Cơ sở logic - Mệnh đề potx

- Định nghĩa: Mệnh đề là một khẳng định có giá trị chân lý xác định, đúng hoặc sai.. - Có những mệnh đề ta không biết được tính đúng, sai nhưng biết chắc chắn nó nhận 1 giá trị.. - Châ

CƠ SỞ LOGIC

MỆNH ĐỀ

 MỆNH ĐỀ

MỆNH ĐỀ

I Phép tính mệnh đề:

 1 Mệnh đề là gì ?

- Định nghĩa: Mệnh đề là một khẳng định có giá trị chân lý

xác định, đúng hoặc sai

- Có những mệnh đề ta không biết được tính đúng, sai nhưng

biết chắc chắn nó nhận 1 giá trị Ví dụ: sao Hỏa có sự sống.

- Câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh,… không là mệnh

đề

Ví dụ:

- 1 + 1 = 2.

- Nước sôi ở 100oC

- Hôm nay trời đẹp quá! (câu cảm thán-không là mệnh đề)

- Hãy làm đi (câu mệnh lệnh - không là mệnh đề)

I Phép tính mệnh đề:

 1 Mệnh đề là gì ?

- Ký hiệu: người ta dung các ký hiêu P, Q, R, … để chỉ

mệnh đề

- Chân trị của mệnh đề: Mỗi mệnh đề có đúng một trong hai giá trị chân lí 0 hoặc 1 Mệnh đề có giá trị chân lí 1 là mệnh

đề đúng, mệnh đề có giá trị chân lí 0 là mệnh đề sai

I Phép tính mệnh đề:

 2 Phân loại mệnh đề:

Gồm có 2 loại:

- Mệnh đề sơ cấp (nguyên thủy): Là mệnh đề không thể xây dựng từ các mệnh đề khác thông qua liên từ (và, hay, khi và chỉ khi, suy ra, kéo theo, …) hoặc trạng từ “không”

- Mệnh đề phức hợp: là mệnh đề được xây dựng từ các

mệnh đề khác nhờ liên kết bằng các liên từ hoặc trạng từ

“không”

I Phép tính mệnh đề:

 2 Phân loại mệnh đề:

Ví dụ:

- a + 1 = 4

- x + y + z = t.

- 5 không là số nguyên tố.

- 7 là số nguyên tố.

- Nếu 1 + 1 = 4 thì 2 > 3

- Chúng ta cần xem xét vấn đề này cẩn thận.

I Phép tính mệnh đề:

 3 Các phép toán với mệnh đề:

Có 5 phép toán:

 Phép phủ định: phủ định mệnh đề P được ký hiệu là ¬P

hay (đọc là “không” P hay “phủ định của P”)

Bảng chân trị:

- 2 là số nguyên tố

Phủ định: 2 không là số

nguyên tố

- 7 > 4

Phủ định: 7 ≤ 4

P

P

P

I Phép tính mệnh đề:

 3 Các phép toán với mệnh đề:

 Phép hội (nối liền, giao): của hai mệnh đề P, Q được ký

hiệu bởi P ∧ Q (đọc là “P và Q”), là mệnh đề xác định bởi:

P ∧ Q đúng khi và chỉ khi P và Q đồng thời đúng

Bảng chân trị:

Ví dụ:

P: “ 2 là số chẵn”

Q: “2 là số nguyên tố”

P ∧ Q: “2 là số nguyên

tố và chẵn”

I Phép tính mệnh đề:

 3 Các phép toán với mệnh đề:

 Phép tuyển (nối rời, hợp): của hai mệnh đề P, Q được ký

hiệu bởi P ∨ Q (đọc là “P hay Q”), là mệnh đề xác định bởi: P ∨ Q sai khi và chỉ khi P và Q đồng thời sai

Bảng chân trị:

Ví dụ:

P: 5 là số chẵn

Q: 5 là số nguyên tố

P ∨ Q: 5 là số chẵn hay

là số nguyên tố (Đúng.)

