Tổng quan về mô hình Randall-Sundrum pot

Tổng quan về mô hình Randall-SundrumVõ Quốc Phong Ngày 14/10/2009 Mục lục 2 Dạng tác dụng và metric của mô hình RSI và RSII 4 3 Phương trình trường hấp dẫn 5D 5 3.1 Phương trình trường h

Tổng quan về mô hình Randall-Sundrum

Võ Quốc Phong Ngày 14/10/2009

Mục lục

2 Dạng tác dụng và metric của mô hình RSI và RSII 4

3 Phương trình trường hấp dẫn 5D 5

3.1 Phương trình trường hấp dẫn 5

3.2 Giải phương trình Einstein 9

4 Hệ thống thứ bậc và vấn đề về hằng số vũ trụ 16 5 Hấp dẫn 4D trên Brane trong không gian Bulk 5D 19 6 Năng-xung lượng trong mô hình Randall-Sundrum 22 7 Lạm phát trong mô hình Randall-Sundrum 24 8 Giãn nở tăng tốc trong RS 30 9 Shortcut của hấp dẫn trong không-thời gian 5 chiều của mô hình RS 34 9.1 Metric trong Bulk của mô hình Randall-Sundrum: 34

9.2 Metric trong Brane của mô hình Randall-Sundrum 35

9.3 Chân trời điện từ 35

9.4 Chân trời hấp dẫn trong mô hình RS 35

9.5 Nếu ta sử dung metric tĩnh thì sẽ không có shortcut 38

10 Vi phạm bất biến Lorentz trong mô hình RS 40

11 Những vấn đề thực nghiệm 44

1 Mở đầu

Từ những năm cuối thế kỉ 20 đến nay, hiện tượng vũ trụ giãn nở tăng tốc luôn

là hiện tượng thúc đẩy vũ trụ học cũng như vật lý học phát triển những mô hình lýthuyết phù hợp để giải thích Hiện tại, hiện tượng này được lột tả bằng nhiều mô hìnhcũng như dữ liệu thực nghiệm, tuy có những thành công rất đáng kể nhưng chưa có

mô hình nào đạt được lời giải thích triệt để Chúng tôi thấy có hai hướng tiếp cậnchính để giải thích hiện tượng này Một là, hướng tiếp cận không dùng extra dimension(chiều ngoại phụ) như các mô hình trường vô hướng (quintessence, K-essence, ), vàhướng thêm vào bằng tay một hằng số vũ trụ bé trong hình thức hấp dẫn Einstein4D để gây ra sự giãn nở và chấp nhận fine-tuning Hai là, các mô hình sử dụng chiềungoại phụ gọi là các mô hình Braneworld, hướng này có điểm lợi thế là cho thấy vũtrụ tự giãn nở không như lý thuyết về hằng số vũ trụ Trong quá trình tìm hiểu rõ hơn

về vũ trụ để giải thích cho sự giãn nở tăng tốc, chúng ta phải đối mặt với những vấn đề:

• Vấn đề hằng số vũ trụ: Năng lượng chân không quá nhỏ so với kết quả tính toáncủa vật lý hạt cơ bản ( khoảng 120 bậc về độ lớn)

• Vấn đề trùng hợp ngẫu nhiên: Hiện tại, mật độ năng lượng tối (ρΛ) cùng bậc vớimật độ vật chất (ρm) và sẽ vượt trội hoàn toàn trong tương lai

• Vấn đề về hệ thống thứ bậc: Tồn tại ít nhất 2 thang năng lượng cơ bản trong tựnhiên - Thang điện yếu mEW = 103GeV và thang Planck Mpl = G−1/2N = 1018GeV

