Hóa đại cương - Chương 3, 4 pdf

Nội dung - Mỗi trạng thái đầy đủ của một hệ lượng tử được mô tả đầy đủ bằng một hàm ψ q t, - là hàm xác định toạ độ khái quát q và thời gian t - được gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái.

Trang 1

Hóa học đại cương 1 Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Quang

Hoạt động của GV và SV Nội dung bài dạy

Dựa vào hàm sóng và các điều kiện

về hàm sóng hãy nêu nội dung của

tiên đề về hàm sóng?

- Mô tả đầy đủ mỗi trạng thái của

một hệ lượng tử, ta dùng hàm sóng

hay hàm trạng thái ψ ( )q , là một

hàm xác định của toạ độ q Hàm này

nói chung là phức, đơn trị, hữu hạn,

liên tục, khả vi Bình phương mođun

hàm đó cho biết xác suất tìm thấy hệ

lượng tử ở trạng thái tại một điểm có

toạ độ q trong không gian ứng với

khoảng xác định của hàm này

Bài 1: TIÊN ĐỀ VỀ HÀM SÓNG

I Nội dung

- Mỗi trạng thái đầy đủ của một hệ lượng tử được mô

tả đầy đủ bằng một hàm ψ ( )q t, - là hàm xác định toạ

độ khái quát q và thời gian t - được gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái Hàm sóng ψ( )q t, không có ý nghĩa vật lí trực tiếp, song bình phương mođun của hàm đó ψ( )q t, 2, cho biết xác suất tìm thấy hệ lượng

tử tại một thời điểm trong không gian có toạ độ q ở thời điểm t Hàm ψ( )q t, 2 được gọi là hàm mật độ xác suất

- Điều kiện hàm sóng:

+ Hàm ψ( )q t, nói chung là hàm số phức + Hàm ψ( )q t, phải là hàm đơn trị + Hàm ψ( )q t, phải hữu hạn, có giá trị trong một khoảng xác định [a,b]

+ Hàm ψ( )q t, phải là hàm liên tục + Hàm ψ( )q t, phải là hàm khả vi

II Sự chuẩn hoá hàm sóng

- Điều kiện chuẩn hoá hàm sóng:

∫dP=∫ψ( )q t, 2dV =1

Nếu hàm này là hàm phức thì: dP=ψ*( ) ( )q ψ q dV

Xác suất tìm thấy hệ lượng tử trong cả không gian quy định bởi [a,b]

*( ) ( )q q dV 1

∫

- Ngoài ra hàm sóng còn phải thoả mãn điều kiện trực giao

Có các hàm: f1, f2…fi, fj… Hai hàm fi, fj được gọi là

Trang 2

trực giao với nhau nếu chúng thoả mãn điều kiện:

*

i

f f dV =

∫

- Hệ hàm vừa là các hàm chuẩn hóa vừa là các hàm trực giao gọi là hệ hàm trực chuẩn Kí hiệu gộp lại

1

0

j i

khi i j

f f dV

khi i j

∫

3 Nguyên lí chồng chất trạng thái

- Nếu một hệ lượng tử ở vào trạng thái được mô tả bởi hàm sóng ψ( )q thì trạng thái đó cũng có thể được

mô tả bởi hàm sóng c.ψ( )q , với c là hằng số thừa số.

- Nếu một hệ lượng tử có thể ở vào trạng thái được

mô tả bởi hàm sóng ψ1( )q hoặc vào trạng thái được

mô tả bởi hàm sóng ψ2( )q thì hệ lượng tử đó có thể

được mô tả bởi hàm sóng ψ( )q mà:

ψ( )q =c1 ψ1( )q + c2 ψ2( )q

c1, c2 được gọi là các hệ số tổ hợp hàm sóng

Tổng quát:

( )q

ψ =c1.ψ1( )q +c2.ψ2( )q +c3.ψ3( )q +c4.ψ4( )q +…+

ci.ψi q( )+…

Bài 2: TIÊN ĐỀ VỀ TOÁN TỬ

Toán tử là một quy tắc, một

phép toán mà khi nó tác dụng

vào một hàm sẽ thu được một

hàm mới

Toán tử kí hiệu: µA, ta có:

I Nội dung của tiên đề

Tương ứng với mỗi đại lượng vật lí A của hệ lượng tử,

ở vào trạng thái được mô tử bởi hàm ψ ( )q , có một toán

tử tuyến tính Hecmit µA Trị trung bình A hay A của đại lượng A đó được tính theo biểu thức

Trang 3

µ ( )

A f =g

Khi có µA f( ) =a f (1)

f: là hàm riêng của toán tử µA,

a : trị riêng của toán tử µA

với hàm riêng f

(1): là phương trình hàm

riêng trị riêng

Ví dụ: Biết rằng một vi hạt

chuyển động với vận tốc v thì

biểu thức động năng

2

1

2

Tur= mvr , xung lượng

P mv=

, biểu thức các toán tử

thành phần xung lượng là

µ x

P

i

= h d

dx;µP y

i

= h d

dy;

µ z

P

i

= h d

dz

Hãy thiết lập biểu thức của

toán tử động năng µT?

µ

*

A dV

A A

dV

ψ ψ

= = ∫

∫ Hay kí hiệu Đirăc: A µA ψ ψA

ψ ψ

= =

II Các toán tử Hecmit thường dùng trong hoá học lượng tử

- Toán tử toạ độ: rr

- Toán tử xung lượng:Pur

(urP

= mvr

)

- Toán tử momen động lượng: Muur¶ (Muur

=Pur

.rr

)

- Toán tử năng lượng:

+ Thế năng: U r hayU uµ ( )r ( )r

+ Động năng: µT

- Toán tử Hamintơn: H T Uµ = +µ µ Đây là toán tử quan trọng nhất

III Các đại lượng vật lí có trị đồng thời xác định ở cùng một trạng thái của hệ lượng tử

1 Hai toán tử giao hoán

µ µA B, là hai hoán tử tuyến tính Hecmit Hai toán tử đó được gọi là giao hoán tử với nhau khi giao hoán tử của chúng bằng 0

µ µA B,  = µ µAB B A−µ µ =0

Hai toán tử giao hoán có chung nhau những hàm riêng

và trị riêng tương ứng đồng thời ở trạng thái mô tả bởi hàm riêng chung đó

Trang 4

2 Các đại lượng vật lí có trị đồng thời xác định ở cùng một trạng thái của hệ lượng tử.

a Hai toán tử giao hoán

Hai toán tử giao hoán có chung nhau những hàm riêng

và trị riêng tương ứng đồng thời xác định ở trạng thái được mô tả bởi hàm riêng đó

b Các đại lượng vật lí có trị đồng thời xác định

Điều kiện cần và đủ để hai đại lượng vật lí của hệ lượng tử có trị xác đinh đồng thời ở một trạng thái là hai toán tử Hecmit tương ứng với hai đại lượng đó giao hoán với nhau

BÀI 3 TIÊN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH SROĐINGƠ HẠT CHUYỂN ĐỘNG TỰ DO TRONG HỘP THẾ CHỮ NHẬT MỘT CHIỀU

? Thế nào là trạng thái dừng?

- Trạng thái dừng là trạng thái

mà năng lượng của hệ không

phải là một hàm số của thời

gian t

? Nhắc lại toán tử Hamnitơn

I Phương trình Srođingơ

-Tiên đề: Khi một hệ lượng tử ở trạng thái dừng, trạng thái

mà toán tử Haminton không phụ thuộc tường minh vào thời gian t, giữa toán tử Hamintơn của hệ , hàm sóng ψ→(r) mô tả

trạng thái của hệ và năng lượng toàn phần electron có liên hệ:

H∧ψ(→r)=E.ψ(→r) <1>

<1>: phương trình hàm riêng, trị riêng

Ta lại có : →r(→x,→y,→z)viết gọn (x,y,z)

T∧ =−  + + 2

2 2

d dy

d dx

d m



Thế năng U có tương ứng toán tử U→(x,y,z)

=> H∧ =−  + + 2 

2 2

d dy

d dx

d m



+ U(x,y,z) thay vào <1>

Trang 5

- Điều kiện của giếng thế một

chiều?

