PH NG TRÌNH L NG GIÁC
www.mathvn.com
Bài 1 ( H 2002A) Tìm nghi m thu c kho ng (0; 2p ) c a ph ng trình:
x
cos3 sin 3
1 2 sin 2
HD: i u ki n:
12 7 12
ï í
ỵ
PT Û 5 cos x=2 cos 2 x+3 Û cos x 1
2
= Û x
x
3 5 3
p p
é = ê ê
ê = ë
Bài 2 ( H 2002B) Gi i ph ng trình: sin 3 2 x-cos 4 2 x=sin 5 2 x-cos 6 2 x
HD: PT Û cos sin 9 sin 2 x x x=0 Û sin 2 sin 9 x x=0 Û x k
x k
9 2
p p
é
= ê ê
ê = êë
Bài 3 ( H 2002D) Tìm x thu c đo n [0; 14] nghi m đúng ph ng trình:
cos3 x-4 cos 2 x+3 cos x- =4 0
HD: PT Û 4 cos 2 x (cos x-2) 0 = Û cos x=0 Û x ; x 3 ; x 5 ; x 7
Bài 4 ( H 2002A–db1) Cho ph ng trình: x x
a
2 sin cos 1 sin 2 cos 3
=
- + (a là tham s )
1 Gi i ph ng trình khi a 1
3
=
2 Tìm a đ ph ng trình cĩ nghi m
HD: 1) x k
4
2
- £ £ ( a v PT b c 1 đ i v i sinx và cosx)
Bài 5 ( H 2002A–db2) Gi i ph ng trình: x
tan cos cos sin 1 tan tan
2
HD: x=k2p Chú ý: i u ki n: x
x
cos 0 cos 1
x x
x
1
1 tan tan
2 cos
Bài 6 ( H 2002B–db1) Gi i ph ng trình: ( x) x
x
x
2 4
4
2 sin 2 sin 3 tan 1
cos
HD: i u ki n: cosx ¹ 0 PT Û sin 3 x 1 x k 2 ; x 5 k 2
Bài 7 ( H 2002B–db2) Gi i ph ng trình: x x
x
cot 2 5sin 2 2 8sin 2
-
HD: i u ki n: sin2x ¹ 0 PT Û cos 2 2 x 5 cos 2 x 9 0 x k
Bài 8 ( H 2002D–db1) Gi i ph ng trình: x
x 2
1
sin
8 cos =
HD: i u ki n: x
x
cos 0 sin 0
í >
ỵ
Trang 2PT Û x k 2 ; x 3 k 2 ; x 5 k 2 ; x 7 k 2
Bài 9 ( H 2002D–db2) Xác đ nh m đ ph ng trình:
2 sin +cos +cos 4 +2 sin 2 - = 0 (*)
cĩ ít nh t m t nghi m thu c đo n 0;
2
p
ë û
HD: 10 m 2
3
t t = sin2x (*) cĩ nghi m thu c 0;
2
p
2 ( ) 3= -2 = + cĩ nghi 3 m tỴ[0;1]
Bài 10 ( H 2003A) Gi i ph ng trình: x
x 2
cot 1 sin sin 2
HD: i u ki n: sin x¹0, cos x¹0, tan x¹1
PT Û (cos x-sin )(1 sin cos x - x x+sin 2 x ) 0= Û x k
4
Bài 11 ( H 2003B) Gi i ph ng trình: x x x
x
2 cot tan 4 sin 2
sin 2
HD: i u ki n: x
x
sin 0 cos 0
2
2 cos 2 -cos 2 - =1 0 Û x k
3
= ± +
Bài 12 ( H 2003D) Gi i ph ng trình: x x
x
sin tan cos 0
p
HD: i u ki n: cos x¹0
PT Û (1 sin )(1 cos )(sin- x + x x+cos ) 0 x = Û x k
2 4
p p
é = + ê
= - + ê
ë
Bài 13 ( H 2003A–db1) Gi i ph ng trình: x x( 2 x )