- Tỉ số giữa thang điện yếu và khối lượng Planck quá nhỏ mEW/M pl ∼ 10−16.Các mô hình lý thuyết Braneworld là những mô hình đang rất được chú ý Hầu hếtcác mô hình Braneworld đều lấy ý tưởng chính từ lý thuyết nhiều chiều của Kaluza-Klein, và gọi không-thời gian (3+1) chiều của chúng ta là Brane, không thời gian nhiềuchiều hơn là Bulk, tức là vũ trụ của chúng ta hành xử như một siêu mặt trong mộtkhông thời gian nhiều chiều hơn Theo tinh thần của các mô hình Braneworld thì vậtchất bị cầm tù trong Brane, riêng hấp dẫn có thể thoát ra khỏi Brane và truyền đượctrong Bulk Tính chất rò rỉ của hấp dẫn là một hệ quả của viêc nguồn hấp dẫn (vậtchất) chỉ tồn tại hạn chế trong Brane, đồng thời là một tính chất khơi nguồn cho cácvấn đề như vi phạm bất biến Lorentz, hay vấn đề về shortcut, và trọng yếu là gây ra

sự giản nỡ tăng tốc của vũ trụ

Hiện tại, chúng tôi phân chia các mô hình Braneworld theo các tính chất của chiềungoại phụ (extra dimension) là: tính compact, tính flat hay tính warp Chúng tôi thấyrằng các mô hình Braneworld hiện tại chỉ có (4+1) hay (5+1) chiều tức là chỉ có 1 hay 2chiều ngoại phụ, và theo tiêu chí trên, tạm thời chia thành những mô hình Braneworldnhư sau:

+Mô hình Braneworld phẳng (flat) và chiều ngoại phụ compact như mô hình ADD.

+Mô hình Braneworld có hệ số warp và chiều ngoại phụ compact như mô hình RSI

+Mô hình Braneworld có hệ số warp và chiều ngoại phụ noncompact, đơn cử như

mô hình DGP, RSII

Mô hình Braneworld Randall-Sundrum (RS)[3, 4] khảo sát không-thời gian 5 chiềuđược làm đầy bởi hằng số vũ trụ âm Tùy vào đặc điểm của chiều thứ 5 compact hay

vô hạn mà mô hình này được chia thành hai loại: Mô hình RSI và mô hình RSII

Mô hình RSI[3] đưa ra cách giải quyết vấn đề về hệ thống thứ bậc Trong mô hìnhnày, chiều thứ 5 thêm vào compact trên Orbifold S1/Z2 bán kính R Hai Brane 3 chiềuđược đặt tại các điểm cố định φ = 0 và φ = π Brane ở φ = 0 là Brane ẩn hayBrane Planck năng lượng cao Brane ở φ = π là Brane quan sát được hay Brane TeVnăng lượng thấp Áp suất trên hai Brane lần lượt là σ và −σ với σ là một hằng số dương

Mô hình RSII[4] khảo sát cách khôi phục lại hấp dẫn 4 chiều trên Brane gắn trongkhông-thời gian Bulk 5 chiều Trong mô hình này, chiều thêm vào được mở rộng tới

vô hạn, tức là Brane có áp suất âm trong RSI bị dịch chuyển ra vô hạn Còn lại mộtBrane, vì vậy, mô hình RSII được gọi là mô hình RS một Brane, trong khi mô hìnhRSI được gọi là mô hình RS 2 Brane

Đối với mô hình RS, thực chất ngụ ý hai tiên đề Một là, tiên đề về hàm tác dụngtrong 5 chiều Hai là tiên đề về dạng tổng quát của metric như chúng ta sẽ thấy trongmục 1 dưới đây

Thông qua mô hình RS, các vấn đề như giải phương trình trường hấp dẫn 5 chiều,vấn đề hằng số vũ trụ, vấn đề về lạm phát vũ trụ học và giãn nở tăng tốc của vũ trụ

đã được khảo sát và giải thích Chúng ta sẽ lần lượt xem xét chúng

Hai yếu tố cơ bản nhất để khảo sát mọi hiện tượng học của động lực hoc vũ trụ làtác dụng và metric Tác dụng mô tả trường hấp dẫn lẫn nguồn sinh ra hấp dẫn, metric

là phản ánh của trường hấp dẫn lên không-thời gian Một mô hình về vũ trụ học cầnphải có hai yếu tố tiên quyết trên Vì vậy, việc khảo sát mô hình RS, cần phải hiệu tốttác dụng của mô hình này Sau đây là phần tóm tắt lại những vấn đề cơ bản nhất củatác dụng và metric của mô hình RS

