Tài liệu Bài toán cực trị của hình học giải tích ppt

CHUYEN DE BAI TOAN CUC TRI TRONG HINH HOC GIAI TICH Bài toán cực trị trong hình hoc giải tích thường được phát biểu dưới dạng yêu cầu xác định toa độ của một điểm, phương trình của một đ

CHUYEN DE BAI TOAN CUC TRI TRONG HINH HOC GIAI TICH

Bài toán cực trị trong hình hoc giải tích thường được phát biểu dưới dạng yêu cầu xác định toa độ của một điểm, phương trình của một đường hay một mặt để một biểu thức hình học nào đó đạt giá trị lớn nhất hay bé nhất Khi gặp bài toán dạng này, ta có thể nghĩ tới một trong hai phương pháp sau :

Cách 1 : Dùng các phương pháp của hình học thuần tuý để khảo sát biểu thức cần tìm cực trị Chỉ sau khi đã xác định được vị trí về mặt hình học của điểm (hay của đường, mặt) cần tìm thì ta mới tính toạ độ (hay viết phương trình) của nó Trong khi khảo sát bằng phương pháp hình học, cần lưu ý rằng ngoại trừ các bài toán đã quen thuộc trong Hình học thuần tuý mà ta đã có phương pháp khảo sát riêng, còn nói chung ta cần biến biểu thức cần khảo sát về dạng mới để trong đó chỉ còn một đại lượng biến thiên

Cách 2 : Đặt một đại lượng thay đổi nào đó bằng biến ứ rồi viết biểu thức cần khảo sát thành một hàm của biến / Sau đó khảo sát hàm vừa tìm được bằng các phương pháp của đại số Trong khi sử dụng phương pháp này, cần lưu ý việc lựa chọn một đại lượng để đặt bằng biến ¿ để thuận lợi trong việc tính toán biểu thức cần khảo sát theo (và được một hàm số có thể khảo sát được sự biến thiên của nó) Cũng cần lưu ý tới miền xác định của biến ¿, bởi nó ảnh hưởng tới việc tìm cực trị của hàm xác định trên biến đó

Nhận xét : Ở cách 1 hay cách 2, ta đều nhấn mạnh tới việc chuyển biểu thức cần khảo sát về dạng mới mà trong đó chỉ còn một đại lượng biến thiên (đại lượng hình học ở cách I và đại số ở cách 2) Tuy vậy, không phải với bài toán nào cũng

có thể thực hiện được điều đó Trong trường hợp cần khảo sát một biểu thức có ' nhiều đại lượng biến thiên, ta có thể sử dụng cách sau :

Cách 3 : Dùng các bất đăng thức đại số để đánh giá biểu thức cần khảo sát

Xét dấu đăng thức xảy ra khi nào và có kết luận tương ứng về giá trị cực trị của biểu thức cần khảo sát Trong khi sử dụng phương pháp này, kĩ năng sử dụng các bất đẳng thức đại số là rất quan trọng Cần nắm được đặc trưng của từng bất đẳng thức đại số cổ điển và các nguyên tắc sử dụng chúng Thí dụ, khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, một bất đẳng thức được khai thác nhiều trong Toán phổ thông, ta cần lưu ý những điểm sau :

e Các tham số tham gia vào bất đẳng thức Cauchy là không âm ;

e Phụ thuộc vào mục đích ta đang muốn đánh giá một biểu thức là lớn hay là

bé mà ta nhìn biểu thức đó dưới dạng là tổng hay là tích tương ứng (mục đích

quyết định cách nhìn đối tượng dưới góc độ nào, và cách nhìn nhận đối tượng sé quyết định hướng giải quyết) ;

e Khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, cần lưu ý hướng tới dấu đẳng thức có thể xảy ra Trước hết, cần suy diễn để biết rằng dấu bằng của bất đẳng thức cần chứng minh xảy ra khi nào Trên cơ sở đó, ta chỉ sử dụng bất đẳng thức Cauchy đối với những số có khả năng bằng nhau

Ta hãy xem xét những lưu ý trên trong một ví dụ cụ thể sau :

"Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Chứng minh rằng :

(feito

Ở đây, mục đích ta đang cần đánh giá biểu thức vế trái của bất đẳng thức là lớn Do đó, ta cần nhìn nhận nó dưới dạng là tổng Như vậy, ta cần nhìn vào từng thành phần 1 + ~ 1+ ty + : để thấy chúng là các tổng, do đó có thể đánh giá chúng lớn theo bất đảng thức Cauchy (nếu ta nhìn vào toàn biểu thức [i + at + i + *) thi ta sé thay đây là một tích)

— Ở ví dụ này, ta trình bày ba cách giải theo ba

OAB, ta có :

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :

e Phép biến đổi : + | } là chuyển biểu thức ban đầu với hai đại

OA* OB? OH?

lượng biến thiên ÓA, ÓB về biểu thức còn một đại lượng biến thién OH

e Cách giải trên không mở rộng được cho bài toán tổng quát hơn : xác định vị

_#_ + —P _ nhỏ nhất (z >0, b > 0)

trí của đường thẳng A để

OA? OB?

