Đề thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 - 17
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN – ĐHSP
HÀ NỘI
Đề số 18
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG (7 điểm)
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x
x
2 1 1
-=
- 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại các điểm A và
B thỏa mãn OA = 4OB
Câu II (2 điểm):
1) Giải phương trình: x x x x
sin cos 2 tan 2 cos2 0 sin cos
-2) Giải hệ phương trình:
ïî
ï í
ì
= -+ + + +
= -+ + +
+
0 11 )
1 (
0 30 )
2 ( )
1 (
2 2
3 2
2 3
y y y x y x
xy y y
x y y x
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = ò1 + +
01
1
dx x x
Câu IV (1 điểm): Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢ có đáy ABC là tam giác vuông với AB = BC = a, cạnh bên AA¢ =
a 2 M là điểm trên AA¢ sao cho AM 1 AA '
3
=
uuur uuur
Tính thể tích của khối tứ diện MA¢BC¢
Câu V (1 điểm): Cho các số thực dương a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn a b c 1 + + = Chứng minh rằng:
2 2
2
³ +
+ + +
+ + +
+
b a
a c a c
c b c b
b a
II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm)
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm E(–1; 0) và đường tròn (C): x2+y2– 8 – 4 –16 0x y = Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm E cắt (C) theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 điểm A(0; 0; 4), B(2; 0; 0) và mặt phẳng (P): 2x y z+ - + = Lập 5 0 phương trình mặt cầu (S) đi qua O, A, B và có khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng (P) bằng 5
6
Câu VII.a (1 điểm): Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt
đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần?
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm):
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, biết phương trình đường thẳng AB, BC lần lượt
là: x+2 – 5 0y = và x y3 – + = Viết phương trình đường thẳng AC, biết rằng AC đi qua điểm F(1; 3)7 0 -
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng D: x 1 y 1 z
- Tìm toạ độ điểm M trên D sao cho DMAB có diện tích nhỏ nhất
Câu VII.b (1 điểm): Tìm tất cả các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: log (25 – log ) = 5 x 5a x
============================
Trang 2Hướng dẫn:
I PHẦN CHUNG
Câu I: 2) Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M x y ( ; ) cắt Ox tại A và Oy tại B sao cho OA = 4OB 0 0
Do DOAB vuơng tại O nên: A OB
OA
1 tan
4
= = Þ Hệ số gĩc của d bằng 1
4 hoặc
1 4
-
Hệ số gĩc của d tại M là: y x
x
0
1
( 1)
¢ = - <
- Þ y x0
1 ( )
4
¢ = - Û
x0 2
4 ( 1)
3 1
2 5 3
2
= - ç = ÷
ê
ê = ç = ÷
ë Vậy cĩ hai tiếp tuyến thoả mãn là: y 1(x 1) 3
= - + + hoặc y 1(x 3) 5
= - - +
Câu II: 1) Điều kiện: cos2 x ¹ 0 PT Û - (sin x + cos ) x 2+ 2sin2 x + cos 22 x = 0 Û sin 22 x-sin2x= 0
x loại
sin 2 0
sin 2 1 ( )
p
=
2) Hệ PT Û xy x y x y x y
xy x y xy x y
ỵ Û xy x y x y xyìíỵxy x y(( ++ +)() xy x y+ ++ + =) 30= 11
Đặt x y u
xy v
ì + =
í =
ỵ Hệ trở thành uv u vìí + + =ỵuv u v( + =) 3011 Û uvìí + + =ỵuv u v(11-uv) 30 (1)=11 (2) Từ (1) Þ uvé =ê =ëuv 56
· Với uv = 5 Þ u v 6 + = Giải ra ta được các nghiệm (x; y) là: 5 21 5; 21
