Logic mệnh đề potx

CÔNG THỨC ĐỒNG NHẤT ĐÚNG Công thức A được gọi là công thức đồng nhất đúng khi và chỉ khi A luôn luôn nhận giá trị đúng với mọi bộ giá trị đúng, sai của các biến mệnh đề có mặt trong

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Các khái niệm cơ bản

1.2 Lý thuyết tổ hợp

1.3 Hai nguyên lý cơ bản

1.4 Lý thuyết số và các hệ đếm

1.5 Bài tập

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

LOGIC MỆNH ĐỀ

a) Mệnh đề, mệnh đề có điều kiện và sự tương đương logic

b) Dạng chuẩn tắc hội và chuẩn tắc tuyển của công thức

c) Các phương pháp kiểm tra tính hằng đúng, hằng sai của công thức

3) “Nếu trời nắng thì tôi đi chơi”

4) “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam và Thành phố HCM là trung tâm

kinh tế lớn nhất Việt Nam”

5) “Người đi xe máy không vượt đèn đỏ nếu anh ta thấy công an trừ

khi anh ta quá liều”

1), 2) là mệnh đề sơ cấp

3), 4), 5), 6) là các mệnh đề phức hợp

Mệnh đề không phải là mệnh đề sơ cấp được gọi là mệnh đề phức hợp

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ

1. Phép phủ định

2. Phép hoặc (tuyển, cộng logic)

3. Phép và (hội, nhân logic)

4. Phép xor (tuyển loại)

5. Phép kéo theo

6. Phép tương đương

1 PHÉP PHỦ ĐỊNH

Ký hiệu hoặc ¬X

2 PHÉP HOẶC (TUYỂN, CỘNG LOGIC)

3 PHÉP VÀ (HỘI, NHÂN LOGIC)

4 PHÉP XOR (TUYỂN LOẠI)

5 PHÉP KÉO THEO:

Kí hiệu X  Y

Cho X và Y là hai mệnh đề, “X kéo theo Y” ( “nếu X thì Y” ) là một mệnh

đề chỉ nhận giá trị sai nếu X đúng, Y sai

Ví dụ 8:

X=“n là một số chẵn”, Y=“n là một số chia hết cho 2”,

X  Y = “n là một số chẵn ” suy ra “n chia hết cho 2”

6 PHÉP TƯƠNG ĐƯƠNG

Kí hiệu X  Y

Cho X và Y là hai mệnh đề, “X tương đương Y” là một mệnh đề nhận giá trị đúng nếu cả hai mệnh đề đã cho cùng đúng, hoặc cùng sai

Ví dụ 9:

X=“n là một số chẵn”, Y=“n là một số chia hết cho 2”,

X  Y = ” n là một số chẵn” khi và chỉ khi ” n là một số chia hết cho 2”

CÔNG THỨC LOGIC TRONG MỆNH ĐỀ

Mỗi biến mệnh đề X, Y, Z… (có thể có chỉ số) là một công thức

A, B là hai công thức, khi đó dãy ký hiệu

CÔNG THỨC ĐỒNG NHẤT ĐÚNG

Công thức A được gọi là công thức đồng nhất đúng khi và chỉ khi A luôn luôn nhận giá trị đúng với mọi bộ giá trị đúng, sai của các biến mệnh đề

có mặt trong A

Ví dụ 11: X  Y → Y ≡ 1

Ký hiệu A≡1

Công thức A≡1 còn được gọi là hằng đúng

CÔNG THỨC ĐỒNG NHẤT SAI

Công thức A được gọi là công thức đồng nhất sai khi và chỉ khi A luôn luôn nhận giá trị sai với mọi bộ giá trị đúng, sai của các biến mệnh đề có mặt trong A

Ví dụ 12: X  ¬X ≡ 0

Ký hiệu A≡0

Nếu A là hằng đúng thì ¬A là công thức đồng nhất sai

CÔNG THỨC THỰC HIỆN ĐƯỢC

Công thức A được gọi là công thức thực hiện được khi và chỉ khi có tồn tại một bộ giá trị đúng, sai của các biến mệnh có mặt trong A để A nhận giá trị đúng

Ví dụ 13:

 Các công thức tuyển, hội của hai mệnh đề; công thức hằng đúng

là các công thức thực hiện được

 Công thức hằng sai là công thức không thực hiện được

CÔNG THỨC ĐỒNG NHẤT BẰNG NHAU

Hai công thức A và B được gọi là công thức đồng nhất bằng nhau khi và chỉ khi A và B cùng nhận giá trị đúng, sai như nhau đối với mọi bộ giá trị đúng, sai của các biến mệnh đề có mặt trong A và B Ta nói, A và B là

tương đương

Ví dụ 14:

 p và ¬ (¬p) là hai công thức tương đương

Ký hiệu A≡B hoặc A  B

MỘT SỐ LUẬT ĐỒNG NHẤT ĐÚNG

1.