cos 2 +cos 2 tan - = 1 2 HD: i u ki n: cosx ¹ 0
PT Û (1 cos )(2 cos+ x 2 x-5 cos x+2) 0= Û x (2 k 1) , x k 2
3
p
Bài 14 ( H 2003A–db2) Gi i ph ng trình: 3 tan- x(tan x+2 sin x)+6 cos x= 0
HD: i u ki n: cosx ¹ 0 PT Û (1 cos 2 )(3 cos x 2 x sin 2 x ) 0 x k
3
Bài 15 ( H 2003B–db1) Gi i ph ng trình: 3 cos 4 x-8 cos 6 x+2 cos 2 x+ =3 0
HD: PT Û cos 2 ( 2 cos x 4 x 5 cos 2 x 3) 0 x k , x k
4 2
Bài 16 ( H 2003B–db2) Gi i ph ng trình:
x x
2
2 3 cos 2 sin
2 4 1
2 cos 1
p
HD: i u ki n: cos x 1
2
¹ PT Û 3 cos x sin x 0 x (2 k 1)
3
Bài 17 ( H 2003D–db1) Gi i ph ng trình: x( x )
x
2 cos cos 1
2(1 sin ) sin cos
p
Trang 3PT Û (1 sin ) (1 cos ) 0 x 2 x x k , x k 2
2
Bài 18 ( H 2003D–db2) Gi i ph ng trình: x
x
2 cos 4 cot tan
sin 2
HD: i u ki n: sin2x ¹ 0 PT Û 2 cos 2 2 x cos 2 x 1 0 x k
3
Bài 19 ( H 2004B) Gi i ph ng trình: 5sin x- =2 3(1 sin ) tan- x 2 x
HD: i u ki n: cos x¹0 PT Û 2 sin 2 x+3sin x- =2 0 Û x k
2 6 5 2 6
é
ê ê
ë
Bài 20 ( H 2004D) Gi i ph ng trình: (2 cos x-1)(2 sin x+cos ) sin 2 x = x-sin x
HD: PT Û (2 cos x-1)(sin x+cos ) 0 x = Û x k
2 3 4
é
= ± + ê
ê
ê = - + ë
Bài 21 ( H 2004A–db1) Gi i ph ng trình: 4 sin( 3 x+cos 3 x)=cos x+3sin x
HD:
Bài 22 ( H 2004A–db2) Gi i ph ng trình: 1 sin- x+ 1 cos- x = 1
HD:
Bài 23 ( H 2004B–db1) Gi i ph ng trình: x
2 2 cos
4 sin cos
p
HD:
Bài 24 ( H 2004B–db2) Gi i ph ng trình: sin 4 sin 7 x x=cos3 cos 6 x x
HD:
Bài 25 ( H 2004D–db1) Gi i ph ng trình: 2 sin cos 2 x x+sin 2 cos x x=sin 4 cos x x
HD:
Bài 26 ( H 2004D–db2) Gi i ph ng trình: sin x+sin 2 x= 3(cos x+cos 2 ) x
HD:
Bài 27 ( H 2005A) Gi i ph ng trình: cos 3 cos 2 2 x x-cos 2 x=0
HD: PT Û 2 cos 4 2 x+cos 4 x- =3 0 Û x k
2
p
Bài 28 ( H 2005B) Gi i ph ng trình: 1 sin+ x+cos x+sin 2 x+cos 2 x=0
HD: PT Û (sin x+cos )(2 cos x x+ =1) 0 Û x k
4 2 2 3
é
= - + ê
ê
ë
Bài 29 ( H 2005D) Gi i ph ng trình: cos 4 x sin 4 x cos x sin 3 x 3 0
HD: PT Û sin 2 2 x+sin 2 x- =2 0 Û x k
4
Bài 30 ( H 2005A–db1) Tìm nghi m trên kho ng (0; p ) c a ph ng trình:
x
4 sin 3 cos 2 1 2 cos
