TUYỂN TẬP CÁC BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH HAY

Mở đầu chủ đề: Chào các bạn hôm nay chúng ta cùng quay lại chủ đề quen thuộc đó là hpt+pt nó gần như là chủ đề không thể thiếu trong các kì thi hsg quốc gia +thành phố+tình+… và hôm nay chúng ta cùng quay lại với nó những bài hệ hay +những ý tưởng quen tthuộc qua các năm nha Mở đầu chủ đề: Chào các bạn hôm nay chúng ta cùng quay lại chủ đề quen thuộc đó là hpt+pt nó gần như là chủ đề không thể thiếu trong các kì thi hsg quốc gia +thành phố+tình+… và hôm nay chúng ta cùng quay lại với nó những bài hệ hay +những ý tưởng quen tthuộc qua các năm nha Mở đầu chủ đề: Chào các bạn hôm nay chúng ta cùng quay lại chủ đề quen thuộc đó là hpt+pt nó gần như là chủ đề không thể thiếu trong các kì thi hsg quốc gia +thành phố+tình+… và hôm nay chúng ta cùng quay lại với nó những bài hệ hay +những ý tưởng quen tthuộc qua các năm nha

𝑇𝑈𝑌Ể𝑁 𝑇Ậ𝑃 𝐶Á𝐶 𝐵À𝐼 𝐻𝑃𝑇 + 𝑃𝑇 𝐻𝐴𝑌

Mở đầu chủ đề: Chào các bạn hôm nay chúng ta cùng quay lại chủ đề quen thuộc đó là hpt+pt nó gần như

là chủ đề không thể thiếu trong các kì thi hsg quốc gia +thành phố+tình+… và hôm nay chúng ta cùng quay lại với nó những bài hệ hay +những ý tưởng quen tthuộc qua các năm nha ^^!

𝑏′ = 1

9𝑥2− 18𝑥 + 9 = [4√𝑥 + 3 − (𝑥 + 7)] + [6𝑥√𝑥 + 8 − (19𝑥 − 1)]

2 (𝑛ℎậ𝑛)

𝑥é𝑡 𝑚 = 2 𝑣ậ𝑦 𝑡ℎì 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑡ì𝑚 đượ𝑐 𝑥 = −√3

2

𝑣ậ𝑦: 𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑥 = ±√3

2

Lời bình:theo như cách này là 1 cách cực kì mạnh ở pt vô tỷ kể cả denta xấu hay đẹp nhưng có 1 trở ngại lớn là cực kì dài và vô cùng khó kiểm soát ở các bước theo denta theo(m,x) và denta theo (m) bởi vì chúng ta còn phải tìm chính xác m thật sự bằng bao nhiêu bằng cách hoocne

đặ𝑡 𝑡2 = 𝑥2+ 2(đ𝑘 𝑡 ≥ 0) => 𝑥2 = 𝑡2− 2 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡 𝑡𝑟ê𝑛:

(𝑡2− 2) + 3𝑥 − 1 − (2 + 𝑥)𝑡 = 0 => 𝑡2− (2 + 𝑥)𝑡 + 3𝑥 − 3 = 0

𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎(𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑥) = (2 + 𝑥)2− 4(3𝑥 − 3) = 4 + 4𝑥 + 𝑥2− 12𝑥 + 12 =(𝑥 − 4)2 ≥ 0

17 (? ? ? đế𝑛 đâ𝑦 𝑡𝑎 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ℎể đư𝑎 𝑣ề 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 đượ𝑐 𝑟ồ𝑖 ‼!)

𝑣ậ𝑦 𝑡ℎì 𝑏â𝑦 𝑔𝑖ờ 𝑡𝑎 𝑝ℎả𝑖 đặ𝑡 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑚 𝑡𝑟ướ𝑐 ẩ𝑛 𝑔𝑖ố𝑛𝑔 𝑛ℎư 𝑏à𝑖 6

𝑣ấ𝑛 đề đặ𝑡 𝑟𝑎 𝑏â𝑦 𝑔𝑖ờ 𝑙à 𝑝ℎả𝑖 𝑡ì𝑚 𝑚 ? ? ? 𝑂𝐾 𝑐ℎ𝑖ế𝑛 𝑡ℎô𝑖

𝑛ℎâ𝑛 1 𝑙ượ𝑛𝑔 𝑚 ≠ 0 𝑣à𝑜 2 𝑣ế => 𝑚𝑡2− 𝑚𝑥2− 2𝑚 = 0

𝑡𝑎 đượ𝑐 ℎệ: { 𝑚𝑡2− 𝑚𝑥2− 2𝑚 = 0

(𝑥 − 1)𝑡 − 𝑥2+ 𝑥 + 2 + 𝑚𝑡2 − 𝑚𝑥2− 2𝑚 = 0(∗∗) (∗∗): 𝑚𝑡2+ (𝑥 − 1)𝑡 − 𝑥2+ 𝑥 + 2 − 𝑚𝑥2− 2𝑚 = 0

𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎(𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑚, 𝑥) = 𝑥2− 2𝑥 + 1 − 4𝑚(−𝑥2+ 𝑥 + 2 − 𝑚𝑥2− 2𝑚) 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎(𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑚, 𝑥) = 𝑥2− 2𝑥 + 1 + 4𝑚𝑥2 − 4𝑚𝑥 − 8𝑚 + 4𝑚2𝑥2+ 8𝑚2 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎(𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑚, 𝑥) = 𝑥2(1 + 4𝑚 + 4𝑚2) + 𝑥(−2 − 4𝑚) + 1 − 8𝑚 + 8𝑚2 𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 = 0 => 𝑡𝑖ế𝑝 𝑡ụ𝑐 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎 (𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑚)

4 − 4𝑥 + 𝑥2− 4𝑚𝑥 + 4𝑚2𝑥2− 4𝑚2 = 0 => 𝑥2(1 + 4𝑚2) + 𝑥(−4𝑚 − 4) +

4 − 4𝑚2 = 0

𝑑𝑒𝑛𝑡𝑎(𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑚) = (−4𝑚 − 4)2− 4(1 + 4𝑚2)(4 − 4𝑚2) = 0 => 𝑚 = −1

𝑎 = 1

𝑏 = 3 ℎ𝑎𝑦 {

𝑎 = 3

𝑏 = 1 𝑣ớ𝑖 {𝑎 = 1

𝑏 = 3 => 𝑥 = 1 (𝑡ℎõ𝑎 𝑚ã𝑛 đ𝑖ề𝑢 𝑘𝑖ệ𝑛 (∗))

24 + 9𝑎′+ 𝑏′ = 0 => {

𝑎′ = −2

𝑏′ = −6 √82 − 𝑥2− (10 − 𝑥) + 8√𝑥 − (2𝑥 + 6) = 0

√82−𝑥 2 +10−𝑥+ −2

4√𝑥+𝑥+3=0(𝑝𝑡 𝑛à𝑦 𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑑𝑜 𝑉𝑇 > 𝑉𝑃)

Bây giờ ta chỉ để ý 2 nghiệm vô tỷ thôi, lưu 2 nghiệm lần lượt vào A,B

Theo viet ta có được nhân tử là:{ 𝐴 𝐵 = 1

𝑥4(2018 + √𝑥2 + 2018) + (√𝑥2+ 2018 − 2018)(√𝑥2+ 2018 + 2018) = 0 𝑣ậ𝑦 2018 + √𝑥2+ 2018 = 0 (𝑙𝑜ạ𝑖)ℎ𝑎𝑦 𝑥4− 2018 + √𝑥2+ 2018 = 0

= √3𝑥 + √6𝑥(2𝑥2− 5) − 9𝑥2 2𝑥2−5−3𝑥

(đề thi tuyển sinh 10 chuyên Bắc Giang năm 2017-2018)

đặ𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝑥 => √1 − cos2𝑡 (16 cos4𝑡 − 12 cos2𝑡 + 1) = 4 cos3𝑡 − 3𝑐𝑜𝑠𝑡

𝑡𝑎 đư𝑎 𝑣ề 𝑔𝑖ả𝑖 𝑝𝑡𝑙𝑔 𝑏ì𝑛ℎ 𝑡ℎườ𝑛𝑔: |𝑠𝑖𝑛𝑡|(4cost cos3t + 1) = cos3t

(đề thi hsg lớp 12 tỉnh Bình Dương năm 2017-2018)

𝒈𝒊ả𝒊

𝑎) đ𝑘: { 𝑦 ≥ −1

2𝑦2 + 7𝑦 + 6 ≥ 0=> 𝑦 ≥ −1

để ý 𝑝𝑡(2): 3√4(𝑥 + 2)(𝑥 + 3)3 + 2√(2𝑦 + 3)(𝑦 + 2) = 3(𝑥 + 𝑦) + 14 𝑡ℎ𝑒𝑜 𝑏ấ𝑡 đẳ𝑛𝑔 𝑡ℎứ𝑐 𝑐𝑎𝑢𝑐ℎ𝑦: {3√2(2𝑥 + 4)(𝑥 + 3)

