinx
xdx cos J
, cosx 3 sinx
xdx sin I
1) Tính I 3J va ø I + J
£8
e )
2
x sin
dx
3 4π
π
π/2
0 1 sin2x dx
g ) sin2x(1 sin x) dx
π/2
0
3 2
π
0
2dx cosx) sinxcosx(1
cosx 1
x 4sin
π/2
0
3
π
6 π
4xcosx sin
dx
k)
2 π
01 cosx dx
x sin b x cos a
sinxcosx I
π/2
vơ ùi a 0 , b 0 va ø a2 b2
2000 − 2001
1.C hư ùng m inh ra èng vơ ùi ha i so á tư ï nhie ân m , n kha ùc nha u
0 xdx sinmx.sinn xdx
cosmx.cosn
π
π -π
π
-
2.Tính c a ùc tíc h p ha ân :
/2
/6 3 0
2 2
π π
0 4 π/4
0
4
xdx cos 4) xdx
sin 3)
/2
0
4 4 10
10
x)dx x.sin cos -x sin x (cos 5)
π
π
0
3xcos5xdx cos
6)
cosx sinx
cosx sinx 1)
3
4
π
0
2 dx x cos
sin2x 1 2)
π
Trang 103
π
6
π
2 2
dx 2 x cotg x
tg
c
tgx
1
dx
1)
4
π
0
π
4 π
4
xdx tg
3 π
6
π
6
π x sinxsin
dx 3)
d
x cos
-2
dx
1)
4
0
2
π
dx x cos
x sin 2)
3
4 6
2
π
π
dx e cosx 1
sinx 1 3)
2 π
0
x
e
2
2
dx x
2
sin
-4
cosx
x
π
π
2001-2002
1 2
0 sin3xdx
π
2cosx) (sinx
dx
π
cos2x
x
3
tg
6
0
x cos x sin
sin4x
4 π
5 4
π
x
cos
1
6 2
sinx 1
x 4cos
π
7 2π
0 4sin2x 3
dx
π
9 2π
0 ( cosx sinx)dx
π
11.a ) Tính tíc h p ha ân : 2
π 0
2
sin2xdx x
cos
b ) C hư ùng m inh ra èng :
π 0 5 2
π
0
6xcos6xdx cos xsinxsin6xdx cos
£14
2.
2 π
0
2xdx sin 1)
4 π
0
cosxdx 1) (x
4.4
π
0
dx x 2 cos
x
5.4
π
0
dx cos2x 1 x
6.
2 π
0
dx x 2 cos 1)
1
0
dx 2x e 2) (x
2 π
0
x cosx)cosxd sinx
4 π
0
dx cosx) sinx e (tgx
Pp đổi biến số và pp tích phân từng phần
1999-2000
3
0 1
1
-x.arctgxdx 4x
-5 x
2002-2008
1.
4
0
dx 3 1) (2x
1 2x ln
2.1
0
dx
2 x e x
3 5
0
dx 2 x e x
4 9 2
0
dx x sin
C Đ G TVT III na êm ho ïc 2007
Trang 1110.2
1
dx
2
x)
(1
ln
11.e
1
dx x
x ln
12.2
1
dx
3
x
ln
Đe à thi ĐH-C Đ kho ái D na êm 2008
Khử hàm đa thức
1999-2000
a 1
0
xdx
xe b (2x2 x 1)exdx
c sin x dx
2
π
0
d π
0
2
sinxdx x
e π
0
3
4xsin xdx
xcos
2000-2001
3
π
0
xcosxdx
π/4
0
2
2001-2002
)dx x e
x
sin
1
1
-x 2
2002-2008
1.2
π
0
2xdx
sin
x
C Đ Kinh te á Tp HC M na êm 2007
£10
va ø tính : 2
π 0
5xcos7xdx cos
12.Tìm ho ï ng u y e ân ha øm :
6
π x cotg 3
π x tg I
2002-2009
1.4
π
0
xtgxdx 2
4 π
0
x)dx 8 tg 1 (
2 π
0
dx 3 x) 2 sin 2x(1
4 π
0
dx x) 4 sin x 4 (cos
5.2
π
0
dx cosx 1
2xcosx sin
6.4
π
0
dx 2x sin 1
x 2 sin 2 1
7.4
π
0
dx 2x sin 1
cos2x
8.2
π
0
dx cosx 1 x 3 4sin
π
0
dx 1 2cos3x
sin3x
10.2
π
0
dx 2sinx 5 cosx
11.2
π
0
dx 2 x) sin (2
2x sin
cosx cos2x sinx
2
3
π
π
C Đ Ta øi c hính – Ha ûi q u a n na êm 2007
13.2
π
0
dx x 2 cos 5sinx 7
cosxdx
π
0
dx 3 3) cosx x (sin cos2x
15
2 π
0
xdx 5 sinxcos 6
x 3 cos
2 π
0
dx x 2 4sin x 2 cos 2x sin
Trang 1217.2
π
0
dx 3cosx
1
sinx
2x
sin
18.2
π
4 π
dx 2x sin 1
cosx sinx
19.6
π
0
dx
cos2x
x
4
tg
Đe à thi ĐH-C Đ kho ái A na êm 2008
20
4
cosx) sinx 2(1
2x
sin
dx 4 x
sin
π
0
π
Đe à thi ĐH-C Đ kho ái B na êm 2008
Phương pháp tích phân từng phần
Khử hàm logarit
1999 − 2000
a 2
1
e 1
2 dx x) (1 lnx
2
π
0
dx cosx)
2 π
2 π
2 1 ) dx x
x cosxln(
2000-2001
dx
x
1)
ln(x
2
1
2
£12
2001-2002
1 e
1 x2lnxdx
3 10
π
3
x cos xsinx
5 π2 0
dx x
3
2 π 0 3
7.C ho ha øm so á f(x) = a x+b vơ ùi a2 + b2 > 0 C hư ùng m inh ra èng :
0 f(x)cosxdx f(x)sinxdx
2 3
π 0
2 3
π
2002-2009
1.
2
1
2)lnxdx
1
lnxdx 2
3
2
x)dx 2 (x
1
0
dx ) 2 x (1 xln
5.
2
1
1)lnxdx
2
0
dx 1) 7)ln(x (2x
3
0
dx 5) 2 (x xln
8.e
1
xdx 2 ln 3 x
Đe à thi ĐH-C Đ kho ái D na êm 2007
9.e
1
dx 3 x
x ln
Đe à thi ĐH Sa øi g o øn kho ái D, M na êm 2007