5 21 5; 21
· Với uv = 6 Þ u v 5 + = Giải ra ta được các nghiệm (x; y) là: (1;2) và (2;1)
Kết luận: Hệ PT cĩ 4 nghiệm: (1;2) , (2;1) , 5 21 5; 21
5 21 5; 21
Câu III: Đặt t= x Þ dx = 2 t dt I = t tdt
t
1 3 0
2 1
+ +
t
1 2 0
2
1
+
3 -
Câu IV: Từ giả thiết suy ra DABC vuơng cân tại B Gọi H là trung điểm của AC thì BH ^ AC và BH ^ (ACC¢A¢)
Do đĩ BH là đường cao của hình chĩp B.MA¢C¢ Þ BH = 2a
2 Từ giả thiết Þ MA¢ = a
2 2
3 , A¢C¢ = a 2
Do đĩ: V B MA C BH S MA C BH MA A C a3
Câu V: Ta cĩ: a b a b c b a b a
2+ = (1- - +) = +
Tương tự, BĐT trơt thành: a b a b c b c a c
+ - + + - + + - ³
a b b c c a
+ + + + + ³
Theo BĐT Cơ–si ta cĩ: a b b c c a a b b c c a
b c c a a b 33 b c c a a b. . 3
+ + + + + + Dấu "=" xảy ra Û a b c
1 3
= = =
II PHẦN TỰ CHỌN
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a: 1) (C) cĩ tâm I(4; 2) và bán kính R = 6 Ta cĩ IE = 29 < 6 = R Þ E nằm trong hình trịn (C)
Giả sử đường thẳng D đi qua E cắt (C) tại M và N Kẻ IH ^ D Ta cĩ IH = d(I, D) ≤ IE
Như vậy để MN ngắn nhất thì IH dài nhất Û H º E Û D đi qua E và vuơng gĩc với IE
Khi đĩ phương trình đường thẳng D là: x5( + +1) 2y = Û x0 5 +2y+ = 5 0
2) Giả sử (S): x2+y2+z2-2ax-2by-2cz d+ = 0
· Từ O, A, B Ỵ (S) suy ra: a
c d
1 2 0
ì = ï
= í
ï = ỵ
Þ I b(1; ;2) · d I P( ,( )) 5
6
= Û b 5 5
+
= Û bé =ê = -ëb 010 Vậy (S): x2+y2 +z2-2x-4z = hoặc (S): x0 2+y2+z2-2x+20y-4z= 0
Câu VII.a: Gọi số cần tìm là: x a a a a a a a = 1 2 3 4 5 6 7 (a 1 ¹ 0)
Trang 3· Giả sử a1 có thể bằng 0:
+ Số cách xếp vị trí cho hai chữ số 2 là: C72
+ Số cách xếp vị trí cho ba chữ số 3 là: C53
+ Số cách xếp cho 2 vị trí còn lại là: 2!C82
· Bây giờ ta xét a1= 0:
+ Số cách xếp vị trí cho hai chữ số 2 là: C62
+ Số cách xếp vị trí cho ba chữ số 3 là: C43
+ Số cách xếp cho 1 vị trí còn lại là: 7
Vậy số các số cần tìm là: C C72 .2!53 C82- C C62 .7 1134043 = (số)
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b: 1) Gọi VTPT của AB là n r1=(1;2), của BC là n
2 =(3; 1)
-r , của AC là n a b
3=( ; )
r với a2+b2 ¹ 0
Do DABC cân tại A nên các góc B và C đều nhọn và bằng nhau
Suy ra: cos B = cos C Þ n n n n
a2 b2
5
-= +
Û 22a2 +2b2-15ab = Û a b0 éêë112 a==2b
· Với 2 = a b, ta có thể chọn a=1,b = Þ n2 r3=(1;2) Þ AC // AB Þ không thoả mãn
· Với 11 a = 2 b, ta có thể chọn a=2,b=11 Þ nr3=(2;11)
Khi đó phương trình AC là: 2(x- +1) 11(y + = Û x3) 0 2 +11y+31 0=
2) PTTS của D: x t
1 2 1 2
ì = - + ï
= -í
ï = î
Gọi M( 1 2 ;1 ;2 )- + t -t t Î D
Diện tích DMAB là S 1 AM AB, 18t2 36 216t
= ëuuur uuurû = - +
= 18( 1) t - 2+ 198 ≥ 198 Vậy Min S = 198 khi t 1 = hay M(1; 0; 2)
Câu VII.b: PT Û 25x-log5a=5x Û 52x-5x-log5a= Û 0 t x t
t2 t 5a
5 , 0
ì = >
ï í
ïî
PT đã cho có nghiệm duy nhất Û (*) có đúng 1 nghiệm dương Û t2- = t log5a có đúng 1 nghiệm dương Xét hàm số f t ( ) = - với t Î [0; +∞) Ta có: f t t2 t ¢( ) 2 1= t - Þ f t( ) 0 t 1
2
¢ = Û = f 1 1
æ ö
=
-ç ÷
è ø , f (0) 0= Dựa vào BBT ta suy ra phương trình f t( ) log= 5a có đúng 1 nghiệm dương Û a
a
5 5
log 0
1 log
4
ê
-ë
Û a a
4
1 1 5
é ³ ê
= ê êë
=====================
