rèn luyện cho học sinh tư duy giải toán khoảng cách trong không gian theo những định hướng khác nhau

Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộcsống một cách có hệ thống và ch

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN

TRƯỜNG THPT ANH SƠN I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

\

Anh Sơn, tháng 3 năm 2021

MỤC LỤC

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1

PHẦN II PHẦN NỘI DUNG 3

I.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN 3

1.1 Tư duy 3

1.1.1 Khái niệm về tu duy 3

1.1.2 Đặc điểm tư duy 3

1.1.3 Các thao tác tư duy 4

1.1.4 Các loại hình tư duy 5

1.2 Một số định hướng tính khoảng cách trong không gian 6

1.2.1 Tính khoảng cách theo định nghĩa 6

1.2.2 Sử dụng công thức chuyển đổi về khoảng cách 10

1.2.3 Sử dụng tứ diện vuông 10

1.2.4 Sử dụng công thức tính thể tích 10

1.2.5 Tính khoảng cách theo phương pháp sử dụng tích có hướng 11

1.2.6 Tính khoảng cách dựa vào phương trình mặt phẳng, đường thẳng 11

1.3 Thực tiễn dạy học nội dung khoảng cách tại trường 11

II GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH 15

2.1 Rèn luyện tư duy trí tuệ 15

2.1.1 Rèn luyện tư duy phân tích – tổng hợp 15

2.1.2 Rèn luyện tư duy tương tự hoá, trừu tượng hóa, khái quát hóa 26

2.2 Rèn luyện tư duy phê phán 33

2.2.1 Rèn luyện tư duy tự đặt câu hỏi liên quan đến bài toán 33

2.2.2 Học sinh trình bày lời giải, nhận xét và đánh giá kết quả 37

2.3 Rèn luyện tư duy sáng tạo 38

2.3.1 Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải 39

2.3.2 Rèn luyện phát triển bài toán và xây dựng các bài toán mới 40

2.3.3 Tư duy sơ đồ 42

2.4 Kết quả đề tài 46

2.4.1 Thực nghiệm Sư phạm 46

2.4.2 Xử lí kết quả thực nghiệm 50

2.4.3 Kết luận thực nghiệm 50

PHẦN 3 KẾT LUẬN 50

1 Quá trình nghiên cứu của đề tài 52

2 Ý nghĩa của đề tài 52

3 Kiến nghị đề xuất 52

Tài liệu tham khảo 54

DANH MỤC VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

Đào tạo những người phát triển toàn diện, có tư duy sáng tạo, có năng lựcthực hành giỏi, có khả năng đáp ứng đòi hỏi ngày càng cao trước yêu cầu đẩymạnh công nghiệp hóa – hiện đại hóa gắn với phát triển nền kinh tế tri thức và

xu hướng toàn cầu hóa là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiệnnay Để thực hiện được nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới.Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về tư duygiáo dục và phương pháp dạy học, trong đó phương pháp dạy học môn toán làmột yếu tố quan trọng Bởi vì toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứngdụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất

và đời sống xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hóa sảnxuất, trở thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìakhóa của sự phát triển

Trong việc tiếp cận chương trình trung học phổ thông mới, việc rèn luyện tưduy, kỹ năng cho học học sinh có vai trò quan trọng vì đó là một trong các mục tiêudạy học Đổi mới phương pháp giảng dạy để thích hợp với chương trình trung họcphổ thông mới, là việc thay vì nặng về các kiến thức hàn lâm mà cần chú trọng đếnviệc giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo Rèn luyện tư duy, kỹ năng giảitoán cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo Phát triển tư duycho học sinh, để gây hứng thú học tập, từ đó yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụngkiến thức đã học vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề,

có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp

tự học tối ưu

Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và

kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộcsống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển Mặtkhác muốn học tốt Toán thì cần có một tư duy tốt, kỹ năng này không phải là bẩmsinh mà là do quá trình rèn luyện của não bộ mà thành

Thực tế, không phải trẻ thông minh thì tự khắc tư duy giỏi; ngược lại, trẻ kémthông minh có thể không bao giờ tư duy giỏi; trẻ thông minh không cần kỹ năng tưduy Tuy nhiên, tiến sĩ Robert Sternberg - chuyên gia trí tuệ con người nổi tiếng

thế giới với khái niệm “Trí tuệ thành công” khẳng định: “Chỉ số thông minh (IQ)

cao, kết quả học tập tốt hoặc tấm bằng đại học danh giá vẫn chưa đủ Nếu như bạn không có tư duy sáng tạo thì sẽ rất khó khăn để bạn thành công" May mắn hơn trí

thông minh thiên bẩm, kỹ năng tư duy có thể học được, thậm chí thành thục nếukiên trì rèn luyện thông qua các phương pháp khoa học, trong đó Toán học làphương pháp gần gũi và hữu hiệu

Môn Toán ở trường phổ thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chấtchủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩnăng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vàothực tiễn; Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toánhọc bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận toán học; nănglực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếptoán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán.