- Thay biểu thức và giải

phương trình Srođingơ?

- Phương trinhg vi phân tuyến

tính bậc hai:

(x,y,z) ( , , ) U

dz

d dy

d dx

d 2m

-2

2 2

z y x

ψ













+









= E.ψ(x,y,z)

2 2

2

z y x z

y









∂

∂ +

∂

∂ +

∂

+ 2m(E−U(x,y,z)).ψ(x,y,z)



=0

↔ ∇2.ψ(x,y,z) + 2m(E−U(x,y,z)).ψ(x,y,z)

 Phương trình Srođingơ

II Hạt chuyển động tự do trong hộp thế chữ nhật một chiều

- Xét hộp thế cao vô hạn, bề rộng của hộp thế OA = L

- Chọn chiều sâu của hộp thế là Ox -> hàm sóng sẽ là hàm của biến x : ψ(x)

-> phạm vi hạt chuyển động : 0 < x < L

Khi x = 0 => ψ(x)=ψ(0)= 0 Khi x = L => ψ(x) =ψ(L) = 0

-> Là hai điều kiện biên của bài toán

Thế năng U(x) =











≥

≤

∞

<

L x x khi

L x khi

; 0

0 0

Trong phạm vi hộp thế năng = 0

H∧ =T∧+U∧ = 2 22

d m

T∧ = −

Phương trình Srođingơ:

H∧ψ =Eψ ↔ 2

2 2

d m



− .ψ(x) = E ψ(x)

↔ 2 2( )

dx

x

d ψ + 2 . . ( )

2 E x

m

ψ

=> ψ"(x) + 2m2 E.ψ(x)

x

Trang 6

ψ''( )x +k2ψ( )x = 0

Có nghiệm:

( )x

ψ = a.coskx + b.sinkx

- Xét sự phụ thuộc hàm sóng

vào số lượng tử n

- Khi nào hàm sóng triệt tiêu?

- Mối liên hệ giữa E1, E2, En

Đặt k2 = 2m2 E

 => k=



mE

2

(*) => ψ"( )x +k2ψ( )x = 0

Có nghiệm: ψ( )x = a.coskx + b.sinkx Dựa vào điều kiện biên ψ( )x = ψ(L) =0 =b.sinkL =0

 kL = nπ => k =n

L

π

n: là số nguyên 1,2,3…

Mặt khác hàm sóng ψ(x) có

2

0

=

L

n L

x

Vậy En = 2 222

2mL

n π 

Vậy việc giải phương trình Srođingơ xuất hiện thông số n n: số lượng tử

- Xét ψn theo n

n = 1 -> ψ1 cực đại tại x =

2

L

n = 2 -> ψ2 có 2 cực trị; tại x =

4

L

và x =

4

3L

n = 3 -> ψ3 có 3 cực trị; tại x=

6

L

; x=

6

5L

; x=

2

L

Ba hàm mật độ xác suất tương tứng với 3 hàm sóng

- Hàm sóng ψn (x) triệt tiêu tại điểm nút

- Số điểm nút này = (n-1) (không kể hai nút biên)

- Điểm nút là một đặc trưng chỉ riêng hệ lượng tử mới có

- Khi : n = 1 -> E1

E2

E

1

ψ2

ψ1

|ψ3|2

|ψ2|2

|ψ1|2

Trang 7

Từ đó có nhận xét gì? Năng

lượng có liên tục không?

- Thế nào là sự suy biến năng

lượng?