2 Dạng tác dụng và metric của mô hình RSI và RSII

Năm 1999, Raman Sundrum và Lisa Randall đã đưa ra một mô hình 5 chiều theo

xu thế Braneworld nhằm giải quyết bài toàn thứ bậc với chiều thứ 5 compact, mô hìnhnày được gọi là mô hình RSI Và về sau mô hình này được cải tiến thành mô hình RSIIkhi cho chiều thứ 5 nocompact Các tác dụng mà hai tác giả này đưa ra có dạng sơkhai như sau:

S = Sgravity+ Svis+ Shid,

-Sgravity : hàm tác dụng của trường hấp dẫn

-Svis : hàm tác dụng trong Brane mà ta có thể quan sát được

-Shid : hàm tác dụng trong Brane mà ta không thể quan sát được

Có một nhận xét nhỏ là tác dụng trên thực chất là một mở rộng với của tác dụngHilbert-Einstein 4 chiều trong lý thuyết của tương đối rộng của Einstein M là khốilượng Planck 5 chiều, Λ là hằng số vũ trụ 5 chiều Chúng ta dùng nguyên lý tác dụngtối thiểu áp lên tác dụng trên chúng ta sẽ dẫn ra được phương trình hấp dẫn 5 chiềutương tự như hệ phương trình Einstein trong lý thuyết tương đối rộng Trong mô hình

RS, metric có dạng như sau:

ds2 = e−2σ(φ)ηµνdxµdxν+ r2cdφ2 (2.2)Ứng dụng metric trên chúng ta sẽ giải được phương trình trường 5 chiều sẽ tìmđược dạng cụ thể của metric hay cho ta biết được dạng cụ thể của không-thời gian

Tuy nhiên, metric trong biểu thức bình phương khoảng (2.2) này được hai tácgiả đưa ra đầu tiên thể hiện mô hình vũ trụ tĩnh không mô tả được sự giãn nỡ của

vũ trụ, mà hai tác giả chỉ nhằm mục đích giải quyết bài toán vi phạm thứ bậc nhưtrình bày trong mục 4 Về sau, có những tác giả khác chỉ chấp nhận tiên đề thứ nhất

về tác dụng của mô hình RS, nhưng cho metric phụ thuộc vào thời gian để khảo sát

hiện tượng giãn nở, hay vấn đề về shortcut như được chúng tôi trình bày trong mục 8, 9.

Trong mục này, chúng tôi sẽ dẫn ra phương trình trường hấp dẫn 5 chiều và giải

cụ thể chúng

Lấy biến phân của hàm tác dụng S:

δS = δSgravity+ δSvis+ δShid (3.1)

Với giả thuyết trường hấp dẫn hữu hạn ở các điểm tới hạn ta có:

I

F

dF√

−GwC = 0 (3.7)Thế (3.7) vào (3.5) và (3.6) ta được:

RAB− 1

2GABR

+Λ

2GAB



δGAB√

−G.(3.9)





(3.13)

Tương tự, chúng tôi thu được:

−ggµνδgµνThế các phương trình (3.9), (3.11), (3.14) vào phương trình (3.1) ta được:

δS =δSgravity+ δSvis+ δShid

−gvisgµνvisδMµ δNνδ(φ − π) + Vhid√

−ghidgµνhidδMµδNνδ(φ)

(3.17)

Phương trình (3.17) chính là phương trình Einstein trong extra-dimension ( trongtrường hợp thế năng vượt trội động năng)

3.2 Giải phương trình Einstein

Xét nghiệm của phương trình Einstein có dạng:

ds2 = e−2σ(φ)ηµνdxµdxν+ r2cdφ2 (3.18)Trong đó: Trong đó e−2σ(φ) với 0 ≤ φ ≤ π là hệ số "warp", rc là bán kính "compact",