Cách 2 Đường thẳng A di qua M(1 ; 2), cat cdc truc toa dé va không đi qua

gốc nên nó là đường thẳng có hệ số góc & với k z 0,k # 2 Khi đó :

Vậy ƒ(k) nhỏ nhất khi và chỉ khi k = >

Do đó + +, nhỏ nhất khi và chỉ khi £ = —L © A: x+2y— 5 =0

http://violet.vivkinhhoa

Gia str: A(m ; 0), B(O; 1), m,n > 0

Dấu bằng xây ra khi và chỉ khi = == = - e> m = 4,n = 6

mn

Do đó diện tích tam giác OAB nhỏ nhất khi và chỉ khi A 7 + 5 =1

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng toạ độ Óxy, viết phương trình đường thắng A đi qua điểm Ä⁄(1 ; 8), cắt chiều dương của các trục Ox, Oy tai A, B sao cho AB nhỏ nhất

Dấu đăng thức xảy ra khi và chỉ khi m = 5,n = 10

Vậy AB nhỏ nhất khi và chỉ khi A Sta =1 hay A:2x+y-10=0

Ví dụ 4 Trong mặt phang toa do Oxy cho ba điểm A(I ; 1), B(3 ; 2), CŒ ; 10) a) Chứng minh rằng góc A của tam giác ABC nhọn

b) Viét phuong trình đường thẳng A đi qua A sao cho tổng các khoảng cách từ

Dấu đẳng thức xảy ra khi đường thẳng A vuông góc với BC

+ Nếu đường thẳng A không cắt đoạn 8C (h.62) Gọi /(5 ; 6) là trung điểm

Ta co:

d(B, A) + d(C, A) = 2d(I, A) < 2AI

Dấu đẳng thức xảy ra khi đường thẳng A vuông góc véi Al (dé y rang khi dé

đường thang A không cắt đoạn BC)

Do tam giác ABC nhọn nên 2Al > BC

Do dé d(B, A) + d(C, A) 16n nhat khi va chi khi duéng thang A di qua diém

A(1 ; 1), có pháp vectơ AI(4 ; 5}

Đường thẳng A cần tìm là

A(x —1) + 5(y-1) =0 @ 4x+5y-9=0

Ví dụ 5 Trong không gian toa d6 Oxyz cho mat phang (a):x- y+z-1=0 va

cdc diém A(1;2; -]), B(1;0;—1), C(2 1; ~2) Tìm điểm M thuộc mặt phang (a)

sao cho MA” + MB? - MC7 nhỏ nhất ˆ

Lời giải

—

Xét điểm J sao cho JA + IB — IC = 0

= MP + IA? + IB? — IC? + 2MI|1A +78 ~ ic)

= MI” + IA + IB? ~ IC’

Do đó : MA” + MB” ~ MC” nhỏ nhất © MI nhé nhat <> MIL (a)

Khi do MI di qua /(0 ; I ; 0) và có vectơ chỉ phương na (I -—1; 1) nên có

Vậy MA” + MB? — MC” nhỏ nhất khi M = (2:3:5}

_ Ví dụ 6 Trong không gian toa độ Oxyz cho mặt phẳng

(z):x—3y + 3z — II =0

và các điểm A(3 ;—4; 5),B(3; 3; 3) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (a) sao cho

|MA — MB] l6n nhat

8 http://violet.vivkinhhoa

Lời giải (h.63)

Lần lượt thay toạ độ của A(3;—4;5) và B(3;3;—3) vào vế trái của phương

trình mặt phẳng (ø), ta được hai số trái dấu Do đó A và 8 nằm về hai phía của mặt phẳng (ø) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua (2)

Ta có : |MA - MB| = |MA'- MB| < A'B

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M, A', B thang hang và điểm M nằm ngoài

đoạn thẳng A'8 Mặt khác, M thuộc mặt phẳng (ø) còn A' và 8 nằm về một phía

của mặt phẳng (ø) Do đó, dấu bằng của đăng thức trên xảy ra khi và chỉ khi

M = ABo(ø)

