Logic mệnh đề trong một số bài toán ở phổ thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN Hoàng Phương Thúy LOGIC MỆNH ĐỀ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở PHỔ THÔNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017... Lời cảm ơnTrong thời gian ngh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Hoàng Phương Thúy

LOGIC MỆNH ĐỀ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội – Năm 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

Hoàng Phương Thúy

LOGIC MỆNH ĐỀ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN Ở PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Đại số

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

ThS Dương Thị Luyến

Hà Nội – Năm 2017

Lời cảm ơn

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhậnđược sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy cô trong tổ Đại

số nói riêng và các thầy cô trong khoa Toán trường đại học Sư phạm

Hà Nội 2 nói chung, cùng với sự hỗ trợ giúp đỡ của các bạn sinhviên

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toántrường đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã tận tình giúp

đỡ em trong những năm học vừa qua và tạo điều kiện để em hoànthành khóa luận này

Đặc biệt, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáoThS Dương Thị Luyến đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ

em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017

Tác giả khóa luận

Hoàng Phương Thúy

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này của tôi được hoàn thành dưới sự hướngdẫn của cô giáo ThS Dương Thị Luyến cùng với đó là sự cố gắngcủa bản thân

Trong quá trình nghiên cứu tôi đã tham khảo và kế thừa nhữngthành quả nghiên cứu với sự trân trọng và lòng biết ơn

Tôi xin cam đoan những nghiên cứu trong khóa luận này là kếtquả nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kếtquả của các tác giả khác

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017

Tác giả khóa luận

Hoàng Phương Thúy

Lời cảm ơn

Lời cam đoan

1.1 Mệnh đề 3

1.2 Các phép toán logic trên mệnh đề 4

1.2.1 Phép phủ định 4

1.2.2 Phép hội 5

1.2.3 Phép tuyển 5

1.2.4 Phép kéo theo 6

1.2.5 Phép tương đương 7

1.3 Công thức của logic mệnh đề 7

1.3.1 Định nghĩa 7

1.3.2 Sự tương đương logic giữa hai công thức 8

1.3.3 Những đẳng thức cơ bản 9

1.4 Phép biến đổi công thức 11

1.5 Các mệnh đề liên hợp 12

1.5.1 Các mệnh đề liên hợp 12

1.5.2 Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ 13

1.6 Luật của logic mệnh đề 13

1.6.1 Định nghĩa 13

1.6.2 Một số luật quan trọng của logic mệnh đề 14

1.6.3 Liên hệ giữa đẳng thức và luật 16

1.7 Hệ quả logic và qui tắc suy luận 17

1.7.1 Định nghĩa 18

1.7.2 Luật và qui tắc suy luận 18

1.7.3 Một số qui tắc suy luận thường được vận dụng trong các suy luận toán học 19

1.8 Logic vị từ 22

1.8.1 Vị từ (hay hàm mệnh đề) 22

1.8.2 Các phép toán logic trên các vị từ 1 - ngôi 24

1.8.3 Lượng từ 27

1.8.4 Qui tắc suy luận trong logic vị từ 28

2 Suy luận và chứng minh 29 2.1 Suy luận 29

2.1.1 Khái niệm 29

2.1.2 Hai kiểu suy luận 29

2.2 Chứng minh 30

2.2.1 Khái niệm 30

2.2.2 Kết cấu của chứng minh 31 2.2.3 Các phương pháp chứng minh trong toán học 31

3 Các yếu tố logic trong một số vấn đề Toán học ở phổ

3.1 Yếu tố logic trong các định nghĩa Toán học 353.2 Yếu tố logic trong các định lí Toán học 363.3 Yếu tố logic trong các hằng đẳng thức và bất đẳng

thức 363.4 Yếu tố logic trong phương trình, hệ phương trình, bất

phương trình, hệ bất phương trình 373.5 Các yếu tố logic trong một số bài toán chứng minh ở

phổ thông 393.6 Những sai lầm thường gặp trong chứng minh 453.6.1 Sai lầm do suy luận không hợp logic 463.6.2 Dựa vào tiền đề sai hoặc tiền đề chưa được

