Tính chất cơ bản của BĐT pot

I Tính chất cơ bản của BĐT:

a) a < b, b < c  a < c

b) a < b a +c < b+ c

c) a< ba.c < b.c (với c > 0)

a< ba.c > b.c (với c < 0)

d) a < b và c < da+c < b + d

e) 0 < a < b và 0 < c < d a.c < b.d

n

0 < 2 2  

n

n

II BĐT Cauchy: (Cô–si)

2 a,b 0

Đẳng thức 2

a b

ab 

xảy ra khi và chỉ khi a = b

a, b, c 0 3

 

abc

Hệ quả:

1

a + 2

a  , a 0

III Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

a) |x| 0, |x| x, |x| -x

b) |x|  a  -a  x  a ( với a > 0)

|x|  a  x  -a hoặc x  a

c) |a|-|b|  |a+b|  |a| + |b|

II BĐT Bunhinacôpxki

Cho a, b, x, y là các số thực, ta có:





(a2 b2 x2 y2 (ax + by)2

Đẳng thức xảy ra khi:

Tổng quát: Cho 2n số thực: a a1 , 2 , ,a n; ,b b1 2 , ,b n

Ta có:

1 1 2 2

|a b a b   a b n n|  2 2 2 2 2 2

(a a   a n)(b b   b n)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

1 2

1 2

n n

a

b b  b