B

Đường thẳng AA' đi qua điểm A@ ; —4 ; 5), A

vuông góc với mặt phẳng (œ) nên có vectơ

phẳng (ø) ứng véi gid tri ¢ 14 nghiệm của Hinh 63

Vì A'B = (2;1; —2) nên đường thẳng A'B có phương trình

va hai diém A(2;~1;1), B(1;-1;0) Tim diém M thudc dong thang A dé

dién tich tam gidc AMB dat gia tri nho nhat

Xét ham s6 f (t) = 121? + 20: +9 Hàm số này có đồ thi 1a parabol quay bé

lõm lên phía trên Do đó f(t) nhỏ nhất <> ¢t = vẽ © M = [s:-2 -3}

Vay dién tich tam giac AMB nho nhat khi M = Ề 5 -3}

Ví dụ 8 Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A(1;2;-1), B(-1;1 ;2), viết

phương trình mặt phẳng (2) tạo với mặt (xÓy) một góc nhỏ nhất

Lời giải

x-1.y-2 z+1 gp fe -2y+3=0

Mat phang (a) chứa A nên có phương trình dạng :

(a) : u(x - 2y +3) + (3y + z— 5) = 012 + È > 0}

e Nếu u = 0 thi (a) :3y +z—-—5=0 cé phap vecto n„(0;3; 1)

1+ (3-27 +2 _ 10/2~12+5`

Xét hàm số : f(t) =

_ 2

f(Q\=—— “—*““- Tae f()=0©

Ta có bang biến thiên :

Do đó cos((z), (xOy)) lớn nhất bằng lễ khi í = =

So sánh hai trường hợp trên, suy ra mặt phẳng (ø) tạo với (xÓy) một góc nhỏ

gốc toa độ sao cho diện tích tam giác AB nhỏ nhất

3 Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho đường thang

Á : mx + y + 2m = Ơ

Tìm m để khoảng cách từ A(3 ; 4) tới đường thẳng A đạt giá trị lớn nhất

4 Trong mặt phẳng toạ độ xĨy, viết phương trình đường thang A đi qua điểm M(3 ; 2), cắt chiều dương của các truc Ox, Oy tương ứng tại các điểm A, B

khác gốc toa độ sao cho ĨA + 2ĨB đạt giá trị nhỏ nhất

5 Trong mặt phẳng toạ độ xOy cho các điểm A(I ; 1), B(2; 5), C( ; 7) Chứng minh rằng AÀ®C cĩ gĩc A nhọn

Viết phương trình đường thẳng A đi qua A sao cho :

10

c) MA? + MB? — MC? nho nhat;

d) |MA + MB + MC| nho nhat

Trong không gian toa dé Oxyz, viét phuong trinh mat phang (a) di qua điểm

A(I ; 2; 4) và cắt chiều dương của các trục toạ độ Ox, Oy, Oz lan luot tai M, N,P khác gốc toạ độ sao cho tứ điện OMNP có thể tích nhỏ nhất

Trong không gian toa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (ø) đi qua điểm Mí(1 ; 2; 3), cắt các trục toạ độ Óx, Óy, Óz lần lượt tại A, 8, C sao cho

13 Trong cdc mat phang di qua A(1 ; 1 ; —1) va vu6ng géc véi mặt phẳng

(B):2x-y+z+2=0,

viết phương trình mặt phẳng tạo với đường thẳng Óy một góc lớn nhất

14 Cho mặt phẳng (Z) : x + y —- z + I1 = 0 và đường thẳng

HN 2x-y+z-2=0

Trong các đường thẳng đi qua A(1 ; —l ; 2) và song song với mặt phẳng (œ),

viết phương trình đường thẳng A sao cho khoảng cách giữa A và ¿ lớn nhất

Trong các đường thẳng di qua Ö và cắt đường thẳng d, viét phuong trinh cac

đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới nó là lớn nhất ; bé nhất

16 Cho đường thẳng

x+y-z-1=0

A:Jx†y~?