chứng minh, hoặc dựa vào một điều khôngđúng với giả thiết 48

Lời mở đầu

Logic mệnh đề với các qui tắc suy luận logic có vai trò rất quantrọng trong Toán học nói chung và trong môn Toán ở phổ thông nóiriêng Việc sử dụng logic mệnh đề cùng các qui tắc suy luận logic

sẽ giúp người học không chỉ nắm vững kiến thức, hiểu rõ bản chấtvấn đề mà còn rèn luyện khả năng tư duy Toán học Vận dụng logicmệnh đề người học có thể dễ dàng suy luận, chứng minh, giải cácbài toán một cách đúng đắn, chính xác và hạn chế việc mắc sai lầmkhi giải bài Vai trò của logic mệnh đề còn được đánh giá cao trong

sự phát triển tư duy cho con người, trong các hoạt động nhận thứckhoa học và trong cả các hoạt động nhận thức khác trong đời sống

Do đó em lựa chọn nghiên cứu đề tài "Logic mệnh đề trong một

số bài toán ở phổ thông"

Khóa luận gồm ba chương

Chương 1 "Logic mệnh đề" trình bày một số khái niệm, côngthức, luật và qui tắc suy luận trong logic mệnh đề

Chương 2 "Suy luận và chứng minh" trình bày một số khái niệm,tìm hiểu chứng minh và kết cấu của chứng minh, các phương phápchứng minh toán học thường dùng

Chương 3 "Các yếu tố logic trong một số bài toán ở phổ thông"vận dụng logic mệnh đề để phân tích một số định nghĩa, định lí,phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, phân tích các suyluận, một số bài toán chứng minh ở phổ thông, đưa ra một số sai

lầm thường gặp trong chứng minh.

Tác giả luận văn xin chân thành gửi lời cảm ơn sâu sắc và kínhtrọng tới ThS Dương Thị Luyến đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảotác giả trong quá trình nghiên cứu, đọc tài liệu, góp ý chi tiết vềcách trình bày một số kết quả trong luận văn

Tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán trườngĐại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô giáo tổ Đại số

đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập vàthực hiện bản khóa luận này

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng do hạn chế về năng lực, khảnăng tự nghiên cứu của bản thân nên khóa luận không thể tránhkhỏi những thiếu sót Vậy kính mong quý thầy cô và các bạn xemxét, góp ý để khóa luận này được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 18 tháng 4 năm 2017

Tác giả khóa luận

Hoàng Phương Thúy

Ví dụ: "Số 30 chia hết cho 4" là mệnh đề sai.

"Tam giác có 3 góc nhọn là tam giác nhọn" là mệnh đề đúng.Các câu hỏi, câu mệnh lệnh, câu cảm thán và nói chung các câukhông nhằm phản ánh tính đúng sai của thực tế khách quan đềukhông được coi là mệnh đề

Ví dụ: Các câu sau đây đều không là mệnh đề:

"Số 15 có phải hợp số không?"

"Hãy xác định trung bình cộng của 3 và 7."

"Số tự nhiên n là số nguyên tố."

"Căn phòng này đẹp quá!"

Ta thừa nhận rằng: Mỗi mệnh đề là đúng hoặc sai, không cómệnh đề nào không đúng mà cũng không sai, không có mệnh đề

nào vừa đúng vừa sai.

Như vậy ta hiểu: Mệnh đề là một câu khẳng định mà ta biếtđược tính đúng sai của nó

Mệnh đề đúng ta gán cho giá trị 1, mệnh đề sai ta gán cho giátrị 0 Các giá trị 0, 1 gọi là giá trị chân lí của mệnh đề

Ta thường kí hiệu mệnh đề là p, q, r, và gọi đó là các mệnh đềđơn giản hay mệnh đề sơ cấp

Khi p là mệnh đề đúng ta qui ước viết p = 1 và viết p = 0 khi p

Phép phủ định trong logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của từ

"không" trong ngôn ngữ thông thường

Ví dụ: Cho mệnh đề p: "9 chia hết cho 3" là mệnh đề đúng Khi đóphủ định của mệnh đề p là:

Mệnh đề p: "9 không chia hết cho 3" là mệnh đề sai

1.2.2 Phép hội

Định nghĩa 1.2 Cho 2 mệnh đề p và q, hội của 2 mệnh đề này làmột mệnh đề đúng khi cả p và q cùng đúng và sai trong các trườnghợp còn lại, ký hiệu là p ∧ q

Phép hội trong logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của từ "và"trong ngôn ngữ thông thường

Ví dụ: Cho 2 mệnh đề đúng là p: "2 là số chẵn" và q: "2 là số nguyêntố" Khi đó mệnh đề hội của p và q là mệnh đề p ∧ q: "2 là số chẵn

và 2 là số nguyên tố" và đây là mệnh đề đúng theo định nghĩa củaphép hội

1.2.3 Phép tuyển

Định nghĩa 1.3 Cho 2 mệnh đề p và q, tuyển của 2 mệnh đề này

là một mệnh đề sai khi cả p và q cùng sai và đúng trong các trườnghợp còn lại, ký hiệu là p ∨ q

Phép tuyển trong logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của từ

"hoặc" trong ngôn ngữ thông thường Tuy nhiên, liên từ "hoặc"trong ngôn ngữ thông thường thường có 2 nghĩa loại trừ và khôngloại trừ Phép tuyển ở đây (sử dụng trong Toán học) được hiểu theonghĩa không loại trừ

Ví dụ: Cho mệnh đề đúng p: "2 < 5" và mệnh đề sai q: "2 = 5".Khi đó tuyển của p và q là mệnh đề p ∨ q: "2 ≤ 5" và đây là mệnh

đề đúng theo định nghĩa của phép tuyển

1.2.4 Phép kéo theo

Định nghĩa 1.4 Cho 2 mệnh đề p và q, p kéo theo q là một mệnh

đề chỉ sai khi p đúng và q sai, và đúng trong các trường hợp còn lại,

Bảng 1.4: Bảng chân lí của phép kéo theo.

Phép kéo theo trong logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của cụm

từ "nếu thì " trong ngôn ngữ thông thường

Ví dụ: Cho 2 mệnh đề đúng p: "Tam giác ABC cân tại A" vàq: "Tam giác ABC có AB = AC" Khi đó p kéo theo q là mệnh đề

p ⇒ q: "Nếu tam giác ABC cân thì AB = AC" và là mệnh đề đúngtheo định nghĩa của kéo theo

1.2.5 Phép tương đương

Định nghĩa 1.5 Cho 2 mệnh đề p và q, p tương đương q là mộtmệnh đề đúng khi cả 2 mệnh đề p, q cùng đúng hoặc cùng sai, vàsai trong các trường hợp còn lại, ký hiệu là p ⇔ q

Bảng 1.5: Bảng chân lí của phép tương đương.

Phép kéo theo trong logic mệnh đề phù hợp với ý nghĩa của cụm

từ "nếu và chỉ nếu" hay "khi và chỉ khi" trong ngôn ngữ thôngthường

Ví dụ: Cho 2 mệnh đề đúng p: "Tam giác ABC là tam giác vuông"

và q: "Tam giác ABC có AB2+AC2 = BC2" Khi đó p tương đương

q là mệnh đề p ⇔ q: "Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi

AB2 + AC2 = BC2" và là một mệnh đề đúng theo định nghĩa củaphép tương đương

1.3 Công thức của logic mệnh đề

Từ các mệnh đề sơ cấp, nhờ các phép toán logic đã được địnhnghĩa ở trên, ta có thể lập được những mệnh đề phức tạp hơn

1.3.1 Định nghĩa

i) Các mệnh đề đơn giản p, q, r, là các công thức (ta gọi là cácbiến mệnh đề)

ii) Nếu P, Q là các công thức thì P , P ∧ Q, P ∨ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q

là các công thức

iii) Mọi dãy kí hiệu khác, không được xác định theo các qui tắc i)

và ii) đều không phải là công thức

Trong logic mệnh đề, khái niệm công thức tương tự như khái niệmbiểu thức trong Toán học Vì vậy, các công thức logic thực chất làcác biểu thức logic

Như vậy, một công thức logic bao gồm: biến mệnh đề, các phéptoán logic, các dấu ngoặc đơn để chỉ thứ tự thực hiện các phép toán

