Chương 2 - Hệ toán mệnh đề potx

Hệ toán mệnh đề Trần Thọ Châu Logic Toán.. Từ khoá: Logic toán, Đại số mệnh đề, Hệ toán mệnh đề, Định lý suy diễn, Logic mệnh đề, Tính đầy đủ, Tính phi mâu thuẫn, Tính độc lập.. Tài

Chương 2 Hệ toán mệnh đề

Trần Thọ Châu

Logic Toán NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007

Tr 39-69.

Từ khoá: Logic toán, Đại số mệnh đề, Hệ toán mệnh đề, Định lý suy diễn, Logic

mệnh đề, Tính đầy đủ, Tính phi mâu thuẫn, Tính độc lập

Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả

Hˆ e to´an mˆe.nh dˆe `

2.1 Hˆ e tiˆen dˆe ` trong hˆ e to´an mˆe.nh dˆe ` 40

2.1.1 Mˆo.t sˆo´ di.nh ngh˜ıa co ba’n 40

2.1.2 C´ac t´ınh chˆa´t 42

2.1.3 L´y thuyˆe´t tiˆen dˆ` trong hˆe to´an mˆe.nh dˆee ` 43

2.1.4 Di.nh l´y suy diˆe˜n trong hˆe to´an mˆe.nh dˆe` 44

2.2 Nguyˆ en l´ y suy diˆ e ˜n v` a b` ai to´ an lˆ a.p luˆa.n trong logic mˆ e.nh dˆe ` 52

2.2.1 Nguyˆen l´y suy diˆe˜n 52

2.2.2 B`ai to´an lˆa.p luˆa.n trong logic mˆe.nh dˆe` 52

2.3 Mˆ o.t sˆo´ di.nh l´ y trong hˆ e to´an mˆe.nh dˆe ` . 55

2.3.1 T´ınh dˆ` y du’a 55

2.3.2 T´ınh phi mˆau thuˆa˜n 58

2.3.3 T´ınh dˆo.c lˆa.p 59

2.4 Gi´ o.i thiˆ e.u v` ai n´ et vˆ ` logic da tri e 61 2.5 T´ınh quyˆ e ´t di.nh cu’a hˆe to´an mˆe.nh dˆe ` 62

2.6 Mˆ o.t sˆo´ hˆe tiˆen dˆe ` kh´ ac 62

2.7 Ap du ´ ng di.nh l´ y dˆ ` y du’ cho b` a ai to´ an suy diˆ e ˜n

Trong chu.o.ng 1, ta d˜a bu.´o.c dˆ` u nghiˆen c´a u.u nˆo.i dung da.i sˆo´ mˆe.nh dˆe`

Dˆe’ nghiˆen c´u.u mˆo.t c´ach to`an diˆe.n v`a hˆe thˆo´ng theo ma.ch tu duy suy diˆe˜ncu’a con ngu.`o.i, ta chuyˆe’n qua viˆe.c kha’o s´at n´o mˆo.t c´ach “h`ınh th´u.c”, “tr`u.utu.o. ng”, nhu.ng la.i l`am cho qu´a tr`ınh tu duy, suy luˆa.n mˆo.t c´ach ch´ınh x´ac,

dˆ` y du’ v`a a mang t´ınh chˆa´t logic To´an ho.c ho.n M˘a.c d`u c´ac hˆe h`ınh th´u.c n`aydu.o. c tr`ınh b`ay mˆo.t c´ach tr`u.u tu.o ng, nhu.ng thu c chˆa´t n´o nh˘a`m phu.c vu choviˆe.c nghiˆen c´u.u da.i sˆo´ mˆe.nh dˆe` sˆau s˘a´c, c´o t´ınh hˆe thˆo´ng v`a c´o nh˜u.ng ´u.ngdu.ng trong nhiˆe` u l˜ınh vu. c kh´ac liˆen quan dˆe´n ba’n chˆa´t cu’a da.i sˆo´ mˆe.nh dˆe`

2.1 Hˆ e tiˆen dˆe ` trong hˆ e to´an mˆe.nh dˆe `

2.1.1 Mˆ o t sˆ o´ di.nh ngh˜ıa co ba’n

Di.nh ngh˜ıa 2.1.1 S du o c go.i l`a l´y thuyˆe´t h`ınh th´u.c (hay l´y thuyˆe´t tiˆen dˆe`),

nˆe´u n´o thoa’ m˜an c´ac diˆ` u kiˆe.n sau dˆay:e

(1) Mˆo.t tˆa.p dˆe´m du.o c c´ac k´y hiˆe.u go.i l`a k´y hiˆe.u cu’a S Mˆo.t d˜ay h˜u.u ha.n

c´ac k´y hiˆe.u cu’a S du o c go.i l`a mˆo.t biˆe’u th´u.c cu’a l´y thuyˆe´t S.

