c viˆe´t ra bˇa`ng khˆong... hai, v`a vˆan vˆan.
Trang 1v`a g l`a c´ac vector cˆo.t trong R v`a H l`a ma trˆa.n vuˆong cˆa´p 6:
H =
h e(0) he(5) he(4) · · · he(1)
h e(1) he(0) he(5) · · · he(2)
h e(2) he(1) he(0) · · · he(3)
h e(5) he(4) he(3) · · · he(0)
.
Nhu.ng he(x) = 0 v´ o.i x = 3, 4, 5 v` a he(x) = h(x) v´ o.i x = 0, 1, 2 nˆen
H =
h(2) h(1) h(0) h(2) h(1) h(0) h(2) h(1) h(0) h(2) h(1) h(0)
trong d¯´o tˆa´t ca˙’ c´ac phˆ` n tu.a ˙’ khˆong d¯u.o. c viˆe´t ra bˇa`ng khˆong
Bˆay gi`o x´et tru.`o.ng ho. p hai chiˆ` u: hai a˙’nh sˆe o´ f (x, y) v` a h(x, y) c´o k´ıch thu.´o.c
A × B v` a C × D tu.o.ng ´ u.ng Cho.n M, N thoa˙’ m˜an
M ≥ A + B − 1, N ≥ C + D − 1.
Ta mo.˙’ rˆo.ng k´ıch thu.´o.c c´ac a˙’nh bˇa`ng c´ach d¯ˇa.t
f e(x, y) :=
f (x, y) nˆe´u 0 ≤ x ≤ A − 1, v` a 0 ≤ y ≤ B − 1,
0 nˆe´u A ≤ x ≤ M − 1, hoˇ a.c B ≤ y ≤ N − 1,
v`a
h e(x, y) :=
h(x, y) nˆe´u 0 ≤ x ≤ C − 1, v` a 0 ≤ y ≤ D − 1,
0 nˆ C ≤ x ≤ M − 1, hoˇ a.c D ≤ y ≤ N − 1,
Ch´ung ta c˜ung gia˙’ thiˆe´t c´ac h`am fe(x, y) v` a he(x, y) tuˆ` n ho`a an v´o.i chu k`y M v` a N
theo hai hu.´o.ng x v` a y tu.o.ng ´u.ng Nhˇa´c la.i
g e(x, y) =
M −1X
m=0
N −1X
n=0
f e(m, n)he(x − m, y − n),
v´o.i x = 0, 1, , M − 1, v` a y = 0, 1, , N − 1 H` am ge(x, y) tuˆ` n ho`a an v´o.i c`ung chu k`y nhu fe(x, y) v` a he(x, y) D- ˆe˙’ ho`an thiˆe.n mˆo h`ınh suy gia˙’m chˆa´t lu.o ng r`o.i ra.c, cˆa`n thˆem nhiˆe˜u ηe(x, y) v`ao h`am ge(x, y); t´u.c l`a
g e(x, y) =
M −1X
m=0
N −1X
n=0
f e(m, n)he(x − m, y − n) + ηe(x, y), (5.4)
Trang 2v´o.i x = 0, 1, , M − 1, v` a y = 0, 1, , N − 1.
K´y hiˆe.u f, g v`a n l`a c´ac vector cˆo.t k´ıch thu.´o.c MN nhˆa.n d¯u.o c bˇa`ng c´ach sˇa´p xˆe´p
la.i c´ac h`ang cu˙’a c´ac ma˙’ng tu.o.ng ´u.ng fe , g e v`a ηe v´o.i k´ıch thu.´o.c M × N Chˇa˙’ng ha.n,
N phˆ` n tu.a ˙’ d¯ˆ` u tiˆen cu˙’a f tu.o.ng ´a u.ng c´ac phˆ` n tu.a ˙’ trong h`ang d¯ˆ` u tiˆen cu˙’a fe(x, y); Na phˆ` n tu.a ˙’ kˆe´ tiˆe´p tu.o.ng ´u.ng h`ang th´u hai, v`a vˆan vˆan Khi d¯´o biˆe˙’u th´u.c (5.4) c´o thˆe˙’ viˆe´t du.´o.i da.ng ma trˆa.n
trong d¯´o H l`a ma trˆa.n vuˆong k´ıch thu.´o.c MN Ma trˆa.n n`ay c´o thˆe˙’ phˆan hoa.ch th`anh
M2 ma trˆa.n con v´o.i mˆo˜i ma trˆa.n con k´ıch thu.´o.c N × N v`a d¯u.o c sˇa´p theo th´u tu
H =
H0 HM −1 HM −2 H1
H1 H0 HM −1 H2
HM −1 HM −2 HM −3 H0
,
v´o.i mˆo˜i phˆa` n tu.˙’ Hj cu˙’a h`ang th´u j x´ac d¯i.nh bo˙’ i h`. am mo.˙’ rˆo.ng h e(x, y) :
Hj =
h e(j, 0) h e(j, N − 1) he(j, N − 2) he(j, 1)
h e(j, 1) h e(j, 0) h e(j, N − 1) he(j, 2)
h e(j, 2) h e(j, 1) h e(j, N − 2) he(j, 3)
h e(j, N − 1) he(j, N − 2) he(j, N − 3) he(j, 0)
.