Mặt khác một trong các môn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đứctính, phẩm chất của người lao động mới là môn hình học không gian – lớp 11 Nhưchúng ta đã biết, hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dungphong phú, là môn học giúp học sinh phát triển trí tưởng tượng không gian, pháttriển tư duy logic – khoa học Trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấy có nhiều họcsinh không hứng thú với môn học này, kết quả học tập của môn học chưa cao Lí do

vì sao? Có nhiều nguyên nhân: Do học sinh lười tư duy nên nghĩ rằng môn hình họckhông gian rất trừu tượng, khó học, đòi hỏi tính sáng tạo cao Do giáo viên chưa cóphương pháp truyền đạt nội dung kiến thức phù hợp với nội dung bài dạy và nănglực nhận thức của học sinh cũng như chưa trang bị tốt cho học sinh những thuật toáncho các bài giải và chưa truyền được ngọn lửa yêu thích môn học cho học sinh…

Xuất phát từ những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: “rèn luyện cho học sinh tư

duy giải toán khoảng cách trong không gian theo những định hướng khác nhau” Việc đưa rèn luyện tư duy sẽ được phát triển và tự phát triển nhiều năng lực

như năng lực giao tiếp; năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo,…

Đó cũng là những năng lực chung và năng lực đặc thù của môn Toán mà giáo viêncần hình thành cho học sinh, nhằm đáp ứng được yêu cầu đặt ra của chương trình

giáo dục phổ thông mới.

Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi trình bày những kinh nghiệm cá nhân vềrèn luyện cho học sinh tư duy, rèn các kỹ năng giải toán Nhằm giúp học sinh pháthuy được tính sáng tạo, có nhiều sự lựa chọn, nhiều phương án để giải quyết vấn đề,lựa chọn được phương án tối ưu nhất để giải các bài toán cũng như các vấn đề trongcuộc sống Qua đây, tôi mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng mônhọc Toán, hình thành cho học sinh những năng lực chung và năng lực chuyên biệttrong môn Toán nhằm đáp ứng yêu cầu định hướng của chương trình giáo dục phổthông mới

PHẦN II PHẦN NỘI DUNG I- CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN

1.1 Tư duy

1.1.1 Khái niệm về tư duy

Tư duy là quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính là một mức độ nhận thứcmới về chất so với cảm giác và tri giác Tư duy phản ánh những thuộc tính bêntrong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiệnthực khách quan mà trước đó ta chưa biết Theo từ điển Triết học: “Tư duy, sảnphẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trìnhphản ánh tích cực thế giới quan trong các khái niệm, phán đoán, lí luận Tư duy xuấthiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và đảm bảo phản ánh thực tạimột cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy chỉ tồn tạitrong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt độngchỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiệntrong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhậntrong ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phântích tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chung,việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm Kết quả của quá trình tư duy bao giờcũng là một ý nghĩ nào đó”

1.1.2 Đặc điểm tư duy

Tư duy do con người tiến hành với tư cách là chủ thể có những đặcđiểm cơ bản sau:

+ Tính có vấn đề của tư duy Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề

Đó là những tình huống mà ở đó chỉ nảy sinh những mục đích mới, và nhữngphương tiện, phương pháp hoạt động cũ đã có trước đây trở nên không đủ để đạtđược mục đích đó Nhưng muốn kích thích được tư duy thì hoàn cảnh có vấn đềphải được cá nhân nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ tư duy của cánhân, nghĩa là phải xây dựng được cái gì đã biết, cái gì chưa biết, cần phải tìm và cónhu cầu tìm kiếm