(2) Mˆo.t thu’ tu.c cho ph´ep x´ac di.nh mˆo.t biˆe’u th´u.c d˜a cho c´o pha’i l`a mˆo.t

cˆong th´u.c hay khˆong

(3) Mˆo.t tˆa.p h˜u.u ha.n c´ac cˆong th´u.c du.o c go.i l`a c´ac tiˆen dˆe` cu’a l´y thuyˆe´t

Di.nh ngh˜ıa 2.1.3 Mˆo.t cˆong th´u.c A cu’a l´y thuyˆe´t S du.o c go.i l`a di.nh l´y

cu’a l´y thuyˆe´t S nˆe´u tˆo`n ta.i mˆo.t dˆa˜n xuˆa´t trong S : A1, A2, , A k sao cho

A k = A, v`a dˆa˜n xuˆa´t n`ay du.o c go.i l`a dˆa˜n xuˆa´t cu’a cˆong th´u.c A.

Di.nh ngh˜ıa 2.1.4 L´y thuyˆe´t m`a trong d´o c´o tˆo`n ta.i mˆo.t thuˆa.t to´an cho

ph´ep x´ac di.nh mˆo.t cˆong th´u.c d˜a cho c´o dˆa˜n du.o c hay khˆong du.o c go.i l`a l´y thuyˆ e´t gia’i du.o c; Tr´ai la.i, n´o du.o c go.i l`a l´y thuyˆe´t khˆong gia’i du.o c.

Di.nh ngh˜ıa 2.1.5 Mˆo.t cˆong th´u.c A du.o c go.i l`a dˆa˜n du.o c trong S t`u tˆa.p

ho p Γ c´ac cˆong th´u.c, khi v`a chı’ khi tˆo`n ta.i d˜ay c´ac cˆong th´u.c A1, A2, A n

sao cho A n = A v` a ∀i (i = 1 n) A i ho˘a.c l`a tiˆen dˆe` , ho˘a.c l`a phˆa` n tu.’ cu’a

Γ, ho˘a.c l`a dˆa˜n du.o c tru c tiˆe´p t`u c´ac cˆong th´u.c d´u.ng tru.´o.c n´o nh`o quy t˘a´c

dˆa˜n xuˆa´t

D˜ay cˆong th´u.c n`ay du.o. c go.i l`a dˆ a ˜n xuˆ a´t cu’a A t` u Γ C´ac phˆ` n tu.a ’ cu’a

Γ du.o. c go.i l`a gia’ thiˆ e´t, v`a ta k´y hiˆe.u nhu sau:

2a) Mˆ o ˜i mˆo.t tiˆen dˆe ` l` a dˆ a ˜n du.o c t` u tˆ a p bˆ a´t k` y Γ c´ ac cˆ ong th´ u.c

2b) Mˆ o ˜i mˆo.t di.nh l´y l`a dˆa˜n du.o c t`u tˆa.p bˆa´t k`y Γ c´ac cˆong th´u.c

2c) Mˆ o ˜i mˆo.t phˆa ` n tu ’ cu’a Γ dˆ ` u dˆ e a ˜n du.o c t` u Γ.

2.1.2 C´ ac t´ınh chˆ a´t

(1) Nˆe´u Γ ⊆ ∆ v` a Γ ` A th`ı ∆ ` A

(2) Γ ` A, khi v`a chı’ khi tˆo`n ta.i mˆo.t tˆa.p ∆ ⊆ Γ sao cho ∆ ` A

(3) Nˆe´u ∆ ` A v` a ∀B ∈ ∆ : Γ ` B th`ı Γ ` A.