Nhˆa.n x´et rˇa`ng, Hj l`a ma trˆa.n chu tr`ınh v`a c´ac khˆo´i cu˙’a H d¯u.o c d¯´anh chı˙’ sˆo´ theo ´y ngh˜ıa chu tr`ınh Do d¯´o ma trˆa.n H go.i l`a ma trˆa.n chu tr`ınh khˆo´i.
Hˆ` u hˆe´t c´a ac kˆe´t qua˙’ trong phˆ` n sau tˆa a.p trung v`ao mˆo h`ınh suy gia˙’m chˆa´t lu.o ng da.ng (5.5) Ch´u ´y rˇa`ng biˆe˙’u th´u.c n`ay du a trˆen gia˙’ thiˆe´t tuyˆe´n t´ınh v`a bˆa´t biˆe´n vi tr´ı cu˙’a mˆo h`ınh xu.˙’ l´y Mu.c tiˆeu l`a t`ım u.´o.c lu.o ng f(x, y) du a trˆen h`am g(x, y) v´o.i su
hiˆe˙’u biˆe´t vˆ` h(x, y) v`e a η(x, y) N´oi c´ach kh´ac cˆ` n t`ım u.´a o.c lu.o. ng f du a trˆ. en g, n v` a H.
Mˇa.c d`u d¯o.n gia˙’n, nhu.ng viˆe.c x´ac d¯i.nh f t`u Phu.o.ng tr`ınh (5.5) l`a rˆa´t ph´u.c ta.p
trong tru.`o.ng ho. p k´ıch thu.´o.c l´o.n Chˇa˙’ng ha.n, nˆe´u M = N = 512 th`ı H c´o k´ıch thu.´o.c
262144 Do d¯´o d¯ˆe˙’ x´ac d¯i.nh f ta cˆa` n gia˙’i hˆe 262144 phu.o.ng tr`ınh tuyˆe´n t´ınh Tuy nhiˆen, su.˙’ du.ng t´ınh chˆa´t chu tr`ınh cu˙’a ma trˆa.n H c´o thˆe˙’ gia˙’m d¯´ang kˆe˙’ khˆo´i lu.o ng
t´ınh to´an
Trang 35.2 Ch´ eo ho´ a ma trˆ a.n chu tr`ınh v`a ma trˆa.n khˆo´i
chu tr`ınh
Phˆ` n n`a ay tr`ınh b`ay phu.o.ng ph´ap hiˆe.u qua˙’ gia˙’i Phu.o.ng tr`ınh (5.5) bˇa`ng c´ach ch´eo ho´a ma trˆa.n H D- ˆe˙’ d¯o.n gia˙’n, ch´ung ta bˇa´t d¯ˆa` u v´o.i ma trˆa.n chu tr`ınh v`a sau d¯´o s˜e x´et
ma trˆa.n khˆo´i chu tr`ınh
5.2.1 Ma trˆ a n chu tr`ınh
X´et ma trˆa.n chu tr`ınh cˆa´p M × M da.ng
H =
h e(0) h e(M − 1) he(M − 2) · · · he(1)
h e(1) h e(0) h e(M − 1) · · · he(2)
h e(2) h e(1) h e(0) · · · h e(3)
h e(M − 1) he(M − 2) he(M − 3) · · · he(0)
.
D- ˇa.t
λ(k) :=
M
X
j=1
h e(M − j) exp
2πi
M jk
v`a
w(k) :=
1 exp2πi
M k exp2πi
M 2k
exp2πi
M (M − 1)k
v´o.i k = 0, 1, , M − 1 Dˆe˜ d`ang kiˆe˙’m tra rˇa`ng
Hw(k) = λ(k)w(k), k = 0, 1, , M − 1.
N´oi c´ach kh´ac, ma trˆa.n chu tr`ınh H c´o M gi´a tri riˆeng λ(k) tu.o.ng ´u.ng v´o.i c´ac vector riˆeng w(k), k = 0, 1, , M − 1 Ho.n n˜u.a, c´ac vector riˆeng n`ay l`a tru. c giao, t´u.c l`a
hw(k), w(k0)i = 0, v´o.i mo.i k 6= k0, k, k0= 0, 1, , M − 1.