1.3.2 Sự tương đương logic giữa hai công thức

Mỗi công thức của logic mệnh đề sẽ nhận được những giá trịchân lí 1 hoặc 0 tùy thuộc vào những hệ giá trị chân lí mà ta gáncho các biến mệnh đề có mặt trong nó

Định nghĩa 1.6 Cho hai công thức P và Q Ta nói rằng P tươngđương logic với Q, ký hiệu P ≡ Q, nếu chúng cùng nhận giá trị chân

lí như nhau với mọi hệ giá trị chân lí có thể có của các biến mệnh

đề có mặt trong chúng

Hệ thức P ≡ Q gọi là một đẳng thức hay một tương đương logic.Khái niệm đẳng thức trong logic mệnh đề tương tự như khái niệmhằng đẳng thức trong Toán học

Chú ý

1 Trong định nghĩa sự tương đương logic của hai công thức, khôngbắt buộc phải giả thiết chúng cùng chứa các biến mệnh đề nhưnhau

2 Để chứng minh đẳng thức P ≡ Q ta có thể dùng phương pháplập bảng chân lí

4 Tính chất phân phối của phép hội đối với phép tuyển và củaphép tuyển

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (1.6)

Chứng minh đẳng thức (p ⇒ q) ≡ p ∨ q (1.12) ta lập bảng các giátrị chân lí như sau:

1.4 Phép biến đổi công thức

Cũng giống như các phép biến đổi đồng nhất trong Toán học,trong logic mệnh đề, từ các đẳng thức đã cho, chúng ta có thể thựchiện phép biến đổi đồng nhất Phép biến đổi đồng nhất được sửdụng để chứng minh một đẳng thức hoặc đưa một công thức về

dạng đơn giản hơn Để biến đổi đồng nhất thuận tiện, người ta quiước như sau:

1 Không viết dấu ngoặc ngoài cùng đối với mỗi công thức Nếu

có dấu phủ định trên một công thức nào đó thì ta bỏ dấu ngoặc

ở hai đầu công thức

2 Có thể thay ký hiệu ∧ (và) bởi dấu "." hoặc bỏ hẳn nó đi

3 Các phép toán logic được thực hiện theo thứ tự: phủ định, hội,tuyển, kéo theo, tương đương và ưu tiên thực hiện trong ngoặctrước, ngoài ngoặc sau

1.5 Các mệnh đề liên hợp

1.5.1 Các mệnh đề liên hợp

Trong Toán học, các mệnh đề thường được viết dưới dạng mệnh

đề kéo theo p ⇒ q , trong đó p là giả thiết, q là kết luận

Nếu ta gọi p ⇒ q (1) là mệnh đề thuận thì:

Trong toán học, khi ta đã chứng minh được mệnh đề p ⇒ q làđúng thì ta có thể kết luận rằng mệnh đề q ⇒ p là đúng mà khôngcần phải chứng minh, khi đã biết mệnh đề p ⇒ q là sai ta kết luậnmệnh đề q ⇒ p là sai.

1.5.2 Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ

Trong toán học, khi ta đã chứng minh được mệnh đề có dạng

p ⇒ q là đúng, ta nói rằng:

+ p là điều kiện đủ để có q

+ q là điều kiện cần của p

Do đó khi đã chứng minh được mệnh đề p ⇔ q là đúng bằng cáchchứng minh hai mệnh đề p ⇒ q và q ⇒ p là đúng, ta nói rằng p làđiều kiện cần và đủ để có q hay p là điều kiện cần và đủ của q

1.6 Luật của logic mệnh đề

1.6.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.7 Cho công thức A Khi đó:

+ A gọi là hằng đúng nếu A nhận giá trị 1 với mọi hệ giá trị chân

lí có thể có của các biến mệnh đề có mặt trong A

Khi đó ta cũng gọi A là một luật của logic mệnh đề và ký hiệu

| = A

+ A gọi là hằng sai nếu A nhận giá trị 0 với mọi hệ giá trị chân lí

có thể có của các biến mệnh đề có mặt trong A

Khi đó ta cũng gọi A là một mâu thuẫn

+ A gọi là thực hiện được nếu nó nhận giá trị 1 với ít nhất một hệgiá trị chân lí của các biến mệnh đề có mặt trong A.