O’ dˆay ta thˆa´y t´ınh chˆa´t (1) chı’ ra r˘a`ng mˆo.t cˆong th´u.c d˜a dˆa˜n du.o c t`u..

mˆo.t tˆa.p c´ac cˆong th´u.c th`ı n´o c˜ung dˆa˜n du.o c t`u tˆa.p l´o.n ho.n, ngh˜ıa l`a nˆe´u

ta c´o thˆem mˆo.t sˆo´ gia’ thiˆe´t v`ao tˆa.p d˜a dˆa˜n du.o c th`ı t´ınh chˆa´t dˆa˜n du.o c cu’a

cˆong th´u.c vˆa˜n khˆong thay dˆo’i

T`u t´ınh chˆa´t (1) buˆo.c ta pha’i suy ngh˜ı l`am thˆe´ n`ao dˆe’ cho.n du.o c mˆo.t

tˆa.p gia’ thiˆe´t sao cho n´o v`u.a du’, khˆong th`u.a v`a c˜ung khˆong thiˆe´u Nˆe´u gia’thiˆe´t th`u.a th`ı t´ınh chˆa´t dˆa˜n du.o c s˜e ´ıt du.o c thuyˆe´t phu.c ho.n, c`on nˆe´u gia’thiˆe´t thiˆe´u th`ı ta khˆong thˆe’ dˆa˜n du.o c dˆe´n diˆe` u pha’i ch´u.ng minh Dˆay ch´ınhl`a ba’n chˆa´t dˆ` y du’ cu’a t´ınh chˆa a´t (2)

T´ınh chˆa´t (3) thˆe’ hiˆe.n “t´ınh b˘a´c cˆa ` u” cu’a ph´ep dˆa˜n du.o. c cu’a mˆo.t cˆongth´u.c Ta c´o thˆe’ h`ınh dung b˘a`ng h`ınh a’nh ph´ac hoa sau dˆay:

2.1.3 L´ y thuyˆ e´t tiˆ en dˆ ` trong hˆ e e to´an mˆe.nh dˆe `

Hˆe to´an mˆe.nh dˆe` l`a mˆo.t l´y thuyˆe´t h`ınh th´u.c ho´a cu’a logic mˆe.nh dˆe` Viˆe.ch`ınh th´u.c ho´a logic l`a bu.´o.c co ba’n dˆ` u tiˆen cho viˆe.c h`ınh th´u.c ho´a c´ac l´yathuyˆe´t to´an ho.c Nˆo.i dung chu’ yˆe´u cu’a viˆe.c h`ınh th´u.c ho´a mˆo.t l´y thuyˆe´t l`a

xˆay du. ng mˆo.t ngˆon ng˜u h`ınh th´u.c dˆe’ diˆe˜n ta’ c´ac ph´an do´an, du.a ra mˆo.t

hˆe tiˆen dˆe` du.o. c xem nhu l`a nh˜u.ng chˆan l´y ban dˆa`u, v`a pha’i x´ac di.nh c´acquy t˘a´c v`a phu.o.ng ph´ap suy diˆe˜n (hay c`on go.i l`a ch´u.ng minh) dˆe’ t`ım ra c´ac

di.nh l´y m´o.i cu’a l´y thuyˆe´t Dˆe’ nghiˆen c´u.u mˆo.t c´ach cu thˆe’, ta di sˆau nghiˆenc´u.u l´y thuyˆe´t tiˆen dˆ` L du.´e o.i dˆay

Di.nh ngh˜ıa 2.1.6 L´y thuyˆe´t tiˆen dˆe` L bao gˆo`m :

(1) C´ac k´y hiˆe.u cu’a L:

- ¬, → du.o. c go.i l`a hai ph´ep to´an nguyˆen thuy’

- C´ac dˆa´u ngo˘a.c (,)

- C´ac ch˜u c´ai La-tinh A, B, C, v`a c´ac ch˜u c´ai La-tinh c´o chı’ sˆo´

A1, B1, C1, C´ac ch˜u c´ai La-tinh n`ay du.o. c go.i l`a c´ac biˆ e´n mˆ e.nh

dˆ ` e

(2) Cˆong th´u.c du.o. c xˆay du. ng b˘a`ng dˆe quy nhu sau:

(a) Tˆa´t ca’ c´ac biˆe´n mˆe.nh dˆe` dˆe` u l`a cˆong th´u.c

(b) Nˆe´u A v` a B l`a cˆong th´u.c th`ı (¬A), (A → B) c˜ung l`a cˆong th´u.c(c) Mˆo.t biˆe’u th´u.c l`a cˆong th´u.c, nˆe´u n´o du.o c lˆa.p nˆen t`u co so.’ (a)v`a (b)