+ Tính gián tiếp của tư duy Tư duy phản ánh sự vật hiện tượng một cách giántiếp bằng ngôn ngữ Tư duy được biểu hiện bằng ngôn ngữ Các quy luật, quy tắc,các sự kiện, các mối liên hệ và sự phụ thuộc được khái quát và diễn đạt trong các từ.Mặt khác những phát minh, những kết quả tư duy của người khác, cũng như kinhnghiệm cá nhân của con người đều là những công cụ để con người tạo ra cũng giúpchúng ta hiểu biết được những hiện tượng có trong hiện thực mà không thể tri giácchúng một cách trực tiếp được

+ Tính trừu tượng và khái quát của tư duy Tư duy có khả năng tách trừu tượngkhỏi sự vật hiện tượng, những thuộc tính, những dấu hiệu cụ thể cá biệt, chỉ giữ lạinhững thuộc tính thuộc bản chất nhất, chung cho nhiều sự vật hiện tượng rồi trên cơ

sở đó khái quát các sự vật và hiện tượng riêng lẻ khác nhau, nhưng có những thuộctính bản chất vào một nhóm, một loại phạm trù, nói cách khác tư duy mang tính chấttrừu tượng hóa và khái quát hóa Nhờ đặc điểm này mà con người có thể nhìn vàotương lai

+ Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ Tư duy của con người gắn liền vớingôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm phương tiện biểu đạt các quá trình và kết quả của tưduy Tư duy của con người không thể tồn tại ngoài ngôn ngữ được, ngược lại ngônngữ cũng không thể có được nếu không dựa vào tư duy Tư duy và ngôn ngữ thốngnhất với nhau nhưng không đồng nhất với nhau không thể tách rời nhau được

+ Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính Mối quan hệ này làmối quan hệ hai chiều: Tư duy được tiến hành trên cơ sở những tài liệu nhận thứccảm tính mang lại, kết quả của tư duy được kiểm tra bằng thực tiễn dưới hình thứctrực quan, ngược lại tư duy và kết quả của nó có ảnh hưởng đến quá trình nhận thứccảm tính Những đặc điểm trên đây cho thấy tư duy là sản phẩm của sự phát triểnlịch sử - xã hội mang bản chất xã hội

1.1.3 Các thao tác của tư duy

a Các giai đoạn hoạt động của tư duy

Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ nào đấy, nảysinh trong quá trình nhận thức hay hoạt động thực tiễn của con người Tư duy là mộthoạt động trí truệ có các giai đoạn sau:

Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề;

Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm;

Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết;

Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết;

Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra

b Các thao tác tư duy

Các giai đoạn của tư duy mới chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bênngoài của tư duy Còn nội dung bên trong nó diễn ra các thao tác trí tuệ, thao tác tưduy là những quy luật bên trong của tư duy Có các thao tác sau:

+ Phân tích và tổng hợp

Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, táchmột vật thành những bộ phận riêng lẻ Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những

bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống Phân tích và tổng hợp

là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thốngnhất

+ So sánh và tương tự

So sánh là sự xác định bằng trí óc giống hay khác nhau, sự đồng nhất haykhông đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật hiện tượng.Tương tự là sự phát hiện bằng trí óc sự giống nhau giữa các đối tượng để từnhững sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những sự kiện đối với các đốitượng kia

+ Trừu tượng hóa

Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm khôngbản chất (sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tương đối,

nó phụ thuộc vào mục đích hành động)

+ Khái quát hóa và đặc biệt hóa

Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơnchứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tửtrong tập hợp xuất phát Như vậy, trừu tượng hóa là điều kiện cần của khái quát hóa.Đặc biệt hóa là chuyển từ việc khảo sát một tập hợp các đối tượng đã cho sangviệc khảo sát một tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu.Khái quát hóa và đặc biệt hóa là hai mặt đối lập của một quá trình tư duy thốngnhất

1.1.4 Các loại hình tư duy

Trong quá trình học thì cái mà học sinh lĩnh hội được đó là cách tư duy Quaquá trình tư duy con người ý thức nhanh chóng, chính xác đối tượng cần lĩnh hội,mục đích cần đạt được và con đường tối ưu đạt được mục đích đó Khi có kỹ năng

tư duy thì người học có thể vận dụng để nghiên cứu các đối tượng khác Điều cầnthiết trong tư duy là nắm được bản chất của sự vật, hiện tượng từ đó vận dụng vàocác tình huống khác nhau một cách sáng tạo Thông qua hoạt động tư duy người học

có thể phát hiện ra vấn đề và đề xuất hướng giải quyết; biết phân tích, đánh giá cácquan điểm, các phương pháp của người khác đồng thời đưa ra ý kiến chủ quan, nêu

ra lí do, nội dung để bảo vệ quan điểm của mình

Trong quá trình học, học sinh có thể được trang bị, rèn luyện và phát triển cácloại tư duy:

+ Tư duy độc lập

Trong quá trình học tập, học sinh có thể được rèn luyện tư duy độc lập khiđược thực hiện các nhiệm vụ vừa sức với mình Từ đó gây hứng thú học tập cho học

sinh đồng thời tạo điều kiện cho học sinh nắm bắt vấn đề một cách tự nhiên theođúng quy luật của quá trình nhận thức Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng

tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết,

tự mình kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được

+ Tư duy logic

Tư duy logic là tư duy chính xác theo các quy luật và hình thức, không phạmphải sai lầm trong lập luận, biết phát hiện ra những mâu thuẫn Do đặc điểm củakhoa học Toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để rèn luyệncho học sinh tư duy logic

+ Tư duy trừu tượng

Phát triển tư duy trừu tượng cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng Tư duytrừu tượng được biểu hiện ở sự đi sâu suy nghĩ, ở trí tưởng tượng, ở việc nắm vữngbản chất và quy luật của các vấn đề toán học, vận dụng một cách sáng tạo vào giảiquyết vấn đề trong thực tiễn

+ Tư duy biện chứng

Tất cả các sự vật và hiện tượng đều xảy ra trong một quy luật biện chứng Do

đó, cần xem xét sự vật và hiện tượng trong mối quan hệ biện chứng, có tính quyluật Việc rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh cũng là một nhiệm vụ của mônhọc

+ Tư duy phê phán

Trong quá trình học tập, tư duy phê phán sẽ giúp cho người học luôn tìm đượchướng đi mới trong suy nghĩ và hành động, tránh rập khuôn, máy móc

+ Tư duy sáng tạo

Tư duy sáng tạo là một hình thức tư duy cao nhất trong quá trình tư duy, việc

tư duy sáng tạo giúp cho người học không bị gò bó trong không gian tri thức củangười thầy đặt ra Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ ở khả năng tạo ra cái mới:phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới

1.2 Một số định hướng tính khoảng cách trong không gian

1.2.1 Tính khoảng cách theo định nghĩa

a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, mặt phẳng.

M

P)

H M

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng V) làkhoảng cách MH, trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P)

+) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Phần này lưu ý học sinh: muốn tính được độ dài của đoạn AH, người ta thường

xem nó là chiều cao của tam giác ABC (với B, C thuộc đường ) Nếu tam giácABC vuông tại A thì tính độ dài AH như thế nào? có thể nhớ lại hệ thức trong tamgiác vuông: AH AB AC.

+ Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với (P)

+ Tìm giao tuyến d của (P) và (Q)

+ Trong (Q), kẻ MH vuông góc với a

b) Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.

K B

P)

H A

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảngcách từ 1 điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P)

Q)

K B

P)

H A

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm bất kìcủa mặt phẳng này đến mặt phẳng kia ( Định nghĩa 3- SGK Hình học nâng cao 11 -trang 114)

Phần này lưu ý với học sinh: để tính khoảng cách từ một đường thẳng, một

mặt phẳng đến một mặt phẳng song song, ta có thể quy về tính khoảng cách giữamột điểm và một mặt phẳng

c) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.

J

I

c

b a

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là độ dàiđoạn vuông góc chung của hai đường đó ( Định nghĩa 4 - SGK Hình học nâng cao

11 - trang 115)

Để dựng đường vuông góc chung ta có nhiều cách khác nhau

Trường hợp 1: 2 đường thẳng a và b vuông góc với nhau

Dựng mặt phẳng (P) chứa đường b song song với đường thẳng a, cắt đườngthẳng a tại M Từ M kẻ MN vuông góc và cắt đường thẳng a tại N Khi đó MN làđường vuông góc chung

Trường hợp 2:

Cách 1: a và b không vuông góc với nhau:

Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b song song với đường thẳng a, dựnghình chiếu a' của a lên b, a' cắt b tại M Từ M kẻ MN vuông góc và cắt đườngthẳng a tại N Khi đó MN là đường vuông góc chung

Cách 2:

Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) vuông góc với a tại O

Bước 2) Tìm hình chiếu vuông góc b1 của b trên mặt phẳng (P) Dựng hình chiếu vuông góc của O trên b1 là H

Bước 3) Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B

Bước 4) Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A thì đoạn AB là đoạn vuông góc chung

1.2.2 Sử dụng công thức chuyển đổi về khoảng cách

Cho hai điểm phân biệt A B, và mặt phẳng ( )P , A B, � ( )P  Khi đó:

- Nếu đường thẳng AB song song với ( )P thì d A P ;( ) d B P ;( ).