3

≤ 3𝑥 + 92√(2𝑦 + 3)(𝑦 + 2) ≤ 3𝑦 + 5 𝑣ậ𝑦 𝑉𝑇 ≤ 𝑉𝑃 𝑑ấ𝑢 𝑏ằ𝑛𝑔 𝑥ả𝑦 𝑟𝑎 𝑘ℎ𝑖: {2 = 2𝑥 + 4 = 𝑥 + 32𝑦 + 3 = 𝑦 + 2 => 𝑥 = 𝑦 = −1 𝑡ℎế 𝑥 = 𝑦 = −1 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(2) 𝑡ℎì 𝑡ℎấ𝑦 𝑡ℎõ𝑎

𝑣ậ𝑦: ℎ𝑝𝑡 𝑎) 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 (−1, −1)

2 − 𝑎′ + 𝑏′ = 0 => {

𝑎′ = −1

𝑏′ = −3 [4√𝑥 + 1 − (2𝑥 + 2)] + [2√2𝑥 + 3 − (𝑥 + 3)] = 𝑥3− 𝑥2− 5𝑥 − 3

𝑏à𝑖 23𝑎)√7𝑥 + 13 − √𝑥3 2− 𝑥 − 8+ √𝑥3 2− 8𝑥 − 1 = 2

𝑏){

−3(√7𝑥 + 13 )2√𝑥3 2− 𝑥 − 8+ 3√7𝑥 + 13 (√𝑥3 2− 𝑥 − 8)2

= −12√𝑥3 2− 8𝑥 − 1+ 6 (√𝑥3 2− 8𝑥 − 1)2(∗∗) 𝑙ấ𝑦 (∗)𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(∗∗): −3√(7𝑥 + 1)(𝑥3 2− 𝑥 − 8)(2 − √𝑥3 2− 8𝑥 − 1) =

(đề của 1 bạn trên gr “học toán cùng thầy Hồng Trí Quang”)

𝑣ớ𝑖 𝑥2+ 𝑦2− 2 = 0 𝑡𝑎 𝑐ó ℎệ 𝑠𝑎𝑢: { 𝑥

2+ 𝑦2 − 2 = 05𝑦𝑥2+ 𝑥(−4𝑦2− 2) + 3𝑦3− 2𝑦 = 0 đặ𝑡 𝑡 = 𝑥2 => { 𝑡 = 2 − 𝑦

2

5𝑦(2 − 𝑦2) + 𝑥(−4𝑦2− 2) + 3𝑦3− 2𝑦 = 0 𝑥(−4𝑦2− 2) + 8𝑦 − 2𝑦3 = 0 => 𝑥 = 2𝑦3−8𝑦

−4𝑦 2 −2

2+4𝑦 =𝑦+4

1+2𝑦

𝑣ớ𝑖 𝑥 = 2 − 𝑦 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(2): { 𝑥 = 2 − 𝑦

𝑥2+ 𝑦2− 2𝑥 + 2𝑦 − 2 = 0 (2 − 𝑦)2 + 𝑦2− 2(2 − 𝑦) + 2𝑦 − 2 = 0 => 𝑦 = ±1

𝑔𝑖ả𝑖

đ𝑘: { 1 − 𝑥2 ≥ 0

1 − 𝑥2+ 2𝑥√1 − 𝑥2+ 𝑥2 ≥ 0 => {

−1 ≤ 𝑥 ≤ 1(√1 − 𝑥2+ 𝑥)2 ≥ 0(𝑙𝑢ô𝑛 đú𝑛𝑔) √(√1−𝑥

=> 𝑦 = −2, 𝑦 = 2 ± √10

𝑣ậ𝑦: ℎ𝑝𝑡 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 (−4 ∓ √10, 2 ± √10); (1, −2)

Lời bình: thật ra bài này khá nhiều cách giải chẳng hạn như UCT,đặt v,x=k.y,… hì hì có người nói cách của tôi hơi lầy nhưng nếu bắt tìm nghiệm ảo thì cách này thắng ^^!!! Mà công nhận lầy thật