(3) C´ac tiˆen dˆ` : Dˆe o´i v´o.i c´ac cˆong th´u.c A, B, C tu`y ´y

Ch´ u ´y 3 Dˆ o´i v´ o.i c´ ac ph´ ep to´ an c` on la i ∧, ∨, ↔ ta c´ o thˆ e’ biˆ e’u diˆ e ˜n ch´ ung qua hai ph´ ep to´ an {¬, →} nh` o c´ ac cˆ ong th´ u.c tu.o.ng du.o.ng sau dˆ ay:

D1 (A ∧ B) l` a tu.o.ng du.o.ng v´ o.i ¬(A → ¬B)

D2 (A ∨ B) l` a tu.o.ng du.o.ng v´ o.i (¬A) → B

D3 (A ↔ B) l` a tu.o.ng du.o.ng v´ o.i (A → B) ∧ (B → A)

Bˆ o’ dˆ` 2.1.1 `xe A → A dˆ o´i v´ o.i cˆ ong th´ u.c A tu` y ´ y trong L

Ch´ u.ng minh: O ’ dˆay ta k´y hiˆe.u MP l`a viˆe´t t˘a´t cu’a Modus Ponens Ta xˆay.

du. ng dˆa˜n xuˆa´t cu’a cˆong th´u.c A → A trong L nhu sau:

1 (A → ((A → A) → A)) → ((A → (A → A)) → (A → A))

2.1.4 Di.nh l´ y suy diˆ e ˜n trong hˆ e to´an mˆe.nh dˆe `

Trong nhiˆ` u ch´e u.ng minh cu’a hˆe to´an mˆe.nh dˆe` , ta thu.`o.ng su.’ du.ng di.nh l´ysuy diˆe˜n sau dˆay:

Di.nh l´y 2.1.1 (di.nh l´y suy diˆe˜n) Nˆe´u Γ l`a tˆa.p c´ac cˆong th´u c, A v`a B l`a c´ ac cˆ ong th´ u.c v` a Γ, A ` B th`ı Γ ` A → B.

Ch´ u.ng minh:

Gia’ su.’ B1, B2 B n l`a dˆa˜n xuˆa´t t`u Γ ∪ {A}, trong d´ o B n = B Ta ch´u.ngminh b˘a`ng qui na.p theo i (i = 1 n): Γ ` A → B i

1) Bu.´ o.c kho ’ i dˆ ` u i = 1: a

Khi d´o B1 ho˘a.c l`a phˆa` n tu.’ cu’a Γ, ho˘a.c l`a tiˆen dˆe` ho˘a.c l`a tr`ung v´o.i A.

Theo tiˆen dˆ` (A1) cˆe ong th´u.c B1 → (A → B1) l`a tiˆen dˆ` Do d´e o trong

2 tru.`o.ng ho. p dˆ` u ta c´a o Γ ` A → B1 nh`o quy t˘a´c Modus Ponens v`ach´u ´y 2

Tru.`o.ng ho. p 3: B1 = A Khi d´o theo bˆo’ dˆ` 2.1.1: ` A → B1 Do d´e otheo ch´u ´y 2 ta c´o: Γ ` A → B1.

2) Gia’ thiˆ e´t qui na p: Gia’ su’ cˆ. ong th´u.c Γ ` A → B k d´ung v´o.i mo.i k < i.

3) Ch´ u.ng minh qui na p: Ta ch´u.ng minh r˘a`ng cˆong th´u.c c˜ung d´ung v´o.i

k = i:

Γ ` A → B i

Thˆa.t vˆa.y, ta x´et 4 tru.`o.ng ho p c´o thˆe’ xa’y ra dˆo´i v´o.i B i nhu sau:

B i ho˘a.c l`a phˆa` n tu.’ cu’a Γ, ho˘a.c l`a tiˆen dˆe` , ho˘a.c l`a B i = A, ho˘ a.c B i dˆa˜n du.o ctru. c tiˆe´p t`u c´ac cˆong th´u.c B j v`a B m sao cho

j < i, m < i v` a B m = B j → B i

Trong 3 tru.`o.ng ho. p dˆ` u ta ch´a u.ng minh tu.o.ng tu. nhu i = 1 Tru.`o.ng

ho. p th´u 4, ta su.’ du.ng gia’ thiˆe´t qui na.p:

Ta ´ap du.ng mˆo.t lˆa` n n˜u.a qui t˘a´c Modus Ponens:

(i) Ta xˆay du. ng dˆa˜n xuˆa´t sau dˆay:

(ii) Ta xˆay du. ng dˆa˜n xuˆa´t nhu sau:

Hˆe qua’ 2.1.2 Dˆo´i v´o i bˆa´t k`y c´ac cˆong th´u.c A, B c´ac cˆong th´u.c sau dˆay

dˆ ` u l` e a di.nh l´y trong L:

c) `x ¬A → (A → B)

2.2 Nguyˆ en l´ y suy diˆ e ˜n v` a b` ai to´ an lˆ a.p luˆa.n

trong logic mˆ e.nh dˆe `

2.2.1 Nguyˆ en l´ y suy diˆ e ˜n

Di.nh ngh˜ıa 2.2.1 Mˆo.t tˆa.p cˆong th´u.c S = {A1 , A2, , A n } du.o. c go.i l`a phi

mˆ au thuˆ a ˜n, nˆe´u tˆo`n ta.i mˆo.t minh hoa t´u.c l`a mˆo.t bˆo phˆan bˆo´ c´ac gi´a tri chˆan

l´y dˆo´i v´o.i c´ac biˆe´n c´o m˘a.t trong hˆe S sao cho mo.i A i (i = 1 n) dˆ` u nhˆe a.ngi´a tri d´ung; Tr´ai la.i, S du o c go.i l`a mˆau thuˆa˜n, nˆe´u khˆong c´o mˆo.t minh hoa.

n`ao nhu vˆa.y

Di.nh ngh˜ıa 2.2.2 Cˆong th´u.c A du.o c go.i l`a logic k´eo theo t`u tˆa.p c´ac cˆong

th´u.c S, nˆe´u trong mo.i minh hoa m`a ta.i d´o c´ac cˆong th´u.c thuˆo.c S dˆe`u nhˆa.n

gi´a tri d´ung th`ı A c˜ung d´ung Khi d´o ta k´y hiˆe.u:

S |= A.

Trong tru.`o.ng ho. p d˘a.c biˆe.t, nˆe´u S = ∅ th`ı khi d´o |= A ngh˜ıa l`a cˆong th´u c A

l`a h˘a`ng d´ung Dˆe˜ d`ang ch´u.ng minh du.o. c c´ac t´ınh chˆa´t sau

Di.nh l´y 2.2.1 (nguyˆ en l´ y suy diˆ e ˜n)

V´ o.i mo i cˆ ong th´ u.c A, B, H1, H2, , H n ta c´ o:

1 A |= B ⇔|= (A → B)

2 {H1, H2, , H n } |= A ⇔|= H1∧ H2 ∧ ∧ H n → A

3 {H1, H2, , H n } |= A ⇔ {H1, H2, , H n , ¬A} |= F

2.2.2 B` ai to´ an lˆ a p luˆ a n trong logic mˆ e.nh dˆe `

Trong nh˜u.ng ´u.ng du.ng cu’a logic mˆe.nh dˆe` v`ao c´ac hˆe tr´ı tuˆe nhˆan ta.o, ta

Cho mˆo.t co so.’ tri th´u.c S gˆo`m c´ac cˆong th´u.c H1 , H2, , H nv`a mˆo.t cˆongth´u.c d´ıch (Goal) l` a A Ho’i r˘a`ng A c´o pha’i l`a logic k´eo theo t`u hˆe S hay

khˆong?

T´u.c l`a

S = {H1, H2, , H n } |= A?

Theo nguyˆen l´y suy diˆe˜n, ta lˆa.p hˆe m´o.i S0 = {H1 , H2, , H n , ¬A} c´o l`a

mˆau thuˆa˜n hay khˆong?