p
Trang 4HD: PT Û cos 2 x cos( x )
6
Bài 31 ( H 2005A–db2) Gi i ph ng trình: 2 2 cos 3 x 3 cos x sin x 0
4
p
HD: PT Û cos 3 x+sin 3 x+3 cos 2 x sin x+3 cos sin x 2 x-3 cos x-sin x=0
Xét 2 tr ng h p:
a) N u cos x=0 thì PT Û x
x x 3
cos 0 sin sin 0
b) N u cos x¹0 thì ta chia 2 v c a PT cho cos 3 x
Khi đĩ: PT Û x
x
cos 0 tan 1
V y: PT cĩ nghi m: x k
2
p p
= + ho c x k
4
p p
Bài 32 ( H 2005B–db1) Gi i ph ng trình :sin cos 2 x x+cos 2 x(tan 2 x- +1) 2 sin 3 x= 0
HD: i u ki n: cos x¹0 PT Û 2 sin 2 x+sin x- =1 0 Û x k
2 6 5 2 6
p p p p
é
ê ê
ë
Bài 33 ( H 2005B–db2) Gi i ph ng trình : x
x
2
2
cos2 1 tan 3 tan
p
HD: i u ki n: cos x¹0 PT Û tan 3 x= -1 Û x k
4
= - +
Bài 34 ( H 2005D–db1) Gi i ph ng trình: x
x
x
2 1 cos
p
HD: i u ki n: sin x¹0 PT Û 2 sin x=1 Û x k
2 6 5 2 6
p p
é
ê ê
ë
Bài 35 ( H 2005D–db2) Gi i ph ng trình: sin 2 x+cos 2 x+3sin x-cos x- =2 0
HD: PT Û (2 sin x-1)(sin x-cos x- =1) 0 Û
x x
1 sin
2
2 sin
4 2
p
ê ê
ë
Û
2 6 5 2 6 2 2 2
é
ê ê
ê ê
ê
ê = + ë
Bài 36 ( H 2006A) Gi i ph ng trình: ( x x) x x
x
2 cos sin sin cos
0
2 2 sin
-=
HD: i u ki n: sin x 2
2
¹ PT Û 3sin 2 2 x+sin 2 x- =4 0 Û x k
4
i chi u đi u ki n, k t lu n PT cĩ nghi m: x 5 2 m
4
p
p
x
Trang 5HD: i u ki n: x
sin 0, cos 0, cos 0
2
PT Û x x
cos sin
4 sin +cos = Û sin 2 x 1
2
12 5 12
ê ê
ë
Bài 38 ( H 2006D) Gi i ph ng trình: cos3 x+cos 2 x-cos x- =1 0
HD: PT Û sin 2 x (2 cos x + = Û 1) 0 x k
x 2 k 2 3
p p p
é = ê
ê ë
Bài 39 ( H 2006A–db1) Gi i ph ng trình: cos3 cos x 3 x sin 3 sin x 3 x 2 3 2
8
+
HD: PT Û cos 4 x 2
2
16 2
Bài 40 ( H 2006A–db2) Gi i ph ng trình: 2 sin 2 x 4 sin x 1 0
6
p
HD: PT Û sin x( 3 cos x+sin x+2)= Û 0 x k
x 7 k 2 6
p p p
é = ê
ê ë
Bài 41 ( H 2006B–db1) Gi i ph ng trình: ( 2 x ) 2 x ( 2 x )
2 sin -1 tan 2 +3 2 cos - = 1 0 HD: i u ki n: cos 2 x¹0 PT Û cos 2 x(tan 2 2 x-3)= Û x 0 k
6 2
Bài 42 ( H 2006B–db2) Gi i ph ng trình: cos 2 x+ +(1 2 cos )(sin x x-cos ) 0 x =
HD: PT Û (sin x-cos )(cos x x-sin x+ =1) 0 Û
4 2 2 2
é
ê ê
ê = + ê
ê = + ë
Bài 43 ( H 2006D–db1) Gi i ph ng trình: cos 3 x+sin 3 x+2 sin 2 x=1