→√−G = rce−4σ(φ) (3.19)Hay

Khai triển (3.22) ta được:

∂ e−2σ(φ)

∂φ ,

Γ400= −1

r2e−2σ(φ)σ0(φ),

∂ e−2σ(φ)

∂φ ,

Γ411= 1

r2 c

∂ e−2σ(φ)

∂φ ,

Γ422= 1

r2 c

∂ e−2σ(φ)

∂φ ,

Γ433= 1

r2 c

e−2σ(φ)σ0(φ)

2 Tensor Ricci

RAB = ∂Γ

C AB

∂xC − ∂Γ

C AC

∂xB + ΓCABΓσCσ − ΓσACΓCBσ

= ∂Γ

4 AB

∂φ − ∂Γ

0 A0

∂xB −∂Γ

1 A1

∂xB − ∂Γ

2 A2

∂xB − ∂Γ

3 A3

∂xB

+ Γ4ABΓ040+ Γ4ABΓ141+ Γ4ABΓ242+ Γ4ABΓ343

− Γ0 A0Γ0B0+ Γ0A4Γ4B0+ Γ1A1Γ1B1+ Γ1A4Γ4B1

− Γ2A2Γ2B2+ Γ2A4Γ4B2+ Γ3A3Γ3B3+ Γ3A4Γ4B3

− Γ4 A0Γ0B4+ Γ4A1Γ1B4+ Γ4A2Γ2B4+ Γ4A3Γ3B4+ Γ4A4Γ4B4

4e−2σ(φ)σ0(φ)2− e−2σ(φ)σ00(φ)

R11 = ∂Γ

4 11

−4e−2σ(φ)σ0(φ)2+ e−2σ(φ)σ00(φ)

•

R22 = ∂Γ

4 22

−4e−2σ(φ)σ0(φ)2+ e−2σ(φ)σ00(φ)

•

R33 = ∂Γ

4 33

−4e−2σ(φ)σ0(φ)2+ e−2σ(φ)σ00(φ)

R44 = −∂Γ

0 40

∂φ − ∂Γ

1 41

∂φ −∂Γ

2 42

∂φ −∂Γ

3 43

=1

r2 c

−20σ0

(φ)2+ 8σ00(φ)

4 Thành phần Tensor Einstein

(φ))2 + 8σ00(φ)

=3

r2 c

e−2σ(φ)2(σ0

(φ))2 − σ00(φ) ,

(3.28)

Chú thích: σ0(φ) là đạo hàm của σ theo φ.

Từ các phương trình (3.17) và (3.29) ta có: (khi A=4, B=4)

Nghiệm của phương trình trên là bất biến với phép biến đổi φ → −φ nên ta có:

24M3 + 3

rcσ

00

(φ) = 14M3[Λrc+ Vvisδ(φ − π) + Vhidδ(φ)]

⇒ 3

rcσ

00

(φ) = Vvis4M3δ(φ − π) + Vhid

4M3δ(φ)

⇒ σ00(φ) = Vvisrc

12M3δ(φ − π) +Vhidrc

12M3δ(φ) (3.33)Như vậy, đạo hàm cấp hai của σ(φ) phụ thuộc vào thế năng Vvis và Vhid trong Brane.Đạo hàm (tới cấp 2) 2 vế của phương trình (3.31) ta được:

σ00(φ) = 2rc

r

−Λ24M3(δ(φ) − δ(φ − π).) (3.34)Kết hợp (3.33) với (3.34) với giả thuyết Vvis, Vhid, Λ phụ thuộc vào cùng một thang

k Khi đó, ta có:

Vhid = −Vvis = 24M3

r

−Λ24M3 = 24M3k (3.35)Như vậy, ta có nghiệm của phương trình Einstein (trong trường hợp thế năng vượt trộiđộng năng) :

µ, ν = 0, 1, 2, 3; k là một hằng số, ở bậc của thang khối lượng Planck 5 chiều M

ηµν là metric Minkowski 4D và rc là bán kính của chiều thêm vào

Hệ số e−2krc |φ| được gọi là hệ số warp

Hàm tác dụng 5D của RSI khi bỏ qua hằng số vũ trụ có dạng sau:

Với dạng tác dụng (4.2) và (4.6) cùng với nhận xét về metric của mô hình RSI trên

lớn Mô hình RSI dự đoán M và Mpl cùng bậc:M ∼ Mpl ∼ 1016T eV Hệ thống thứ bậcgiữa tham số khối lượng vật lý m và tham số khối lượng cơ bản m0 có thể phát sinh

m = e−krc πm0Nếu ekrc π ở bậc 1015, khi đó cơ chế này sinh ra thang khối lượng vật lý TeV từ cáctham số khối lượng cơ bản không khác nhiều so với thang Planck, 1019 GeV

Giá trị nhỏ quan sát được của hằng số vũ trụ làm nảy sinh vấn đề hằng số vũ trụ Córất nhiều nỗ lực trong việc giải quyết vấn đề này thông qua các mô hình Braneworld.Trong mô hình RS, hằng số vũ trụ hiệu dụng 4 chiều trên Brane được sinh ra bởi hằng

số vũ trụ Bulk 5 chiều Λ [5] Từ phương trình (4.9) với k =

r

−Λ24M3 và ràng buộc

Mpl ∼ M , ta có

Mpl2 = M

3 pl

s

−Λ24M3 pl

1 − e−2krc π

⇔

s

−Λ24M3 pl

Ta thấy rằng, nếu δ ở bậc 10−120, khi đó, −Λvis

(4) ∼ (1018)4.10−120 Như vậy, môhình này sinh ra một hằng số vũ trụ hiệu dụng 4D nhỏ

−Λvis(4) ∼ 10−47GeV4Tương tự với Brane ẩn đặt tại y = 0, tác dụng hiệu dụng là

Sef f =

Z

d4x√

−ghid(−Λhid(4))với ghidµν = ηµν Trên Brane này, hằng số vũ trụ rất nhỏ và bằng

−Λhid(4) ∼ Mpl4(1 − e−4kπrc)Như vậy, để sinh ra thứ bậc lớn δ = (1 − e−2krc π) e4kπr c − 1
= 10−120 giữa giá trịbản chất và giá trị quan sát được của hằng số vũ trụ đòi hỏi rc phải cực nhỏ Khi đó,chúng ta có thể thu được hằng số vũ trụ hiệu dụng nhỏ trên cả hai Brane Vấn đề vềhằng số vũ trụ đã được giải quyết trong mô hình RS

Ta chú ý rằng, trong RS, để sinh ra hệ thống thứ bậc dạng hàm e-mũ ekπrc giữathang TeV và thang Planck đòi hỏi krc∼ 10 để độ lớn của chiều thêm vào là

rc∼ 1018GeV ∼ 10−34mVới giá trị rc cực nhỏ để giải quyết vấn đề về hằng số vũ trụ sẽ là quá nhỏ để giảiquyết vấn đề về hệ thống thứ bậc Điều này có nghĩa rằng trong mô hình RS, khi giảiquyết được bài toán thứ bậc về thang đo planck lai sinh ra một bài toán thứ bậc khác,bài toán thứ bậc giữa bán kính cong (rc) hay độ cong µc= r1

c và thang đo plack (hoặcthang điện-yếu)

5D

Trong các mô hình Braneworld, trường hấp dẫn có thể truyền trong không-thờigian Bulk nhiều chiều, có nghĩa là hấp dẫn đã bị biến đổi Mô hình RSII khảo sát cáchkhôi phục lại hấp dẫn 4 chiều trên Brane gắn trong không-thời gian Bulk 5 chiều Môhình này dựa trên các thành phần cơ bản sau[2]:

• Không-thời gian Bulk 5 chiều trống rỗng nhưng đóng góp một hằng số vũ trụ âm

Λ = −6

l2

l là kích thước của chiều thêm vào

• Một Brane tự hấp dẫn, đóng góp một áp suất dương σ và có tính đối xứng Z2Phương trình Einstein 5D được cho bởi