M˘a.t kh´ac, ta d˜a biˆe´t mˆo˜i mˆo.t cˆong th´u.c mˆe.nh dˆe` dˆe`u tu.o.ng du.o.ng v´o.i

hˆo.i cu’a mˆo.t tˆa.p c´ac Clause, trong d´o mˆo˜i Clause l`a tuyˆe’n cu’a mˆo.t sˆo´ c´ac literal (o.’ dˆay literal l`a mˆo.t k´y hiˆe.u mˆe.nh dˆe` ho˘a.c phu’ di.nh cu’a k´y hiˆe.u mˆe.nh

dˆ` ) Do d´e o nˆe´u ta thay trong hˆe S0 mˆo˜i cˆong th´u.c bo.’ i hˆo.i c´ac Clause tu.o.ng

´

u.ng, th`ı ta du.o. c S0 tu.o.ng ´u.ng v´o.i hˆo.i c´ac Clause v`a b`ai to´an S0 |= A du.o. c

qui vˆ` b`e ai to´an: mˆo.t tˆa.p c´ac Clause (m`a hˆo.i tu.o.ng du.o.ng v´o.i tˆa.p S0

) c´o l`a

mˆau thuˆa˜n hay khˆong?

Phu.o.ng ph´ap thu.`o.ng du.o. c d`ung l`a phu.o.ng ph´ap phˆan gia’i (resolution)

cu’a Robinson dˆ` xuˆe a´t m`a nˆo.i dung c´o thˆe’ tr`ınh b`ay so lu.o c nhu sau:Gia’ su.’ S c´o hai Clause:

C1 = D1 ∨ Q v` a C2 = D2 ∨ ¬Q, trong d´ o Q l`a k´y hiˆe.u mˆe.nh dˆe` Khi d´o

ta lˆa.p Clause m´o.i C = D1 ∨ D2 b˘a`ng c´ach khu.’ k´y hiˆe.u mˆe.nh dˆe` Q v` a ¬Q

tu.o.ng ´u.ng trong C1 v`a C2 rˆo`i lˆa.p tuyˆe’n m´o.i C Khi d´o C du.o c go.i l`a gia’i th´ u.c t`u c´ac Clause C1 v`a C2 Dˆe˜ d`ang thˆa´y r˘a`ng {C1 , C2} |= C, v`a do d´ohai tˆa.p S v`a S0 = S ∪ {C} tu.o.ng ´u.ng v´o.i nhau

Phu.o.ng ph´ap gia’i du.o. c thu c hiˆ. e.n trˆen nguyˆen l´y gia’i sau dˆay:

Cho S l`a mˆo.t tˆa.p c´ac Clause Xuˆa´t ph´at t`u S ta thu c hiˆe.n liˆen tiˆe´p c´ac

ph´ep gia’i th´u.c, t´u.c l`a thˆem v`ao S c´ac gia’i th´u.c cu’a bˆa´t k`y 2 Clause c´o tru.´o.c(hai Clause c´o da.ng Q v`a ¬Q) cho dˆe´n khi thu du.o c gia’i th´u.c rˆo˜ng  ho˘a.ckhˆong c´o thˆem mˆo.t gia’i th´u.c n`ao n˜u.a th`ı kˆe´t th´uc Khi d´o tˆa.p S l`a mˆau thuˆ a ˜n, khi v`a chı’ khi ta thu du.o c gia’i th´ u.c rˆ o ˜ng .

T`u nguyˆen l´y phˆan gia’i ta c´o thˆe’ ´ap du.ng cho nhiˆe` u c´ach th´u.c kh´ac nhau

dˆe’ thu. c hiˆe.n phu.o.ng ph´ap gia’i nh˘a`m ´u.ng du.ng trong hˆe tri th´u.c ch´u.ng minh

t´ınh mˆau thuˆa˜n cu’a mˆo.t tˆa.p c´ac cˆong th´u.c logic mˆe.nh dˆe` ho˘a.c logic tˆan t`u.

(predicate), t´u.c l`a hˆ o i cu’a cˆong th´u.c d´o cho ta kˆe´t qua’ l`a mˆo.t cˆong th´u.c

dˆ o`ng nhˆ a´t sai.

Vˆa.y ta c´o: S = {P ∨ Q, Q, P } l`a mˆau thuˆa˜n, khi v`a chı’ khi hˆo.i cu’a n´o l`a

cˆong th´u.c A = (P ∨ Q) ∧ Q ∧ P l` a dˆ o`ng nhˆ a´t sai.

Thˆa.t vˆa.y, ta chı’ cˆa` n biˆe´n dˆo’i nhu sau:

2.3 Mˆ o.t sˆo´ di.nh l´ y trong hˆ e to´an mˆe.nh dˆe `

A, nˆe´u A nhˆ a.n gi´a tri T dˆo´i v´o i bˆo phˆan bˆo´ I0 n´oi trˆen

¬A, nˆ e´u A nhˆ a.n gi´a tri F dˆo´i v´o i bˆo phˆan bˆo´ I0 n´oi trˆenKhi d´o ta c´o:

B10, B20, , B k0 ` A0.