Nhiều hàm khác nhau có cùng

giá trị năng lượng

n = 2 -> E2 = 22 E1 = 4 E1

n = 3 -> E3 = 32 E1 = 9 E1

En = n2 E1 Năng lượng En có giá trị gián đoạn Năng lượng E của hệ bị lượng tử hoá theo số lượng tử Với mỗi trị riêng, năng lượng En có duy nhất một hàm riêng

)

(x

n

ψ => hệ này không có sự suy biến năng lượng.

VI Rút kinh nghiệm bài dạy:

CHƯƠNG III: MỘT SỐ TIÊN ĐỀ CỦA CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

4 tiết (2 lí thuyết , 2 bài tập)

Ngày soạn: 12/10/2010

Trang 8

Ngày giảng: 25/10/2010-29/10/2010

I Mục tiêu bài giảng

Sau khi học chương này học sinh cần nắm được:

1 Kiến thức

- Tiên đề về hàm sóng và nguyên lí chồng chất trạng thái

- Tiên đề về toán tử

- Tiên đề về phương trình Srođingơ

- Bài toán hạt chuyển động tự do trong hộp thế hình chữ nhật một chiều

2 Kĩ năng

- Tính toán, giải phương trình Srođingơ

3 Thái độ tình cảm

- Lòng yêu thích bộ môn

II Chuẩn bị

- GV: giáo án, giáo trình

- SV: bài soạn, vở

III Phương pháp giảng dạy

- Dạy học tiên đề

- Thuyết trình

IV Nội dung bài giảng

CHƯƠNG IV: HỆ MỘT ELECTRON MỘT HẠT NHÂN

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

9 tiết (6 lí thuyết, 3 bài tập)

Trang 9

Ngày soạn: 12/10/2010

Ngày giảng: 01/11/2010-12/11/2010

I Mục tiêu bài giảng

Sau khi học xong chương này cần nắm được:

1 Kiến thức

- Hệ một hạt nhân, một electron: hàm riêng, trị riêng

- Khái niệm AO nguyên tử và các vấn đề liên quan

- Hàm mật độ xác suất , mây electron, cách biểu diễn hình ảnh AO

- Spin electron, hàm sóng toàn phần mô tả trạng thái 1 electron

- Bộ bốn số lượng tử

- Quang phổ vạch hiđro

2 Kĩ năng

- Giải phương trình Srođingơ ( phương trình hàm riêng trị riêng)

- Biểu diễn được hàm sóng đầy đủ

- Biểu diễn hình ảnh mây electron

3 Thái độ tình cảm

- Thấy được sự phát triển của các thuyết hoá học

- Lòng ham mê khoa học, yêu thích bộ môn hoá học

II Phương pháp

- Phương pháp dạy học nêu vấn đề

- Phương pháp đàm thoại gợi mở

- Phương pháp thuyết trình, kèm theo giải thích minh hoạ

- Phương pháp luyện tập

III Chuẩn bị

- GV: Giáo án, giáo trình

- SV: chuẩn bị bài, giáo trình

IV Nội dung bài giảng

- Hệ toạ độ Đecac?

Bài 1: MỞ ĐẦU

I Hệ toạ độ cầu

1 Hệ toạ độ Đecac

Trang 10

Ba trục Ox, Oy, Oz ứng với các biến số x, y, z

2 Hệ toạ độ cầu

- Có 3 biến số θ ϕ, , rr

Góc θ: tạo bởi Oz với vị trí r;θ được gọi là góc kinh tuyến

Góc ϕ: tạo bởi Ox và hình chiếu của rr xuống mặt

phẳng xOy; ϕ được gọi là góc vĩ tuyến

Độ dài vectơ rr

: r= rr

- Trị số của các biến số:

0 <θ <π; 0 <ϕ< 2π; 0< r <∞

3 Mối liên hệ

Giữa tọa độ Đêcac và tọa độ cầu có liên hệ:

sin sin

x r cos

y r sin

z rcos

θ ϕ

θ ϕ θ

=

II Trường lực đối xứng xuyên tâm

1 Khái niệm

- Trường lực được gọi là trường lực đối xứng xuyên tâm hay chính tắc nếu lực tác dụng vào một vật chuyển động trong trường đó đi qua một điểm cố định được chọn làm tâm của trường và độ lớn của lực tác dụng chỉ phụ thuộc vào khoảng cách từ vị trí của vật đến đến tâm của trường chứ không phụ thuộc vào phương