- Nếu đường thẳng AB cắt ( )P tại điểm I thì  

S



Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta có thể tính đường cao

của hình chóp, hình lăng trụ, từ đó ta có thể tìm được khoảng cách đó

1.2.5 Tính khoảng cách theo phương pháp sử dụng tích có hướng.

Cho tứ diện ABCD, ta có:

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Đường thẳng  1 đi qua điểm M1 và có véc tơ chỉ phương uur1

.Đường thẳng  2 đi qua điểm M2 và có véc tơ chỉ phương uuur2

1.3 Thực tiễn dạy học nội dung khoảng cách tại trường

Để thấy được thực trạng dạy và học nội dung khoảng cách trong các trườngTHPT ở Nghệ An, tôi điều tra mẫu trên trường THPT mà tôi đang giảng dạy vàtiến hành điều tra hai đối tượng là giáo viên và học sinh Quá trình điều tra thuđược kết quả như sau:

a Điều tra giáo viên

Bảng 1.1 Đội ngũ giáo viên toán của trường

Số lượng

Giáo viên

tạo Chất lượnggiảng dạy

1 –10 10 –20 Trên 20 Cao Đại Trên Trung Khá Giỏi

đẳnghọc ĐH bình

Qua điều tra trên cho thấy một số giáo viên có thâm niên công tác lâu nămnên có những kinh nghiệm nhất định trong công tác giảng dạy Do đó trình độcác bước lên lớp và phương pháp dạy bộ môn đều nắm vững Tuy nhiên, cũng cógiáo viên trẻ nên chưa có nhiều kinh nghiệm trong công tác giảng dạy

Qua thăm dò thực tế về nội dung và việc dạy khoảng cách của giáo viên trường chúng tôi thu được kết quả như sau:

Bảng 1.2 Đánh giá về nội dung “khoảng cách” trong chương trình

Kết quả điều tra cho thấy chương trình về “khoảng cách” của học sinhtrường là tương đối phù hợp, phân bố hợp lí, mức độ kiến thức trong chương trìnhtương đối phù hợp với học sinh

b Điều tra học sinh

Qua điều tra cho thấy học sinh trường phần lớn có lực học khá – giỏi.

Bảng 1.4 Đánh giá môn Toán và nội dung “khoảng cách”

1

Tính hứngthú học tập

“Khoảngcách”

Trước khi dạy thử nghiệm chúng tôi tiến hành kiểm tra 20 phút và sau khitiến hành dạy thử nghiệm xong rèn luyện các kỹ năng tính khoảng cách trong khônggian cho học sinh Dưới đây là đề kiểm tra và kết quả kiểm tra:

+) Lớp 12D3 và 12D4

Đề kiểm tra 20’ khảo sát học sinh đầu năm học 2020 – 2021

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O,

SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc 45 Tính theo a khoảng cách từ0điểm O đến mp(SCD) và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

Hình ảnh thực tế đề bài

Hình ảnh các em học sinh tham gia làm bài khảo sát

Kết quả khảo sát tại các lớp 12D3, 12D4

II GIẢI PHÁP ĐỂ RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH

2.1 Rèn luyện tư duy trí tuệ

Việc bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh cần được tiến hành trong mối quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, trừu tượng hóa…, trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng Rèn luyện cho học sinh những hoạt động đó là khâu quan trọng nhất trong dạy học tư duy toán học.