Th´ ı du 2.3.1 Cho A = ¬(¬A → B) Ta lˆa.p ba’ng gi´a tri chˆan l´y cu’a cˆongth´u.c A nhu sau:

Gia’ su.’ ta lˆa´y bˆo phˆan bˆo´ o’ d`. ong th´u 3: (F, T ) 7→ F th`ı khi d´o ta c´o

(theo A0 cu’a Bˆo’ dˆ` 2.3.1):e

¬A, B ` ¬¬(¬A → B) hay l`a

¬A, B ` (¬A → B).

C`on nˆe´u lˆa´y d`ong th´u 4: (F, F ) 7→ T th`ı ta c´o:

¬A, ¬B ` ¬(¬A → B).

Ch´ u.ng minh: Ta ch´u.ng minh b˘a`ng qui na.p theo n l`a sˆo´ c´ac ph´ep to´an c´o

m˘a.t trong cˆong th´u.c A.

1 n = 0: Khi d´ o A chı’ ch´u.a d´ung mˆo.t biˆe´n B1 v`a ta dˆ˜ d`ang c´o du.o.e c:

B1 ` B1 v`a ¬B1 ` ¬B1 luˆon luˆon d´ung

2 Gia’ su.’ bˆo’ dˆ` d´e ung v´o.i mo.i j < n.

3 Ch´u.ng minh qui na.p: bˆo’ dˆe` c˜ung d´ung v´o.i j = n.

Ta x´et c´ac tru.`o.ng ho. p sau dˆay:

• Tru.` o.ng ho p 1: A = ¬B, trong d´ o B c´ o ´ıt ho.n n ph´ep to´an X´et

mˆo.t bˆo phˆan bˆo´ I0 n`ao d´o c´ac gi´a tri chˆan l´y cu’a c´ac biˆe´n c´o m˘a.t

trong A.

(1a) Nˆe´u B nhˆ a.n gi´a tri T th`ı B0 = B v` a A nhˆ a.n gi´a tri F dˆo´i v´o.i

bˆo phˆan bˆo´ I0 n`ay Khi d´o ta c´o cˆong th´u.c:

Theo gia’ thiˆe´t qui na.p cu’a B : B10, B20, , B k0 ` B0, do d´o:

B10, B20, , B k0 ` B Vˆ a.y B10, B20, , B k0 ` A0

(1b) Nˆe´u B nhˆ a.n gi´a tri F th`ı B0 = ¬B v` a A nhˆ a.n gi´a tri T dˆo´i

v´o.i bˆo phˆan bˆo´ I0 n`ay Do d´o ta c´o cˆong th´u.c:

Theo gia’ thiˆe´t qui na.p cu’a B: B10, B20, , B k0 ` B0, nˆen ta c´o:

B10, B20, , B k0 ` ¬B

Vˆa.y B10, B20, , B k0 ` A0

• Tru.` o.ng ho p 2: A = (B → C), trong d´ o B v` a C c´o sˆo´ ph´ep to´an ´ıt

ho.n n so v´ o.i A Khi d´o, theo gia’ thiˆe´t qui na.p:

(2b) Nˆe´u C nhˆ a.n gi´a tri T th`ı A c˜ung nhˆa.n gi´a tri T Do d´o C0 = C

v`a A0 = A Theo gia’ thiˆ e´t qui na.p: B10, B20, , B k0 ` C v`a tiˆen dˆ`e(A1) ta c´o: B10, B20, , B k0 ` B → C nh`o qui t˘a´c Modus Ponens,

nhu.ng B → C ch´ınh l` a A0 Vˆa.y B10, B20, , B k0 ` A0

(2c) Nˆe´u B nhˆ a.n gi´a tri T v`a C nhˆa.n gi´a tri F th`ı A nhˆa.n gi´a tri.

F Do d´ o B0 = B, C0 = ¬C v` a A0 = ¬A.

Ta c´o: B10, B20, , B k0 ` B v` a B10, B20, , B k0 ` ¬C Do d´o theo hˆe qua’2.1.2 (f) v`a qui t˘a´c Modus Ponens: B0

1, B20, , B k0 ` ¬(B → C), nhu.ng ¬(B → C) ch´ınh l` a A0