𝑏à𝑖 30: { 𝑥

2− 𝑥(6𝑦 + 4) − 𝑦2+ 4√𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦) + 2 = 0(1)7𝑥4− 28𝑥3+ 42𝑥2− 25𝑥 + 3𝑦 − 6√𝑥𝑦 + 7 = 0(2)

(tự chế ) 𝑔𝑖ả𝑖 đ𝑘: 𝑥𝑦 ≥ 0

14(𝑥 − 1)6+ 3(√𝑥 − √𝑦)6 = 0 => { 𝑥 − 1 = 0

√𝑥 − √𝑦 = 0 => 𝑥 = 𝑦 = 1 𝑣ậ𝑦: ℎ𝑝𝑡 𝑡𝑟ê𝑛 𝑐ó 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 (1,1)

𝑣ớ𝑖 𝑥 = 𝑦 => 3𝑥2 = 1 => 𝑥 = 𝑦 = ±√1

3

𝑣ớ𝑖 { 𝑥

2 + 𝑦2+ 𝑥𝑦 = 12𝑥3(𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2) = 𝑥 − 𝑦 => {

𝑥2+ 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 1(1)2𝑥3 = 𝑥 − 𝑦(∗) 𝑙ấ𝑦 𝑝𝑡(∗)𝑡ℎế 𝑝𝑡(1): {𝑥

𝑣ớ𝑖 𝑥 + 3 + √𝑥2− 3 = 0 => 𝑝𝑡𝑣𝑛

𝑣ớ𝑖 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(1): (3 − 𝑦)2+ 4𝑦 − 13 − 𝑦√(3 − 𝑦)2+ 𝑦 − 4 =

0

2+ (𝑥3 − 𝑦)2 = 2

√4 − (𝑥2𝑦 − 1)2 = 2

𝑦3 = √𝑥 + 63 + 6(2)

(đề của anh Phạm Quốc Sang)

𝑔𝑖ả𝑖 đ𝑘: 𝑥 ≠ 0, 𝑦 ≠ 0, 𝑥 + 𝑦 ≠ 0

𝑝𝑡(1):𝑥2

𝑦 − 𝑦 +𝑦2

𝑥 − 𝑥 = (𝑥−𝑦)2

4(𝑥+𝑦) (𝑥−𝑦)(𝑥+𝑦)

Đặ𝑡 𝑡3 = 𝑥 + 6 => {𝑡3 = 𝑥 + 6

𝑥3 = 𝑡 + 6 => (𝑡 − 𝑥)(𝑡

2+ 𝑥𝑡 + 𝑥2) = −(𝑡 − 𝑥) 𝑣ậ𝑦 𝑡 = 𝑥 ℎ𝑎𝑦 𝑡2+ 𝑥𝑡 + 𝑥2 = −1(𝑝𝑡𝑣𝑛)

√𝑥−

12√𝑦 = 2(𝑦

2− 𝑥2)(2)

(đề thi chọn đt hsg lớp 9 lần 6 của THPT chuyên Amsterdam năm 2017-2018)

𝑔𝑖ả𝑖 Đây là một bài toán khó đòi hỏi phải nhận ra sự khéo léo+ phải biết ý tưởng của người ra đề

Tôi xin trình bày cách giải của 1 thánh có tên facebook “Hung An”

(𝑎 + 𝑏)5 = 3 => 𝑎 + 𝑏 = √35

𝑛ế𝑢 (∗) − (∗∗) 𝑡𝑎 đượ𝑐: (𝑎5− 5𝑎4𝑏 + 10𝑎3𝑏2− 10𝑎2𝑏3+ 5𝑎𝑏4− 𝑏5) =(𝑎 − 𝑏)5 = 1 => 𝑎 − 𝑏 = 1

𝐶á𝑐ℎ 2: 𝑐ũ𝑛𝑔 để ý 𝑝𝑡(2):

đặ𝑡 𝑎 = √𝑥, 𝑏 = √3𝑦 => 𝑎2 = 𝑥, 𝑏2 = 3𝑦(đ𝑘 𝑎, 𝑏 ≥ 0)

𝑝𝑡(2)𝑡𝑟ở 𝑡ℎà𝑛ℎ: 𝑎 + 𝑏 = √8(𝑎4 4+ 𝑏4)

𝑥é𝑡 𝑎 = 0 𝑡𝑎 𝑡ℎấ𝑦 𝑛ó 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑝ℎả𝑖 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑐ủ𝑎 𝑝𝑡

