Xác suất của biến cố ngẫu nhiên

XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Ta gọi xác suất của biến cố A là một số thực xác định bởi tỷ số: m n... b Tính xác suất để rút được 3 chính phẩm.c Tính xác suất để rút được 2 phế phẩm.d Tính xác su

Chương 1 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Ta gọi xác suất của biến cố A là một

số thực xác định bởi tỷ số: m

n

Trong đó m là số các khả năng thuận lợi cho sự xuất hiện của A

n là tất cả các khả năng có thể xảy ra

Ví dụ 1: Gieo một con xúc sắc Gọi

A là biến cố con xúc sắc xuất hiện mặt chấm chẵn, Ai là biến cố con xúc sắc xuất

hiện mặt có số chấm là i, B là biến cố con

xúc sắc xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho 3 Khi đó

Ký hiệu: p A( ) m

n



a) Tính xác suất để rút được 3 phế phẩm.

b) Tính xác suất để rút được 3 chính phẩm.c) Tính xác suất để rút được 2 phế phẩm.

d) Tính xác suất để rút được ít nhất 1 phế phẩm

tất cả các khả năng có thể là: số tổ hợp chập

4 của 10 phần tử

4 10

n C

m là số các khả năng thuận lợi cho sự

xuất hiện của A

( ) m C C

3 1

7 3 4 10

21.3 3 ( )

Định nghĩa xác suất như trên được gọi

là định nghĩa cổ điển của xác suất

Phương pháp định nghĩa xác suất như sau được gọi là phương pháp định nghĩa

xác suất bằng thống kê

Nếu lặp lại n lần phép thử, trong đó có

m lần xuất hiện biến cố A thì tỷ số (1)

gọi là tần suất của biến cố A

m n

Với n đủ lớn thì (1) xấp xỉ bằng một

số p nào đó, p được gọi là xác suất của biến

cố A

Ví dụ:

Gieo một đồng tiền Gọi A là biến cố đồng tiền xuất hiện mặt sấp theo định nghĩa xác suất cổ điển ta có: ( ) 1 0.5

2

p A  

Bằng phương pháp thống kê, người ta

đã gieo đồng tiền này một số lần và ghi lại kết qủa như sau

Kết qủa này tham khảo từ một số tài liệu Xác suất thống kê

Ngòai ra xác suất được định nghĩa bằng hình học như sau.

Xét một hình vuông đã biết diện tích Bên trong xét một hình A tùy ý

cũng biết diện tích Thực hiện một phép thử như sau

Trong đó S(A) là diện tích của miền A,

và là diện tích hình vuông S ( )

Ví dụ: (Bài tóan hẹn nhau)

Hai người hẹn nhau ở một địa điểm trong khỏang thời gian từ 11 giờ đến 12

giờ Họ quy ước với nhau như sau, nếu một người tới trước mà không gặp người kia thì đợi thêm 10 phút, người kia chưa tới thì về

Tính xác suất để hai người gặp nhau

Vậy thời điểm để hai người gặp nhau

có thể biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ

( ) 60 60 50 50 11

30%

( ) 60 60 36

S A p

S

  

2.2 Ý nghĩa của xác suất

Có nhiều cách định nghĩa xác suất như

đã nói Tuy nhiên trong thực tế người ta

thường kết hợp cả hai phương pháp cổ điển

và thống kê

Xác xuất của biến cố A đặc trưng cho mức độ xuất hiện của biến cố A trong một phép thử p(A) càng gần 1thì khả năng xuất

Các tính chất trên là hiển nhiên.

Của A càng nhiều, ngược lại p(A) càng gần

0 thì khả năng xuất hiện càng ít

Ví dụ 1:

Trong hộp có 8 bi, gồm 2 bi đỏ và 6 bi xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp 3 bi Tính

a)Xác suất để chọn được ít nhất một bi đỏ

b) Xác suất để chọn được cả ba bi xanh

Giải:

Gọi A1 là biến cố chọn 3 bi mà được đúng một bi đỏ, A2 là biến cố chọn 3 bi mà được đúng hai bi đỏ Khi đó A1, A2 là hai biến cố xung khắc nhau

Ví dụ 2:

Một lớp học có 100 học sinh, trong đó

có 30 em giỏi cả Toán lẫn Ngoại ngữ, 40

em giỏi Toán, 50 em giỏi Ngoại ngữ Gọi ngẫu nhiên 1 học sinh của lớp Tính xác

suất để gọi được em giỏi ít nhất 1 môn

Giải:

Gọi A là biến cố chọn được em giỏi Tóan

B là biến cố chọn được em giỏi Ngoại ngữ

40 ( )

100

p A 

( ) 50 100

p B 

AB là biến cố chọn được em giỏi cả hai

môn Tóan và Ngọai ngữ

30 ( )