- Thế năng chỉ là hàm của |rr

|; nghĩa là: U = U(r)

2 Định luật bảo toàn

Một hạt chuyển động trong trường lực đối xứng xuyên tâm với vận tốc vr

thì:vr

a Năng lượng toàn phần E được bảo toàn, tức là:

E = T+U = const

b Vectơ momen động lượng Muurcũng được bảo toàn,

nghĩa là: Muur=r pr ur =const

Trang 11

Hoạt động: Nguyên tố hay ion nào

có dạng 1 e, 1 hạt nhân?

- Nguyên tử hiđro, ion: He+, Li2+,

Be3+

? Với nguyên tử hiđro thì m bằng

bao nhiêu , biết m hn= 1836 me

Bài 2: HỆ MỘT ELECTRON MỘT HẠT NHÂN

Sơ đồ:

Đây chính là mô hình trường lực đối xứng xuyên tâm Biểu thức tính thế năng của e :

2 0

( ) Ze

U U r

r

= = − ; e0: điện tích nguyên tố

Vậy thực chất của hệ lượng tử này là xét một electron chuyển động trong trường lực hạt nhân có điện tích dương Ze0

I Sơ lược về lời giải phương trình Srođingơ cho hệ một hạt nhân một electron

µHψ =Eψ

Mà µ µ µ

2

0

2

Ze

H T U

m dx dy dz r

h

Trong hệ toạ độ cầu:

2

1

2

m r dr dr r

= −   ÷+ +

h

Hệ 2 hạt : hạt nhân khối lượng m1, electron khối lượng m2 Vậy khối lượng trong biểu thức trên là khối lượng rút gọn: m = m1.m2/(m1+m2)

- Hàm sóng ψ ( )rr mô tả trạng thái chuyển động của

electron trong trường lực đối xứng xuyên tâm:

ψ( ) ( )rr =R r Yr (θ ϕ, )

R(r): Hàm bán kính hay phần xuyên tâm Y(θ ϕ, ): Hàm góc hay hàm cầu

Vậy phương trình Srođingơ:

µ ( ) ( , )HR r Y θ ϕ =ER r Y( ) ( , )θ ϕ (4) Dùng phép vi phân biến số với toán tử Hamintơn

Trang 12

Với mỗi giá trị của n có bao nhiêu

giá trị l và ml?

VD: Cho biết Z =1 Tính E1, E2, E3

theo:

a Hệ đơn vị nguyên tử

b Hệ đơn vị eV

c Nhận xét khi nào E min?

2

r

Λ

∇ +  − = −

2

r

r dr dr dr r dr

Xét phương trình (5):

vế trái phụ thuộc vào r

vế phải phụ thuộc vào góc

Từ đó VT= VP= const Hay:

2

0

r

R Y

Y Y Y

λ

Λ = → Λ + =h

1 Trị riêng

- Khi giải phương trình góc ( phương trình hàm riêng trị riêng của MuuurZ

và Muuur¶ z

) thu được trị riêng mh và l(l + 1)

h2

Về mặt toán học l, m thoả mãn:

l = 1, 2, 3, 4,…(n-1) ( l: số lượng tử phụ)

ml= 0,±1, ±2,…, ±(n-1) ( ml: số lượng tủ từ AO)