2x-y-z=0

va hai diém A(2; 1; 1), B(-1 ; 2; 0)

Tim điểm M thuộc đường thẳng A sao cho MA? + MB? nhỏ nhất

17 Cho hai đường thẳng A,: Š= 2= Z4 A,,x18 y6 77-10

20 Cho mat cau

(S)i x? ty? + 2° -2x422-2=0

và cac diém A(0; 1; 1), B(-1 ; -2; -3), CU ; 0; -3)

Tìm điểm D thuộc mặt cầu (Š) sao cho thể tích tứ diện ABCD lớn nhất Lời giải

1 Gia su M = (m; 0), N=(0;n) (mn #0)

Duong thang A di qua M, N nên có phương trình là :

242-4

m n Hơn nữa A(-1;3) e A nên Hey

m on

l

4+ —— = 2 OM? ON? m°

Zot : m = —6n nai?

m n

Vậy đường thẳng A có phương trình là : —x + 6y - 19 = 0

2 Giast A =(a;0), 8=(0;b) (a>0,b>0)

http://violet.vivkinhhoa

Đường thẳng A có phương trình là : = 4 = 1,

a

17

Do đường thẳng A đi qua M(2 ; 5) nén +

Vay Song bé nhat bang 20 khi a = 4, b = 10

Khi đó đường thẳng A có phương trình :

(m? +1)(5? + 4?) > (5m + 4)

<> 41(m? +1) > (5m + 4) (5m + 4Ÿ

Tir dé f(a) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7+4V3 khi a = 3+243 hay

ÓA + 20B đạt giá trị nhỏ nhất bằng 7 + 443 khi z =3 + 243

Với z= 3+ 2/3 thì b = 2 + V3

Phương trình đường thẳng A cần tìm là :

a) Nếu đường thẳng A cắt đoạn BC tại một điểm M thì :

d(B, A) + d(C, A) < BM + CM = BC

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi đường thẳng A vuông góc với 8C

Nếu A không cắt đoạn 8C thì 4(B, A) + d(C, A) = 24Œ,A) < 2AI, ở đó 13;6) là trung điểm của BC Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A vuông góc

voi Al

Do tam giác A8C có BAC nhọn nên 2A/ > BC

Vậy d(B,A) + d(C, A) lớn nhất khi và chỉ khi đường thang A đi qua điểm

A(I ; 1) và có vectơ pháp tuyến /A = (~2;~5)

Đường thẳng A cần tìm có phương trình :

-2(a - I)- 5(y-I)=0 œ 2x+5y-7=0

b) Trên tia AB lấy điểm Ö' sao cho 8 là trung điểm của AB

Dau "=" xay ra khi va chi khiA 1 B'C

e Nếu đường thẳng A khong cat doan B'C thi

d(B', A) + d(C, A) = 2d(I', A) < 21'A voi | ( ; ) là trung điểm của cạnh #C

Dấu "=" xảy ra khi đường thang A vuông góc với A

AABC có BAC nhọn nên 2/'A > BC

Vay d(B’, A) + d(C, A) lớn nhất khi và chỉ khi đường thang A di qua A(I ; 1)

va có vectơ pháp tuyến ai 2 ; 7|

Đường thẳng A cần tìm là :

sứ ~1)+ 7Úy= I)=0 6 5x+l4áy- 19 =0

a) A(2 ; L) và B(—1 ; -3) thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau với bờ là đường thẳng A:x+y+2=0vì

(x4 + y4 + 2)(xg + yg + 2) = 5(-2) < 0

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua đường thẳng A Khi đó A' và B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ A

Ta có : |MA - MB| = |MA— MB| < A'B

Dấu "=” xây ra khi và chỉ khi M, A, B thang hang va M ở ngoài đoạn A'B

<> {M} = A'BOA (vi ME A vaA’, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ A) AA' đi qua A(2 ; 1) và vuông góc với đường thẳng A nên AA' có vectơ chỉ

Vậy |MA — MB| lớn nhất khi M = l -2}

b) Gọi A' là điểm đối xứng với A qua A Khi đó, A' và C nam ở hai phía khác

nhau đối với đường thẳng A

Với Mí tuỳ ý trên đường thẳng A ta có :

MA +MC =MA'+MC> AC

Dấu "=”" xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của A'C và A (tức M ở giữa A' và

C, điều này có được do A' và C thuộc hai nửa mặt phẳng khác nhau có bờ là

đường thẳng A)

Theo cau a) : A'(-3 ; -4), A'C = (4:7)

Phuong trinh dudng thang A'C :

| http://violet.vivkinhhoa 23

suy ra MA? + MB? — MC? = x” + y* + 10y 45

= 2y? +l4y +9,

Xét hàm số ƒ(y) = 2y” + 14y +9 có đồ thị là parabol quay bề lõm lên trên

Do đó f(y) nho nhat khi y = + © M= lš:-2}

Vậy MA? + MB” - MC” nhỏ nhất khi M = (5:-;]

đ) Giả sử M = œ& ; y) thì MA =(2-x;1-y), MB =(-l-x;-3- y}

Với M(z ; y) thuộc đường thẳng A thì x = —y — 2, do đó :

(2- 3x} +(L-3yƑˆ = (4y + 8Ÿ +(1-3yŸ