Luật số lớn trong xác suất thống kê - 1 potx

Các khái niệm và mối quan hệ giữa các loại hội tụ cơ bản Định nghĩa 1.1.. So sánh giữa hai loại hội tụ , từ nhận xét trên ta có Lưu ý rằng khẳng định ngược lại nói chung không đúng.. Cho

Luật số lớn

1 Các khái niệm và mối quan hệ giữa các loại hội tụ cơ bản

Định nghĩa 1.1 Dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n > 1) được gọi là hội tụ theo xác suất

tới biến ngẫu nhiên X khi n , ký hiệu , nếu với mọi > 0 tuỳ ý

(1)

Định nghĩa 1.2 Dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n > 1) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn

P[w: ] = 1 (2)

Vậy (2) trở thành P(A) = 1 Từ đó, tiêu chuẩn hội tụ hầu chắc chắn có thể phát biểu như sau:

Dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n > 1) hội tụ hầu chắc chắn tới X khi n khi và chỉ khi với > 0 tuỳ ý,

= 0 (3)

hay

0 khi n

So sánh giữa hai loại hội tụ , từ nhận xét trên ta có

Lưu ý rằng khẳng định ngược lại nói chung không đúng Thật vậy

Ví dụ 1.4 Cho (Xn) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối

Với mọi 0< < 1 ta có

Điều này có nghĩa dãy (Xn) không hội tụ h.c.c

Ta có kết quả sau:

Định lí 1.5 Nếu dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n > 1) là đơn điệu tăng (giảm) và

Chứng minh Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết X 0; Xn > 0; Xn và

khi n

Giả sử (Xn) không hội tụ hầu chắc chắn đến X Điều đó có nghĩa là tồn tại > 0

và tập A với P(A) > > 0 sao cho với Î A và với mọi n Vì (Xn) là

dãy giảm khi n tăng nên = Xn Vậy P[Xn > ] > P(A) > > 0 với mọi n

Điều này mâu thuẫn với giả thiết Định lí được chứng minh

với > 0 cho trước thì

0 khi n (4)

Hơn nữa, dãy là đơn điệu giảm và tiến tới 0 theo xác suất khi n

chứng minh

Chứng minh.Ta có

Hệ quả 1.8 Nếu thì tồn tại dãy con {n k } sao cho khi n

Suy ra

< < +

2 Luật yếu số lớn

Định nghĩa 2.1 Dãy biến ngẫu nhiên (X n ) được gọi là tuân theo luật yếu số lớn

nếu với > 0 cho trước tuỳ ý

(5)

Định lí 2.2 (Định lí Trêbưsép)

Nếu dãy biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , , X n độc lập và có phương sai bị chặn bởi cùng mội hằng số C, nghĩa là DX 1 < C, DX 2 < C, , DX n < C, thì dãy (X n ) tuân theo luật yếu số lớn

Để có thể chứng minh được định lý trên, ta cần bất đẳng thức quan trọng sau

Bất đẳng thức 2.3 (bất đẳng thức Trêbưsép)

Giả sử biến ngẫu nhiên X có kì vọng E(X) và phương sai D(X) hữu hạn Khi đó

nên

Ta có

E(X - E(X)) 2 =

Từ đó suy ra

với > 0

0 khi

do X 1 ,…, X n là độc lập và DX i < c; i = 1, 2,…, n.Định lí được chứng minh

Hệ quả 2.4 Nếu X 1 , X 2 , , X n là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, có EX k = a và DX k

Hệ quả 2.5 Gọi k là số lần biến cố A xuất hiện trong dãy n phép thử Bernoulli

Giả sử xác suất để biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử là p Khi đó

Ta có k = X 1 + X 2 + … + X n Do X 1 , X 2 ,…, X n độc lập và có cùng phân phối với

3 Luật mạnh số lớn

Định nghĩa 3.1 Dãy biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , , X n được gọi là tuân theo luật mạnh số lớn nếu

Để có thể chứng minh các kết quả về luật mạnh số lớn, ta có cần các kết quả quan trọng sau

Bổ đề 3.2 (Bổ đề Borel – Cantelli)