𝑣ậ𝑦 𝑐ℎ𝑖𝑎 2 𝑣ế 𝑐ℎ𝑜 𝑎 ≠ 0 => 1 +𝑏

𝑎 = √8 (1 +𝑏4

𝑎 4)4

[(√𝑥3 )2− 2√𝑥3 + 1] − (√𝑥 − 7)3− 3(√𝑥 − 7) − 3(𝑥 − 7) − 1 + 7 = 0 [√𝑥3 − 1]2− [√𝑥 − 7 + 1]3+ 7 = 0

đặ𝑡 𝑎 = √𝑥3 − 1 => (𝑎 + 1)3 = 𝑥 𝑣à (𝑏 − 1)2+ 7 = 𝑥(đ𝑘 𝑏 ≥ 1) 𝑣ậ𝑦 (𝑎 + 1)3 = (𝑏 − 1)2+ 7

=> (𝑎 + 1 − 𝑏)[(𝑎 + 1)2 + (𝑎 + 1)𝑏 + 𝑏2] = (𝑏 − 1 − 𝑎)(𝑏 − 1 + 𝑎) => (𝑎 + 1 − 𝑏)[(𝑎 + 1)2 + (𝑎 + 1)𝑏 + 𝑏2] = −(𝑏 − 1 + 𝑎)(𝑎 + 1 − 𝑏) 𝑣ậ𝑦 𝑎 + 1 − 𝑏 = 0 ℎ𝑎𝑦(𝑎 + 1)2+ (𝑎 + 1)𝑏 + 𝑏2 = −(𝑏 − 1 + 𝑎)

> 𝑝𝑡 𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚 𝑑𝑜 {𝑦 ≥ −

1 2

7 3

𝑥 ≤ 2

𝑏à𝑖 44: {𝑥

2+ 𝑦2+ 2𝑥𝑦

𝑥 + 𝑦 = 1(1)

√𝑥 + 𝑦 = 𝑥2− 𝑦(2)(đề của bạn Nguyễn Thu Thủy)

(đề thi TS lớp 10 chuyên Phan Bội Châu năm 2017-2018, Nghệ An)

𝑔𝑖ả𝑖

𝑎)đ𝑘: { 𝑥 ≥ 4

𝑥 ≥ −4=> 𝑥 ≥ 4

7(√𝑥 − 4 − 2√𝑥 + 4) + 3𝑥 + 20 = 0

√𝑥−4+2√𝑥+4+ 3𝑥 + 20 = 0 => 𝑥 = −20

3 (𝑙𝑜ạ𝑖) ℎ𝑎𝑦 − 7

√𝑥−4+2√𝑥+4 = −1 𝑣ớ𝑖 7 = √𝑥 − 4 + 2√𝑥 + 4 => 37 − 5𝑥 = 4√𝑥2 − 16

(𝑦 − 𝑥)(7𝑥2+ 4𝑥𝑦 + 𝑦2) + (𝑦 − 𝑥) = 0

𝑣ậ𝑦 𝑦 = 𝑥 ℎ𝑎𝑦 7𝑥2+ 4𝑥𝑦 + 𝑦2 = −1

𝑣ớ𝑖 𝑦 = 𝑥 𝑡ℎế 𝑣à𝑜 𝑝𝑡(1): 2𝑥3 = 2 => 𝑥 = 𝑦 = 1

2

Lời giải của bạn Hoàng Trọng Vũ:

Nói thật bài này là bài rất thiên về đánh giá mà người đánh giá lại là 2 người “đẹp trai” nữa ^^!!!!! Qúa đẹp+quá tuyệt vời !!!! Xin cảm ơn 2 người đã làm cho bài viết của tôi thêm thú vị !!!!

(𝑥2+1)(1−9𝑥)

√1−8𝑥+√𝑥 = −4√𝑥(9𝑥 − 1) => [ 𝑥=

1 9 𝑥2+1

√1−8𝑥+√𝑥 =4√𝑥

𝑥2+1

√1−8𝑥+√𝑥 = 4√𝑥 => 𝑥2+ 1 = 4√𝑥√1 − 8𝑥 + 4𝑥

(1 − 8𝑥) − 4√𝑥√1 − 8𝑥 + 4𝑥 + 𝑥2 = 0 => (√1 − 8𝑥 + 2√𝑥)2+ 𝑥2 = 0 {(√1 − 8𝑥 + 2√𝑥)

(đề của 1 bạn gửi mess cho mình ^^!)

𝑔𝑖ả𝑖 đ𝑘: 𝑥 ≥ −1