Hình học giải tích: Hypebol

Hình học giải tích: Hypebol

CHUYÊN ĐỀ 6

HYPEBOL

Để giải các bài toán có liên quan đến đường hypebol ta cần nắm vững các vấn đề cơ bản sau:

Hypebol (H) có tâm O, hai trục đối xứng là x′x, y′y

Phương trình

chính tắc

Hypebol có tiêu điểm trên x′x

2 2

x

a –

2 2

y

b = 1

Hypebol có tiêu điểm t rên y′y

2 2

x

a –

2 2

y

b = –1

Tiêu điểm

Tiêu cự

Trục thực, độ dài

Trục ảo, độ dài

Đỉnh

Tiệm cận

Tâm sai

Bán kính

M(xM, yM) ∈ (H)

F1(–c, 0), F2(c, 0)

2c

Ox, 2a

Oy, 2b

A1(–a, 0), A2(a, 0)

y = ± b

ax

e = c

a

M M

⎧

⎩

(xM a)≥ 1

2

M M

a a

⎧

⎩

(xM ≤ – a)

F1(0, –c), F2(0, c)

2c

Oy, 2b

Ox, 2a

A1(0, –b), A2(0, b)

y = ± a

bx

e = c

b

M M

⎧

⎩

(yM ≥ b) 1

2

M M

b b

⎧

⎩

(yM ≤ – b)

Đường chuẩn

Phương trình tiếp

tuyến tại tiếp

điểm M0(x0, y0) ∈ (H)

x = ± a

e

0 2

x x

a – 02

y y

b = 1

y = ± b

e

0 2

x x

a – 02

y y

b = –1

Ngoài ra ta cũng cần lưu ý:

Điều kiện để:

(D) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (H) : x22

a –

2 2

y

b = 1 là

a2A2 – b2B2 = C2 > 0 (D) : Ax + By + C = 0 tiếp xúc với (H) : x22

a –

2 2

y

b = –1 là

a2A2 – b2B2 = –C2 < 0

Ví dụ :

Cho hypebol (H) : 4x2 – y2 = 4

1) Xác định tiêu điểm, đỉnh, tâm sai, các đường tiệm cận và đường chuẩn của (H) 2) Viết phương trình tiếp tuyến với (H) tại điểm M(1, 0)

3) Viết phương trình tiếp tuyến với (H) phát xuất từ điểm N(1, 4) tìm tọa độ tiếp điểm

Giải

1) Các phần tử của hypebol (H)

(H) : 4x2 – y2 = 4 ⇔ x2 – 2

4

y = 1 có dạng 2

2

x

a –

2 2

y

b = 1 với

a2 = 1 ⇒ a = 1, b2 = 4 ⇒ b = 2 và c2 = a2 + b2 = 5

Vậy hypebol (H) có 2 tiêu điểm F1(− 5, 0), F2( 5 , 0) ; hai đỉnh A1(–1, 0), A2(1, 0) ; tâm sai e = c

a = 5 ; hai đường tiệm cận phương trình y = ± 2x và hai đường chuẩn phương

trình

x = ± a = ± 1

2) Phương trình tiếp tuyến với (H) tại tiếp điểm M(1, 0)

Ta có M(1, 0) ∈ (H) : 4x2 – y2 = 4

⇒ Phương trình tiếp tuyến với (H) tại tiếp điểm M(1, 0) là

4xMx – yMy = 4

⇔ 4x – 0y = 4 ⇔ x = 1

3) Phương trình tiếp tuyến với (H) phát xuất từ N(1, 4) Hai tiếp tuyến cùng phương với 0y là x = a = 1 Vậy x=1 là một tiếp tuyến qua N(1, 4) ± ±

Tiếp tuyến (Δ) qua N(1, 4) không cùng phương với 0y có dạng:

: y – 4 = k(x – 1)

( )Δ tiếp xúc với hypebol (H) : 2

1

x – 2 4

y = 1

⇔ k2 12 – 4(–1)2 = (4 – k)2

⇔ k2 - 4 = 16 – 8k + k2

⇔ k = 20 5

8 = 2 Vậy ( )Δ : 5

2x – y – 4 – 5

2 = 0 ⇔ 5x – 2y – 13 = 0 Tóm lại có hai tiếp tuyến qua điểm N(1, 4) là x = 1, và 5x – 2y – 13 = 0

* * *