2.5 Xác suất điều kiện:

Trước tiên ta xét một ví dụ như sau

Có 40 phiếu thi tóan, mỗi phiếu chỉ có một câu hỏi Mức độ khó dễ cũng như đặc tính của câu hỏi được cho trong bảng sau:

Số lượng Câu hỏi khó Câu hỏi dễ

Gọi A là biến cố rút được câu lý thuyết,

B là biến cố rút được câu hỏi khó Ta có

13 ( )

Giả sử nếu biết rằng B đã xảy ra, nghĩa

là rút được một trong số 17 câu hỏi khó

Khi đó xác suất để rút được câu hỏi đó

là câu hỏi lý thuyết là: 5

17

Xác suất này được gọi là xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện biến

cố B đã xảy ra

2.5.1 Định nghĩa:

Biến cố của sự kiện A với điều kiện sự kiện B đã xảy ra, ký hiệu A/B, và được tính bằng công thức

2.5.2 Công thức nhân xác suất:

Hệ qủa của công thức trên là công thức nhân xác suất sau đây

Tính xác suất để

a) Cửa mở được ở lần thử đầu tiên.

b) Cửa mở được ở lần thử thứ hai

c) Cửa mở được ở lần thử thứ ba

lần thứ nhất không mở được và lần thứ hai

mở được đồng thời xảy ra

Biến cố này khác với biến cố chỉ sự kiện lần hai mở được cưa khi đã biết chắc chắn lần một không mở được

Hai biến cố không độc lập gọi là phụ thuộc Để phân biệt giữa độc lập và phụ

thuộc ta xét ví dụ sau đây

Ví dụ 2a: Một hộp có 10 bi trong đó có

3 bi đỏ Chọn ngẫu nhiên lần lượt 2 bi

không hòan lại Gọi A là biến cố chọn được

bi ở lần thứ nhất là màu đỏ, B là biến cố

chọn được bi ở lần thứ hai là màu đỏ Khi

đó hai biến cố A, B phụ thuộc

Ví dụ 2b: Một hộp có 10 bi trong đó

có 3 bi đỏ Chọn ngẫu nhiên lần lượt 2 bi có

hòan lại (nghĩa là chọn bi thứ nhất xong

xem kết qủa sau đó bỏ vào và chọn ngẫu

Nếu A, B độc lập thì công thức nhân sẽ là

2.6 Công thức xác suất đầy đủ và công

thức Bayes

2.6.1 Định nghĩa:

Xét trong một phép thử, hệ biến cố

A A1, 2 , , A n được gọi là hệ đầy đủ nếu

i) Các biến cố xung khắc nhau đôi một

Ví dụ: Gieo một con xúc sắc Thì hệ biến

cố là hệ đầy đủ A A1, 2 , , A6

2.6.2 Công thức xác suất đầy đủ :

Xét một phép thử với hệ biến cố đầy

đủ Khi đó với mọi biến cố

từ hộp đó chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm Tìm xác suất

để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt.

Gọi A1 là biến cố chọn được hộp sản phẩm I, A2 là biến cố chọn được hộp sản phẩm II, và B là biến cố chọn được sản

phẩm tốt Ta có

1

1 ( )

2.6.3 Công thức Bayes:

Với tất cả giả thiết ở công thức xác suất đầy đủ ta có công thức sau đây gọi là công thức Bayes

( ) ( ) ( / ) ( / )

từ hộp đó chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm Giả sử sản

phẩm lấy ra là sản phẩm tốt Tính xác suất để sản

phẩm đó thuộc hộp thứ nhất

Theo đề bài ta cần tính xác suất của biến cố Theo công thức Bayes p A B( / )1

1

( ) ( / ) ( / )

Công thức Bayes do một Mục sư tên là Thomas Bayes tìm ra từ tình huống phân tích kinh tế như sau.

Một nhà đầu tư dự định hai lần đầu tư vào một công việc kinh doanh nào đó Lần đầu tư thứ nhất

thành công với xác suất p 1 Nếu lần đầu tư thứ nhất

thành công thì lần đầu tư thứ hai sẽ thành công với xác

suất p 2 lớn hơn p 1 Vậy với cả hai lần đầu tư, thì xác

suất đều thành công là p p1 2

Ý tưởng ở trên đã diễn tả công thức

p A A p A p A A

( Dựa theo Tự điển phân tích kinh tế

Nguyễn Đôn Phước dịch, 2007)

BT Một nhà máy sản xuất bóng đèn có 2 phân xưởng 1 và 2 Biết rằng phân xưởng

2 sản xuất gấp 4 lần phân xưởng 1, tỷ lệ

bóng đèn hư của phân xưởng 1 là 10%,

phân xưởng 2 là 20% Mua ngẫu nhiên 1 bóng đèn của nhà máy

a/ Tìm xác suất để bóng đèn này hư

b/ Giả sử mua phải bóng hư Tìm xác suất để bóng đèn này thuộc phân xưởng 1, phân xưởng 2