Theo quan điểm cá nhân khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hoặc khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian với mức độ đề thi ĐH thì tương đối dễ.. Mấu chốt của nó là tính đư
Trang 1CÁCH XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN
Nhiều em có inbox hỏi mình về phần này và đa số các em bảo là khó Theo quan điểm cá nhân khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng hoặc khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian với mức độ đề thi ĐH thì tương đối dễ Điểm quan trọng nhất là các em hiểu rõ cách xác định khoảng cách như nào? Nhân đây mình làm một file nhỏ cho các em tham khảo và lần sau sẽ không phải trả lời ibox của các em về phần này nữa!
Mấu chốt của nó là tính được khoảng cách từ chân đường cao của khối chóp đến mặt bên đối diện với nó Khi đó khoảng cách từ điểm bất kỳ đến mặt phẳng ta quy về khoảng cách từ chân đường vuông góc tới mặt phẳng đó; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau quy về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và như vậy vẫn là khoảng cách từ chân đường cao của khối chóp đến mặt bên đối diện với nó
Ta cùng xét bài toán sau:
Bài toán 1 Cho hình chóp S.ABC có hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy (ABC) là H Tính
khoảng cách từ H đến mặt bên (SBC)
Kẻ HI vuông góc với BC tại I
Kẻ SK vuông góc với SI tại K
Ta có: BC HI BC SHI BC HK
BC SH
HK SI HK SBC
HK BC
Tam giác vuông SHI ta có:
HK SH HI
HI có nhiều cách tính khác nhau phụ thuộc vào
vị trí của H tuy nhiên tổng quát tính theo diện tích HI 2SHBC
BC
Ngoài ra Tính khoảng cách theo thể tích như sau:
SBC
3V
d H; SBC
S
Nhưng khi đã áp dụng thuần thục cách tính quy về chân đường vuông góc H các em sẽ không cần phải sử dụng công thức khoảng cách theo thể tích như trên
Bài toán 2 Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)
K
I A
C
B H
S
Trang 2Bài toán này tôi chỉ đề cập đến ứng dụng thực tế tức (P) là mặt bên khối chóp và gọi (Q) là mặt đáy khối chóp
Xác định chân đường cao H hạ từ đỉnh S của
khối chóp xuống mặt đáy (Q)
Kéo dài MH cắt (P) tại A Khi đó ta có:
d M; P MA
HA
d H; P Bài toán quy về tính khoảng cách từ H đến mặt
phẳng (P) đây chính là bài toán 1 đã trình bày
ở trên.Ta tạm gọi đây là phương pháp đổi
điểm(đổi điểm cần tính về chân đường vuông
góc)
Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB AC 2a,BAC 120 0 Hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA2HB Biết góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy bằng 600
a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SBC)
b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Bài giải
a) Gọi M là trung điểm của BC ta có
AM BC
Kẻ HI song song với AM cắt BC tại I
Ta có BC HI BC SHI
BC SH
0
SIH 60 chính là góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABC)
Ta có: AM AC.cosMAC 2a.1 a
2
Theo định lý Talets ta có:
AM BA 3 3
Tam giác vuông SHI có:
0 a
SH HI.tan60
3
Kẻ HK vuông góc với SI tại K ta có HKSBC
Tam giác vuông SHI có:
(P) (Q)
S
M
A H
K M A
B
C S
H
I
Trang 32 2 2 2 2 2
6
3 3
Vậy d H; SBC HK a 3
6
b) Ta có: d A; SBC AB.d H; SBC 3d H; SBC 3.a 3 a 3
Bài toán 3 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
Tôi trình bày cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng cách quy về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Bước 1 Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b và cắt đường thẳng a tại A
Bước 2 Từ A kẻ đường thẳng b'/ /b , gọi (Q) là mặt phẳng chứa a và b’
Bước 3 Khi đó d b;a d b; Q d M; Q , M b
Như vậy bài toán quy về tính khoảng cách từ
một điểm bất kỳ từ điểm M trên b đến mặt
phẳng (Q) Đây chính là bài toán 2 đã trình
bày ở trên
Chú ý Trong đề thi đại học thông thường yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau trong đó có một đường thẳng nằm trên mặt đáy và một đường thẳng khác chống lên(thường
là cạnh bên) Khi đó (P) chính là mặt đáy đáy Mục đích dựng mặt phẳng (Q) là lấy chân đường vuông góc hạ từ đỉnh xuống mặt đáy để thuận tiện cho bước tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (Q) Để thuận tiện ta dựng một hình bình hành(không phải là một đường thẳng b’ song song với b)
Nếu không có đường thẳng nào nằm trong mặt đáy lúc này ta chọn một mặt phẳng chứa một trong hai đường thẳng đó là mặt đáy và thực hiện tương tự cách trên
a
b b'
(Q)
(P)
A
M
Trang 4Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,AD 2a ,
AB 3a,CD a Tam giác SAD cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng 600 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a
Bài giải Cách dưới đây trình bày tuy dài nhưng nó
cho các em thấy ta hoàn toàn tính được bất
kỳ khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau nào nếu thực hiện đúng theo các
bước tôi đã trình bày ở trên
Gọi H là trung điểm của AD Do tam giác
SAD cân tại S nên SH AD
Hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) vuông
góc và có giao tuyến HD nên
SH ABCD
Kẻ HI vuông góc với BC tại I khi đó
BC HI BC SHI
BC SH
0
SIH 60 chính là góc giữa hai mặt phẳng
(SBC) và (ABCD)
Bài toán này có một ý nữa đó là tính thể
tích của khối chóp S.ABCD ta tính đường
cao SH vì vậy cần tính được độ dài HI
Để tính HI ta sử dụng công thức diện tích:
HBC
2S
HI
BC
Diện tích tính gián tiếp(lấy diện tích cả hình
thang trừ đi diện tích hai tam giác vuông
nhỏ) Độ dài BC tính thông qua tam giác
vuông
Kẻ CE song song với AD cắt AB tại E
Tam giác vuông CEB có: CE EB 2a nên là tam giác vuông cân suy ra BC 2a 2
Ta có:
HBC ABCD HAB HCD
2
3a a.2a a.3a a.a 2a
Suy ra
2
0 HBC
E K
M
F
I
H
D
C S
T
Trang 5Trong mặt phẳng (ABCD) dựng hình bình hành ACBF
Ta có BC/ / A FBC/ / SAF d BC;SA d BC; SAF
Kéo dài HI cắt AF tại T khi đó d BC; SAF d I; SAF IT d H; SAF
HT
Ta có: HT 2SHAF HA.A Fsin HAF HA.sin1350 a 2
Suy ra IT HI HT 3a 2 IT 3 d BC; SAF 3d H; SAF
Kẻ HK vuông góc với ST tại K ta có HKSAF
Tam giác vuông SHT có:
13
2
Vậy d SA;BC 3HK 3a 6
13
Chú ý Ta có thể quy khoảng cách từ BC đến mặt phẳng (SAF) về H bằng cách kéo dài AD cắt
BC tại M
Khi đó d BC; SAF d M; SAF MAd H; SAF
HA
Theo talets ta có: MD CD 1 MA 3 d BC; SAF 3d H; SAF
Ta có kết quả tương tự cách trên