Trang 4Gia˙’ su.˙’ W := (W (k, j)) l`a ma trˆa.n vuˆong cˆa´p M v´o.i c´ac cˆo.t l`a c´ac vector riˆeng cu˙’a ma trˆa.n chu tr`ınh H; t´u.c l`a
W(k, j) := exp
2πi
M kj
,
v´o.i k, j = 0, 1, , M − 1 Dˆe˜ thˆa´y rˇa`ng W l`a ma trˆa.n tru c giao v`a do d¯´o tˆo`n ta.i ma trˆa.n nghi.ch d¯a˙’o W−1 := (W−1(k, j)) v´o.i
W−1(k, j) = 1
M exp
−2πi
M kj
.
Suy ra
trong d¯´o D l`a ma trˆa.n vuˆong cˆa´p M da.ng d¯u.`o.ng ch´eo, c´o c´ac phˆa`n tu.˙’ trˆen d¯u.`o.ng ch´eo
D(k, k) = λ(k).
5.2.2 Ma trˆ a n chu tr`ınh khˆ o´i
Ma trˆa.n biˆe´n d¯ˆo˙’i d¯ˆe˙’ ch´eo ho´a c´ac khˆo´i chu tr`ınh d¯u.o c xˆay du ng nhu sau D-ˇa.t
w M (k, j) := exp
2πi
M kj
v`a
w N (k, j) := exp
2πi
N kj
.
Ta d¯i.nh ngh˜ıa W l`a mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cˆa´p MN × MN gˆo `m M2
khˆo´i, mˆo˜i khˆo´i l`a
mˆo.t ma trˆa.n vuˆong cˆa´p N, khˆo´i nˇa`m trˆen h`ang m cˆo.t n x´ac d¯i.nh bo˙’ i.
W(k, m) := wM (k, m)WN ,
v´o.i k, m = 0, 1, , M − 1 v`a WN l`a ma trˆa.n vuˆong cˆa´p N v´o.i c´ac phˆa`n tu.˙’
W N (k, n) = wN (k, n)
v´o.i k, n = 0, 1, 2, , N − 1.
Ma trˆa.n nghi.ch d¯a˙’o W−1 c˜ung l`a ma trˆa.n vuˆong k´ıch thu.´o.c MN ×MN gˆo`m M2
khˆo´i, mˆo˜i khˆo´i l`a ma trˆa.n vuˆong cˆa´p N Khˆo´i o.˙’ h`ang m cˆo.t n cu˙’a W−1
= (W−1(m, n))
x´ac d¯i.nh bo˙’ i.
W−1(m, n) := 1
M w
−1
M (m, n)W−1N ,
Trang 5trong d¯´o
w M−1(m, n) = exp
−2πi
M mn
,
v`a
W N−1 := 1
N w
−1
N (k, j)
k,j=0,1, ,N −1
l`a ma trˆa.n vuˆong cˆa´p N v´o.i
w−1N (k, j) = exp
−2πi
N kj
.
T`u c´ac kˆe´t qua˙’ cu˙’a Phˆ` n 5.2.1 v`a a nˆe´u H l`a ma trˆa.n khˆo´i chu tr`ınh th`ı c´o thˆe˙’ chı˙’ ra
rˇa`ng
D = W−1HW
l`a ma trˆa.n ch´eo ho´a cu˙’a H trong d¯´o c´ac phˆa` n tu.˙’ trˆen d¯u.`o.ng ch´eo D(k, k) c´o liˆen quan
d¯ˆe´n biˆe´n d¯ˆo˙’i Fourier r`o.i ra.c cu˙’a h`am th´ac triˆe˙’n h e(x, y) trong Phˆ` n 5.1.3 Suy raa
Ho.n n˜u.a, ma trˆa.n chuyˆe˙’n vi cu˙’a H l`a
Ht= W ¯ DW−1
trong d¯´o ¯D l`a ma trˆa.n liˆen ho p ph´. u.c cu˙’a D.
5.2.3 Hiˆ e.u qua˙’ cu˙’a ch´eo ho´a ma trˆa.n trong mˆ o h`ınh suy gia˙’m
chˆ a´t lu.o ng
Ma trˆa.n H trong mˆo h`ınh 1D r`o.i ra.c (5.3) l`a ma trˆa.n chu tr`ınh V`ı vˆa.y n´o c´o thˆe˙’ biˆe˙’u diˆe˜n da.ng (5.6) Khi d¯´o (5.3) tro.˙’ th`anh
g = WDW−1f.
Suy ra
Nhu.ng dˆ˜ d`ang kiˆe˙’m tra rˇa`ng vector cˆo.t We −1
f thuˆo.c RM c´o phˆ` n tu.a ˙’ o.˙’ h`ang th´u k
F (k) := 1
M
M −1X
j=0
f e(j) exp
2πi
M kj
, k = 0, 1, , M − 1,