Nhận xét 1.1 Dựa vào định nghĩa ta thấy:

1 Công thức A là hằng đúng khi và chỉ khi phủ định của nó A làhằng sai

2 Nếu A là hằng đúng thì A là thực hiện được

3 Hai công thức hằng đúng thì tương đương logic với nhau Haicông thức hằng sai cũng tương đương logic với nhau

1.6.2 Một số luật quan trọng của logic mệnh đề

Chẳng hạn ta chứng minh luật: | = p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q (1.33) như sau:

Ta lập bảng các giá trị chân lí của công thức p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q (*)

Từ bảng giá trị chân lí ta thấy công thức (*) luôn nhận giá trị

1 với mọi hệ giá trị chân lí của các biến mệnh đề có mặt trong nó

Do đó ta có luật (1.33)

1.6.3 Liên hệ giữa đẳng thức và luật

Đẳng thức và luật là hai khái niệm khác nhau của logic mệnh

đề, tuy nhiên, giữa chúng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau

Thật vậy, giả sử có A và B là hai công thức

Nếu ta có luật | = A ⇔ B, tức là công thức A ⇔ B luôn nhậngiá trị 1 với mọi hệ giá trị chân lí của các biến mệnh đề có mặttrong nó Mà A ⇔ B chỉ nhận giá trị 1 khi và chỉ khi A và B cùngnhận giá trị 1 hoặc 0 Khi đó ta có A ≡ B

Ngược lại, nếu ta có đẳng thức A ≡ B, tức là A và B cùngnhận giá trị như nhau với mọi hệ giá trị chân lí của các biến mệnh

đề có mặt trong chúng Khi đó công thức A ⇔ B luôn nhận giá trị

1 hay ta có luật | = A ⇔ B

Vì vậy, ta có thể rút ra mối quan hệ giữa đẳng thức và luật quađịnh lí sau

Định lí 1.1 Giả sử A và B là hai công thức

Ta có luật | = A ⇔ B khi và chỉ khi ta có đẳng thức A ≡ B

Dựa vào định lí này, từ một đẳng thức ta sẽ rút ra một luật vàngược lại

Ví dụ:

+ Từ đẳng thức (p ⇒ q) ≡ p ∨ q (1.12) đã được chứng minh ở trang

11 ta có thể suy ra luật | = (p ⇒ q) ⇔ (p ∨ q) và đây cũng chính làluật (1.61)

+ Từ luật | = (p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p) (1.54) ta có thể rút ra đẳng thức

p ⇒ q ≡ q ⇒ p

1.7 Hệ quả logic và qui tắc suy luận

Phân tích các suy luận trong chứng minh toán học, người ta thấymỗi chứng minh bao gồm một số hữu hạn bước suy luận đơn giản.Trong mỗi bước suy luận đơn giản đó, ta đã "ngầm" vận dụng một

số qui tắc suy luận tổng quát để từ các mệnh đề đã được thừa nhận

là đúng (tiên đề, định lí, định nghĩa, giả thiết) có thể rút ra mộtmệnh đề mới Người ta gọi các mệnh đề xuất phát đã được thừa

nhận là đúng là các tiên đề, còn mệnh đề mới được rút ra (nhờ vậndụng các qui tắc suy luận tổng quát) gọi là hệ quả logic của các tiênđề.

Để có thể tìm ra những qui tắc suy luận tổng quát, ta đưa ramột định nghĩa chính xác của khái niệm này

1.7.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.8 Giả sử A1, A2, , An, B là những công thức.Nếu tất cả các hệ giá trị chân lí của các biến mệnh đề có mặt trongcác công thức đó làm cho A1, A2, , An nhận giá trị 1 cũng đồngthời làm cho B nhận giá trị 1 thì ta gọi B là hệ quả logic của cáctiên đề A1, A2, , An, khi đó ta cũng nói rằng có 1 qui tắc suy luận

từ các tiên đề A1, A2, , An tới hệ quả logic B

Qui tắc suy luận đó được kí hiệu là

A1, A2, , An

Bhay A1, A2, , An| = B

1.7.2 Luật và qui tắc suy luận

Giữa hai khái niệm luật và qui tắc suy luận có mối liên hệ chặtchẽ Định lí dưới đây phản ảnh mối liên hệ quan trọng giữa luật vàqui tắc suy luận