A A

11.

1.

A A

10.

1.

A B

B) (A

9.

1.

C)) B)

((A C)

((B C)

(A C)

((A B)

(A

.

3

1 C))

(A B)

((A C))

(B (A

2.

1.

A) (B

LUẬT ĐỐI NGẪU

Giả sử A là một công thức chỉ chứa các phép toán ,  , ¬ mà không chứa phép → Trong A đổi chỗ  và  cho nhau ta được công thức mới A* A* gọi là công thức đối ngẫu của A

LUẬT THAY THẾ VÀ LUẬT KẾT LUẬN

Định lý 2: Luật thay thế: Nếu A(X)≡1 thì A(E) ≡1 với E là công thức bất kỳ

MỘT SỐ LUẬT TƯƠNG ĐƯƠNG

T

1 Luật phủ định kép

2 Luật giao hoán đối với phép tuyển

3 Luật giao hoán đối với phép hội

4 Luật kết hợp đối với phép tuyển

5 Luật kết hợp đối với phép hội

6 Luật De Morgan đối với phép tuyển

7 Luật De Morgan đối với phép hội

MỘT SỐ LUẬT TƯƠNG ĐƯƠNG

8 Luật phân bố giữa phép tuyển với phép hội

9 Luật phân bố giữa phép hội với phép tuyển

10 Luật hấp thụ giữa phép tuyển đối với phép

hội

11 Luật hấp thụ giữa phép hội đối với phép

tuyển

12 Luật khử phép kéo theo

13 Luật lũy đẳng đối với phép tuyển

14 Luật lũy đẳng đối với phép hội

MỘT SỐ LUẬT TƯƠNG ĐƯƠNG

15 Luật trung hòa đối với hằng sai

16 Luật trung hòa đối với hằng đúng

17 Luật thống trị đối với hằng đúng

18 Luật thống trị đối với hằng sai

19 Luật phần tử bù đối với phép tuyển

20 Luật phần tử bù đối với phép hội

LOGIC MỆNH ĐỀ

a) Mệnh đề, mệnh đề có điều kiện và sự tương đương logic

b) Dạng chuẩn tắc hội và chuẩn tắc tuyển của công thức

c) Các phương pháp kiểm tra tính hằng đúng, hằng sai của công thức

TUYỂN SƠ CẤP VÀ HỘI SƠ CẤP (1/2)

Tuyển sơ cấp (TSC) là tuyển của các biến mệnh đề hoặc phủ định của chúng

Hội sơ cấp (HSC) là hội của các biến mệnh đề hoặc phủ định của chúng

DẠNG CHUẨN TẮC HỘI VÀ CHUẨN TẮC

TUYỂN CỦA CÔNG THỨC

Dạng chuẩn tắc hội (DCTH) là hội của các tuyển sơ cấp (TSC):

Dạng chuẩn tắc tuyển (DCTT) là tuyển của các hội sơ cấp (HSC):

2 1

Ta nói công thức A có DCTH (DCTT) là B khi và chỉ khi A≡B với:

  1  2       1 

MỘT SỐ TÍNH CHẤT

Định lý 5: Mọi công thức A trong logic mệnh đề đều có dạng chuẩn tắc hội và dạng chuẩn tắc tuyển

Định lý 6: Điều kiện cần và đủ để công thức A≡1 (A≡0) là trong DCTH của

A (trong dạng DCTT của A) mỗi TSC (mỗi HSC) có chứa một biến mệnh

đề cùng với phủ định của nó

LOGIC MỆNH ĐỀ

a) Mệnh đề, mệnh đề có điều kiện và sự tương đương logic

b) Dạng chuẩn tắc hội và chuẩn tắc tuyển của công thức

c) Các phương pháp kiểm tra tính hằng đúng, hằng sai của công

thức

CÁC PHƯƠNG PHÁP KIỂM TRA TÍNH HẰNG

ĐÚNG, HẰNG SAI CỦA CÔNG THỨC

1 Phương pháp lập bảng

2 Phương pháp biển đổi tương đương

3 Phương pháp suy diễn

4 Phương pháp phản chứng

PHƯƠNG PHÁP LẬP BẢNG

Giả sử A(X1, X2,…, Xn) là công thức của n biến X1, X2,…, Xn Để tìm giá trị chân

lý của A đối với mỗi bộ giá trị đúng, sai của n biến, ta lập bảng gồm 2n hàng, với cột đầu tiên là cột các giá trị chân lý của các biến X1, X2,…, Xn , các cột tiếp theo dùng để tính giá trị chân lý của các công thức con trong công thức A(X1,

X2,…, Xn) và cột cuối cùng tính giá trị chân lý của A(X1, X2,…, Xn)