- Khi giải phương trình bán kính thu được n, số lượng tử chính

n = 0, 1, 2, …, nguyên

2 4 0

2 2

2

mZ e E

n

= −

h

m: khối lượng một e

e0: điện tích cơ sở Z: điện tích hạt nhân

- Khi Z cố định, En đạt cực tiểu nếu n thấp nhất Khi n

cố định, En càng thấp nếu Z càng lớn

- Trạng thái mà hệ lượng tử có năng lượng thấp nhất là trạng thái cơ bản

- Cùng trị riêng năng lượng En, ta có bộ ba số lượng tử

Trang 13

- Biết lớp electron M ứng với n =3

Hãy:

a Tính các số lượng tử l, ml có thể

có với lớp M

là n, l, ml

- Số lượng tử chính n: số lớp hay số thứ tự của chu kỳ

- Trị số l dùng để chỉ phân lớp

2 Hàm riêng

a Khi giải phương trình góc, thu được:

- Hàm riêng của M¶ z là φ ϕ( ) tỉ lệ với e imϕ hay

φ ϕ ( ) =A e imϕ

e = 2,72183 i: đơn vị ảo

ϕ: góc vĩ tuyến

- Hàm riêng của Muur¶ 2z có dạng:

.cos

l

l m

m

ϕ

θ π

=

+

Y liên hệ với 2 biến số góc: θ,ϕ

Yl, ml: hàm cầu là hàm chuẩn hoá, thoả mãn các điều kiện của hàm sóng

b Giải phương trình bán kính (Trị riêng En, n) ta thu được hàm riêng Rn,l(r)

3/ 2

4

1 !

zr na nl

n n

−

 

− −

= −  +      ÷  ÷÷

2 1 1 0

2

l n

Zr L na

+ +

Dấu “-”: R trở lên dương khi r bé , gần hạt nhân

n, l : số lượng tử chính và số lượng tử AO Z: số đơn vị điện tích hạt nhân

a0 = 0,53 A0

2 11

0

2

l n

Zr L na

+ +

 : đa thức Laghe

Trang 14

Viết biểu thức đầy đủ của mỗi hàm

sóng sau đây cho hệ một electron

100 r ; 211 r ; 21 1 r

ψ r ψ r ψ − r

- Nêu kết luận về lời giải

phương trình Srođingơ?

- Mô tả quang phổ nguyên tử hiđro?

- - Giải thích sự xuất hiện các

quang phổ của nguyên tử hiđro?

- Từ những dữ kiện sau đây thuộc

phổ phát xạ của hiđro Hãy xác định

31; 41

λ λ .

Biết:

21 1215 ;A 32 65663 ;A 42 4861A

r: biến số, chỉ khoảng cách từ hạt nhân tới vị trí e đang xét

c Kết hợp 2 hàm riêng trên ta có hàm riêng của toán

tử Hamintơn là hàm sóng , , ( )

l

n l m r

ψn l m, , l( )rr =R n l,( ).r Y l m, l( , )θ ϕ

d Vì hàm cầu , ( , )

l

l m

Y θ ϕ là chung cho mọi chuyển động

của vi hạt trong trường đối xứng xuyên tâm nên thực tế thay vì đề cập hàm cầu này Đó là một hàm toán học thuần tuý nên có thế là hàm phức.Tuy nhiên như ta đã biết, hàm sóng ψn l m, , l ( )rr là hàm sóng vật chất Đơ Brơi

3 Kết luận

- Lời giải chính xác phương trình Srođingơ µHψ =Eψ

cho hệ một electron một hạt nhân có điện tích hạt nhân

Ze0 thu được hàm riêng ψn l m, , l( )rr - nói chung là hàm

phức- và trị riêng tương ứng là năng lượng

2 4 0 2

2

n

m Z e E

n

= −

h cùng bộ ba số lượng tử

II Quang phổ hiđro

1 Mô tả

- Một dãy các vạch phổ rời nhau Các vạch phổ rời nhau

là dấu hiệu đặc trưng của quang phổ hiđro

2 Giải thích

2 4 0 2

2

n

m Z e E

n

= −

h ( Với n =1)

n nhỏ, năng lượng thấp Et

n lớn, năng lượng cao Ec

;

Ec > Et: khi e ở mức năng lượng Ec chuyển về Et thì giải phóng ra một năng lượng

Định dạng
Số trang	19
Dung lượng	920,5 KB