I Phép tính mệnh đề:

 3 Các phép toán với mệnh đề:

 Phép kéo theo: Mệnh đề P kéo theo Q của hai mệnh đề P

và Q, ký hiệu bởi P → Q (đọc là “P kéo theo Q” hay “Nếu

P thì Q” hay “P là điều kiện đủ của Q” hay “Q là điều kiện cần của P”) là mệnh đề xác định bởi: P → Q sai khi và chỉ khi P đúng mà Q sai

Bảng chân trị:

Ví dụ:

sin(1) > 1 kéo theo

3 > 4 (Đúng)

I Phép tính mệnh đề:

 3 Các phép toán với mệnh đề:

 Phép kéo theo hai chiều: Mệnh đề P kéo theo Q và

ngược lại của hai mệnh đề P và Q, ký hiệu bởi P ↔ Q (đọc là “P nếu và chỉ nếu Q” hay “P khi và chỉ khi Q” hay

“P là điều kiện cần và đủ của Q”), là mệnh đề xác định bởi: P ↔ Q đúng khi và chỉ khi P và

Q có cùng chân trị

Bảng chân trị:

Ví dụ: 2 = 3 khi và chỉ

khi 2 + 2 = 3

II Dạng mệnh đề:

 1 Định nghĩa:

- Là một biểu thức được cấu tạo từ:

- Các mệnh đề (các hằng mệnh đề)

- Các biến mệnh đề p, q, r, … , tức là các biến lấy giá trị

là các mệnh đề nào đó

- Các phép toán ¬, ∧, ∨, →, ↔ và dấu đóng mở ngoặc ()

- Ví dụ:

E(p,q) = ¬(¬p ∨ q) E(p,q) = p ¬p∧

F(p,q,r) = (p ∧ q) → ¬(q ∨ r)

II Dạng mệnh đề:

 2 Độ ưu tiên của các toán tử logic:

- Ưu tiên mức 3: ∧, ∨

II Dạng mệnh đề:

 3 Bảng chân trị của dạng mệnh đề E(p,q,r):

- Là bảng ghi tất cả các trường hợp chân trị có thể xảy ra

đối với dạng mệnh đề E theo chân trị của các biến mệnh

đề p, q, r Nếu có n biến, bảng này sẽ có dòng, chưa kể dòng tiêu đề

Ví dụ:

Xét E(p,q,r) =(p ∨ q) → r Ta có bảng chân trị sau:

II Dạng mệnh đề:

 3 Bảng chân trị của dạng mệnh đề E(p,q,r):

II Dạng mệnh đề:

 4 Tương đương logic:

- Hai dạng mệnh đề E và F được gọi là tương đương logic

nếu chúng có cùng bảng chân trị

- Ký hiệu: E ⇔ F

- Dạng mệnh đề được gọi là hằng đúng nếu nó luôn lấy giá

trị 1

- Dạng mệnh đề gọi là hằng sai (hay mâu thuẩn) nếu nó

luôn lấy giá trị 0

Ví dụ: - ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q

- p (p q) p∧ ∧ ⇔

II Dạng mệnh đề:

 4 Tương đương logic:

- Định lý: Hai dạng mệnh đề E và F tương đương với nhau

khi và chỉ khi E ↔ F là hằng đúng

- Hệ quả logic: F được gọi là hệ quả logic của E nếu E → F

là hằng đúng

- Ký hiệu: E ⇒ F

Ví dụ: ¬(p ∨ q) ⇒ ¬p

II Dạng mệnh đề:

 5 Các luật logic:

- Phủ định của phủ định: ¬¬p ⇔ p

- Qui tắc De Morgan: ¬ (p ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬ q

¬ (p ∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬ q

- Luật giao hoán: p ∨ q ⇔ q ∨ p

p ∧ q ⇔ q ∧ p

- Luật kết hợp: (p ∨ q) ∨ r ⇔ p ∨ (q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r)

II Dạng mệnh đề:

 5 Các luật logic:

- Luật phân phối: p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

- Luật lũy đẳng: p ∧ p ⇔ p

p ∨ p ⇔ p

- Luật trung hòa: p ∨ 0 ⇔ p

p ∧ 1 ⇔ p

- Luật về phần tử bù: p ∧ ¬p ⇔ 0

p ∨ ¬p ⇔ 1

II Dạng mệnh đề:

 5 Các luật logic:

- Luật thống trị: p ∧ 0 ⇔ 0

p ∨ 1 ⇔ 1

- Luật hấp thu: p ∨ (p ∧ q) ⇔ p

p ∧ (p ∨ q) ⇔ p

- Luật về phép kéo theo: p → q ⇔ ¬p ∨ q ⇔ ¬ q → ¬ p