VÍ DỤ

KT công thức 2:[(X→Y) Λ (Y→Z)] →(X→Z)

X Y Z X→Y Y→Z (X→Y) Λ

(Y→Z) X→Z

Công thức 2

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

1 Tìm dạng chuẩn tắc hội (tuyển) của công thức A

2 Sử dụng định lý 4 để kt tính hằng đúng hằng sai

(Điều kiện cần và đủ để công thức A≡1 (A≡0) là trong DCTH (DCTT) của A mỗi TSC (mỗi HSC) có chứa một biến mệnh đề cùng với phủ định của nó)

a Nếu trong DCTH của A, mỗi TSC chứa X và ¬X thì A ≡1

b Nếu trong DCTT của A, mỗi HSC chứa X và ¬X thì A ≡0

c Ngược lại, A là thực hiện được

THUẬT TOÁN TÌM DCTH (DCTT) CỦA CT

 Bước 1: Trong A ta khử phép kéo theo (nếu có) bằng cách áp

dụng luật khử phép kéo theo ( ) ta được A≡A1 (A1 không còn phép kéo theo)

 Bước 2: Trong A1 ta đưa phép toán phủ định về trực tiếp liên quan tới từng biến mệnh đề ta được A2 bằng cách áp dụng luật De Morgan ( hay )

 Bước 3: Đưa A2 về DCTH (DCTT) bằng luật phân bố:

hoặc

Ta được A2 ≡ A3 (hoặc ≡ A4), với

Y X Y

B A B

TSC DCTH

4

2 1

3

khử phép kéo theo

đưa phủ định về trực tiếp từng biến

PHƯƠNG PHÁP SUY DIỄN

Mô hình suy diễn

toán học là đúng, thường có dạng lý luận với dẫn xuất sau:

A A

n



2 1

CÁC QUY TẮC SUY DIỄN CƠ BẢN

TT Tên quy tắc Công thức cơ sở Mô hình suy diễn

A





A B

B A





 A  B  B   A  1

CÁC QUY TẮC SUY DIỄN CƠ BẢN

TT Tên quy tắc Công thức cơ sở Mô hình suy diễn

5 Luật tam đoạn

B A

C B

B A

A A

B A

QUAN HỆ GIỮA CÁC CÔNG THỨC CƠ SỞ VỚI

MÔ HÌNH SUY DIỄN CỦA NÓ

Công thức cơ sở (A1Λ A2Λ…ΛAn)→B hằng đúng khi và chỉ khi

mô hình suy diễn của nó là đúng

B A

A A

n



2 1

Mô hình suy diễn của công thức cơ sở:

D C

C

A

B A

C A

B A

A

0



C C

và luật tam đoạn luận tuyển [5]

Luật tam đoạn luận tuyển [5]

Luật từng trường hợp [8]

Luật Modus Pones – khẳng định [3]



Ví dụ 24: chứng minh tính hằng đúng của cơng thức sau:

Giả sử tồn tại một bộ giá trị của X, Y, Z sau cho A = 0:

PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG

Để chứng minh tính hằng đúng của một cơng thức, ta giả sử tồn tai một bộ giá trị của các biến mệnh đề sao cho cơng thức đó nhận giá trị chân lý 0, sau đó lập luận dựa trên tính chất của các phép tốn logic để chỉ ra tồn tại mẫu thuẫn

0

1

(1) (2)

(3)(mẫu thuẫn với (1))

CHỨNG MINH 2 CT ĐỒNG NHẤT BẰNG NHAU

Phương pháp:

1. Lập bảng giá trị chân lý

(Giả sử A, B là 2 CT của n biến X1, X2,…, Xn Để tìm giá trị chân lý của A, B đối với mỗi bộ giá trị đúng, sai của n biến, ta lập bảng gồm

2n hàng, với cột đầu tiên là cột các giá trị chân lý của các biến X1,

X2,…, Xn , các cột tiếp theo dùng để tính giá trị chân lý của các công thức con trong công thức A, B và 2 cột cuối cùng tính giá trị chân lý của A, B Nếu giá trị ở 2 cột này tương ứng giống nhau thì A  B)

2. Biến đổi tương đương

(2 CT tương đương có DCTT, DCTH giống nhau)

VÍ DỤ

Ví dụ 25(tiếp): CM 2 công thức sau đồng nhất bằng nhau:

Cách 2: Biến đổi tương đương (Đưa cả hai CT về DCTT hoặc DCTH)

BÀI TẬP

1 Chứng minh tính hằng đúng của các công thức sau bằng 2

phương pháp lập bảng và biến đổi tương đương:

2 Chứng minh các công thức sau đồng nhất bằng nhau bằng 2

phương pháp lập bảng và biến đổi tương đương