Định lí 1.2 Cho các công thức A1, A2, , An, B

Ta có luật | = A1 ∧ A2 ∧ ∧ An ⇒ B khi và chỉ khi ta có qui tắcsuy luận A1, A2, , An

Chứng minh 1.7.1 Theo định nghĩa của luật, ta có luật

| = A1∧ A2∧ ∧ An ⇒ B (**) khi và chỉ khi A1∧ A2∧ ∧ An nhậngiá trị 1 thì B nhận giá trị 1 Mà theo định nghĩa phép hội, ta có

A1∧A2∧ ∧An nhận giá trị 1 khi và chỉ khi A1, A2, , An đồng thờinhận giá trị 1 Do đó, ta có luật (**) khi và chỉ khi A1, A2, , Anđồng thời nhận giá trị 1 thì B nhận giá trị 1 Kết hợp với định nghĩaqui tắc suy luận ta có định lí trên

1.7.3 Một số qui tắc suy luận thường được vận dụng trong

các suy luận toán học

1 Qui tắc kết luận Modus ponens

p ⇒ q, pq

2 Qui tắc kết luận ngược Modus tollens

p ⇒ q, qp

3 p ⇔ q, p

q

p ⇔ q, qq

4 Các qui tắc suy luận bắc cầu

p ∨ q, qp

8 Qui tắc tuyển giả thiết

p ∧ qq

16 Qui tắc đưa tuyển vào

và chứng minh toán học Tuy nhiên người ta nhận thấy rằng logicmệnh đề không đủ để phân tích nhiều suy luận gặp trong toán học.

Vì vậy người ta đã mở rộng logic mệnh đề để có được một hệ logicrộng hơn gọi là logic vị từ Dưới đây là một số vấn đề quan trọngcủa logic vị từ

1.8.1 Vị từ (hay hàm mệnh đề)

Định nghĩa 1.9 Cho tập các biến mệnh đề X và tập các mệnh đề

M Vị từ 1 - ngôi (hay hàm mệnh đề 1 biến) trên X là 1 ánh xạ:

ϕ : X → M

x 7→ ϕ (x)

Ví dụ: Cho vị từ: ϕ : N → M

n 7→ ϕ (n): n là số chính phương

Thay vì kí hiệu vị từ như trên, ta có thể viết ϕ (n): "n là số chínhphương"

Ta gọi miền đúng của vị từ ϕ là tập Eϕ

Ví dụ: Cho vị từ 1 - ngôi xác định trên tập N các số tự nhiên

ϕ (n): "n là số nguyên tố"

Khi đó miền đúng của ϕ (n) là tập các số nguyên tố hay Eϕ = P (với P là tập các số nguyên tố)

Người ta ký hiệu vị từ 1 - ngôi xác định trên tập X bởi ϕ (x),

P (x), Q(x), trong đó x gọi là biến tử, mỗi phần tử cụ thể của Xgọi là hằng tử

Tương tự ta có, vị từ n - ngôi trên X là 1 ánh xạ:

(x1, x2, , xn) 7→ ϕ (x1, x2, , xn)Chú ý: Người ta coi mệnh đề là vị từ không ngôi (hay hàm mệnh

đề không biến)

Định nghĩa 1.10 Giả sử P (x1, , xn) là một vị từ n - ngôi xácđịnh trên tập X

+ Vị từ P (x1, , xn) là hằng đúng trên tập hợp X nếu và chỉnếu P (x1, , xn) = 1 với mọi a ∈ X, nghĩa là EP = X

+ Vị từ P (x1, , xn) là hằng sai trên X nếu và chỉ nếu

P (x1, , xn) = 0 với mọi a ∈ X, nghĩa là EP = ∅

+ Vị từ P (x1, , xn) là thực hiện được nếu và chỉ nếu tồn tại

a ∈ X sao cho P (x1, , xn) = 1, nghĩa là EP 6= ∅