GM N + ΛgM N = κ2TM N

κ là hằng số liên kết hấp dẫn Khối lượng Planck 5 chiều M được định nghĩa

κ2 = M−3Phương trình Einstein 5D thừa nhận nghiệm tĩnh sau[2, 4, 6]

dS2 = a2(y)ηµνdxµdxν+ dy2

= a2(z)(ηµνdxµdxν + dy2) (5.1)

a(y) = e−l|y|, a(z) = 1

1 + l|z| là hệ số warp theo tọa độ vật lý và tọa độ conformal

z = R dy

a(y) [6] Khảo sát mô hình RSII, chúng ta sẽ chúng tỏ rằng định luật Newton

về hấp dẫn được khôi phục trên Brane có áp suất dương gắn trên chiều thêm vào vôhạn, tức ta sẽ thu lại được thế hấp dẫn V (r) ∼ −Gm1m2

r như trong hấp dẫn 4D chuẩn.Chúng ta bắt đầu với hai Brane: Brane quan sát được đặt tại y = yr, z = zr vàBrane ẩn đặt tại y = z = 0 Áp suất trên hai Brane lần lượt là σ và −σ Để khảo sátsâu hơn tính chất của hấp dẫn và tìm ra thế hiệu dụng của một vật điểm trên Brane,chúng ta phải xét đến các nhiễu loạn gM N = ηM N + hM N, trong đó hyy = 0, hyµ =

h(xµ, y) = Φm(y)eipµ x µ

với pmupµ = −m2 là khối lượng 4 chiều của kích thích Kaluza-Klein Sự phụ thuộcvào chiều thứ 5 của các mode bị chi phối bởi phương trình gần giống phương trìnhSchrodinger

d2ψm

dz2 − V (z)ψm = −m2ψm

,α được cho bởi [6]

φ =

vuut

1 − e−2lyr +4

3X

m>0

Φm(0)Φm(y)e−mr

13

(5.3)

Đóng góp vào thế gồm có 3 thành phần:

- Thành phần mode zero ứng với số hạng thứ nhất

- Thành phần miền liên tục của các mode có khối lượng (m > 0) ứng với số hạng thứ2

- Thành phần thứ 3 là đóng góp của trường Radion

Với cả hai nguồn trên Brane y = 0, thế V (r, y) rút gọn thành

V (r) = − m1m2

8πM3r

(l

1 − e−2lyr + 4

3X

Nếu chúng ta bao gồm cả Radion trong định nghĩa khối lượng Planck 4 chiều hiệudụng

(5.5)

Với G = (8πMpl2)−1 là hằng số hấp dẫn Như vậy, trường vô hướng không khối lượngRadion vừa cho đóng góp đối với thế vừa cho đóng góp đối với khối lượng Planck 4chiều hiệu dụng Ta thấy rằng, đóng góp của Radion biến mất trong giới hạn yr → ∞.Nếu bỏ qua đóng góp của miền liên tục các mode có khối lượng thì

V (r) ∼ −Gm1m2

r

có nghĩa là chúng ta đã khôi phục lại được hấp dẫn 4D trong giới hạn khoảng cáchlớn, tức chiều thêm vào mở rộng ra vô hạn

Trong lý thuyết tương đối rộng, định luật bảo toàn năng-xung lượng đối với trườnghấp dẫn là một trong những vấn đề cơ bản nhất Theo lý thuyết trường, đại lượng mô

tả các thuộc tính năng-xung lượng của hệ vật lý chính là tensor năng-xung lượng Đốivới trường hấp dẫn, vấn đề có phức tạp hơn Ngoài tensor năng-xung lượng Tµν củavật chất, còn tồn tại giả tensor năng-xung lượng tµν của trường hấp dẫn [8]

(−g(4)) (Tµν + tµν) = ∂

∂xλhµνλtµνvới hµνλ là siêu thế của trường hấp dẫn Tµν+ tµν thỏa định luật bảo toàn

∂µ(−g(4)) (Tµν + tµν) = 0