HD: PT Û (cos x+sin )(1 cos )(sin x - x x+ =1) 0 Û
x k
4 2 2 2
p p p
é
= - + ê
ê = ê
ê = - + êë
Bài 44 ( H 2006D–db2) Gi i ph ng trình: 4 sin 3 x+4 sin 2 x+3sin 2 x+6 cos x=0
HD: PT Û (sin x+1)( 2 cos- 2 x+3 cos x+2) 0 = Û x k
2 2 2 2 3
é
= - + ê
ê
ë
Bài 45 ( H 2007A) Gi i ph ng trình: ( 2 x) x ( 2 x) x x
1 sin+ cos + +1 cos sin = +1 sin 2
HD: PT Û (sin x+cos )(1 sin )(1 cos ) 0 x - x - x = Û
x k
4 2 2 2
p
é
= - + ê
ê
ê = + ê
ê = ë
Trang 6
Bài 46 ( H 2007B) Gi i ph ng trình: 2 sin 2 2 x+sin 7 x- =1 sin x
HD: PT Û cos 4 x(2 sin 3 x- =1) 0) Û
8 4 2
18 3
18 3
é
ê ê
ê ê
êë
Bài 47 ( H 2007D) Gi i ph ng trình: x x
x
2 sin cos 3 cos 2
HD: PT Û 1 sin+ x+ 3 cos x=2 Û cos x 1
6 2
p
2 2 2 6
ê ê
ê = - + ë
Bài 48 ( H 2007A–db1) Gi i ph ng trình: x x x
sin 2 sin 2 cot 2
2 sin sin 2
HD: i u ki n sin 2 x¹0 PT Û x( 2 x x )
cos 2 2 cos +cos + = Û x 1 0 k
4 2
Bài 49 ( H 2007A–db2) Gi i ph ng trình:
2
2 cos +2 3 sin cos + =1 3(sin + 3 cos )
HD: PT Û 2 cos 2 x 3 cos x 0
2 3
p p
Bài 50 ( H 2007B–db1) Gi i ph ng trình: 5 3
HD: PT Û cos 3 x 2 cos x 2 0
p
2
3 3 2 2 2
é
ê ê
ê = + ê
ê = + ë
Bài 51 ( H 2007B–db2) Gi i ph ng trình: x x
x x
sin 2 cos 2
tan cot cos + sin = -
HD: i u ki n: sin 2 x¹0 PT Û cos x= -cos 2 x Û x k2
3
p p
Bài 52 ( H 2007D–db1) Gi i ph ng trình: 2 2 sin x cos x 1
12
p
HD: PT Û sin 2 x cos sin 5
12 12 12
Bài 53 ( H 2007D–db2) Gi i ph ng trình: (1 – tan )(1 sin 2 ) 1 tan x + x = + x
HD: i u ki n: cos x¹0 PT Û (cos x+sin )(cos 2 x x- =1) 0 Û x k
x k 4
p
é
= - + ê
ê = ë
Bài 54 ( H 2008A) Gi i ph ng trình: x
x
x
4 sin
sin
2
p p
Trang 7
HD: i u ki n: sin x 0, sin x 3 0
2
p
PT Û x x
x x
1 (sin cos ) 2 2 0
sin cos
4
8 5 8
é
= - + ê
ê
ê = - + ê
êë
Bài 55 ( H 2008B) Gi i ph ng trình: sin 3 x- 3 cos 3 x=sin cos x 2 x- 3 sin 2 x cos x
HD: PT cos2 x(sin x+ 3 cos x)= Û x 0 k ; x k
Bài 56 ( H 2008D) Gi i ph ng trình: 2 sin (1 cos 2 ) sin 2 x + x + x= +1 2 cos x
HD: PT Û (2 cos x+1)(sin 2 x- =1) 0 Û x 2 k 2 ; x k
Bài 57 ( H 2008A–db1) Tìm nghi m trên kho ng (0; p ) c a ph ng trình:
x
4 sin 3 cos 2 1 2 cos
p
HD: PT Û -2 cos x= 3 cos 2 x-sin 2 x Û cos 2 x cos( x)
6
Û x 5 k 2 hay x 7 h 2
Do x (0; )Ỵ p nên ch ch n x 5 ; x 17 ; x 5
Bài 58 ( H 2008A–db2) Gi i ph ng trình: 2 2 cos 3 x 3 cos x sin x 0
4
p
HD: PT Û cos 3 x+sin 3 x+3 cos 2 x sin x+3 cos sin x 2 x-3 cos x-sin x=0
Xét 2 tr ng h p:
a) N u cos x=0 thì PT Û x
x x 3
cos 0 sin sin 0
b) N u cos x¹0 thì ta chia 2 v c a PT cho cos 3 x
Khi đĩ: PT Û x
x
cos 0 tan 1
p p
V y: PT cĩ nghi m: x k
2
p p
= + ho c x k
4
p p
Bài 59 ( H 2008B–db1) Gi i ph ng trình: sin cos 2 x x+cos 2 x(tan 2 x- +1) 2 sin 3 x= 0 HD: i u ki n: cos 0
2
x¹ Û ¹x p +k p
PT Û 2 sin 2 x+sin x- =1 0 Û x k 2 ; x 5 k 2
Bài 60 ( H 2008B–db2) Gi i ph ng trình: x
x
2
2
cos2 1 tan 3 tan
p
HD: i u ki n: cos x¹0 PT Û tan 3 x= -1 Û x k
4
= - +
Trang 8Bài 61 ( H 2008D–db1) Gi i ph ng trình: x
x
x
2 1 cos
p
HD: i u ki n: sin x¹0 PT Û (cos x+1)(2 sin x- =1) 0 Û x k
2 6 5 2 6
é
ê ê
ë
Bài 62 ( H 2008D–db2) Gi i ph ng trình: sin 2 x+cos 2 x+3sin x-cos x- =2 0
HD: PT Û (2 sin x-1)(sin x-cos x- =1) 0 Û
x x
1 sin
2
2 sin
4 2
p
é
= ê ê
ë
Bài 63 ( H 2009A) Gi i ph ng trình: x x
(1 2 sin ) cos
3 (1 2 sin )(1 sin )
HD: i u ki n: sin x 1, sin x 1
2
PT Û cos x- 3 sin x=sin 2 x+ 3 cos 2 x Û cos x cos 2 x
Û x k 2
18 3
Bài 64 ( H 2009B) Gi i ph ng trình: sin x+cos sin 2 x x+ 3 cos3 x=2 cos 4( x+sin 3 x)
HD: PT Û sin 3 x+ 3 cos3 x=2 cos 4 x Û cos 3 x cos 4 x
6
p
2 6 2
42 7
é = - + ê
ê
ë
Bài 65 ( H 2009D) Gi i ph ng trình: 3 cos 5 x-2 sin 3 cos 2 x x-sin x=0
HD: PT Û 3 cos 5 x 1 sin 5 x sin x
2 -2 = Û sin 5 x sin x
3
p
18 3
6 2
é
ê ê
ê = - + ë
Bài 66 ( H 2010A) Gi i ph ng trình:
x x
(1 sin cos 2 )sin
1
4 cos
p
+
HD: i u ki n: cos x¹0; 1 tan+ x¹0
PT Û sin x+cos 2 x=0 Û x k 2 ; x 7 k 2
Bài 67 ( H 2010B) Gi i ph ng trình: (sin 2 x+cos 2 ) cos x x+2 cos 2 x-sin x=0
HD: PT Û (sin x+cos x+2) cos 2 x=0 Û x k
4 2
Bài 68 ( H 2010D) Gi i ph ng trình: sin 2 x-cos 2 x+3sin x-cos x- =1 0
HD: PT Û (2 sin x-1)(cos x+sin x+2) 0= Û x k 2 ; x 5 k 2