2.1.1 Rèn luyện tư duy phân tích – tổng hợp:

Trong mọi khâu của quá trình dạy học, giải toán, khai thác lớp các bài toán,năng lực phân tích và tổng hợp luôn luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinhnắm vững kiến thức và vận dụng chúng Các quá trình phân tích và tổng hợp là tổhợp những thao tác tư duy cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ lànhững dạng khác nhau của quá trình phân tích, tổng hợp Tư duy dù ở hình thứcnào đi chăng nữa cũng không thể tiến hành được nếu như không có phân tích vàtổng hợp Vì vậy, để rèn luyện và phát triển năng lực tư duy cho học sinh, chúng

ta cần coi trọng việc rèn luyện năng lực phân tích và tổng hợp Đó là những thaotác trái ngược nhau, nhưng chúng lại có một mối quan hệ chặt chẽ với nhau, là haimặt của một quá trình thống nhất

Trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia, ôn thi học sinh giỏi thì câu khoảng cách làm cho học sinh gặp không ít khó khăn, đây là bài toán mà nhiều học sinh không giải được Hoặc giải được cũng mất rất nhiều thời gian Nguyên nhân chủ yếu ở đây đó là các em nắm chưa vững khái niệm về khoảng cách, các em thiếu các phương pháp, kỹ năng thiếu các định hướng, tư duy để giải bài toán về khoảng cách Do đó, để hướng dẫn học sinh giải được bài toán này cần rèn luyện cho học sinh tư duy phân tích, tổng hợp Trong nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết phân tích các yếu tố đã cho để nhận biết đặc điểm riêng rồi tổng hợp lại để từ đó rút ra cách giải Về bản chất, hoạt động phân tích các giả thiết của bài toán, kết luận của bài toán nhằm tách bài toán đó thành một chuỗi hữu hạn các bài toán nhỏ đã biết cách giải Hoặc bài toán được chuyển thành bài toán khác đã biết cách giải Như vậy, cái đích của phân tích là “quy lạ về quen” Cụ thể ta xét một

số ví dụ sau:

Bài 1.1 (Bài toán mở đầu) [Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2020 – 2021]:

Cho hình lăng trụ ABC A B C 1 1 1 có đáy là tam giác đều cạnh bằng a và

BA BB BC a Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ABB A1 1

Định hướng 1: sử dụng định nghĩa

Phân tích:

+) Giả thiết cho chúng ta biết điều gì? Hình lăng trụ là hình như thế nào? Đáy

là tam giác đều có những tính chất gì? BA1BB1BC1 cho ta biết điều gì?

+) Từ kết luận tức yêu cầu của bài toán yêu cầu chúng ta cần làm gì? Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta có những cách nào?

+) Để tính khoảng cách theo định hướng sử dụng định nghĩa thì phương pháp dựng hình chiếu của một điểm đến một mặt phẳng như thế nào?

+) Đáy là tam giác đều cạnh a thì ta tính đươc AI, OI, 1 3

a

OI  CI  +) BA1BB1BC1a 3 gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C1 1 1

Vậy 1 2 2

11

BO IC a CE

Nhận thấy O là chân đường cao hạ từ B đến mặt phẳng A B C1 1 1, ta có thể tính khoảng cách từ O đến ABB A1 1 hay không?

Bài 1.2 (bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng) [Kỳ thi

THPT Quốc gia năm 2019 mã đề 101, câu 40]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là

hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng:

Bình luận: để tích khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chúng ta cần

rèn luyện cho học sinh tư duy phân tích, tổng hợp qua theo các định hướng khác nhau nhằm làm cho học sinh nắm vững các định hướng để tìm khoảng cách và qua

đó lựa chọn được phương án tối ưu để giải bài toán khoảng cách này.

Định hướng 1: Tính khoảng cách theo định nghĩa:

Phân tích:

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta cần làm gì?

Dựng hình chiếu điểm A đến mặt phẳng (SBD) ta dựng như thế nào?.

Từ giả thiết cho ta chân đường cao hạ từ S đến mặt phẳng ABCD là điểm H.

Để tính khoảng cách thì cần tính AI, tìm ra mối liên hệ của AI với giả thiết của bài toán?

Để tính đường cao trong tam giác ta cầm tìm những yếu tố nào?

Tổng hợp:

Gọi H là trung điểm AB, O là tâm của hình vuông ABCD Suy ra SH  (ABCD)

Gọi I là hình chiếu của A lên mặt phẳng (SCD) �AI BD�BDAOI Gọi

M OI �SD , G OA �HD , suy ra G là trọng tâm của tam giác ABD, SH / /GM do

cùng nằm trong mặt phẳng (SHD) và cùng vuông góc với BD

Nếu H là trung điểm AB thì có tính được khoảng các từ H đến (SBD) hay không?

7

a HK

Tổng Hợp:

Gọi O AC �BD , H là trung điểm của AB ta có SH ABCD ta có tứ diện

vuông SHBO vuông tại H Nên:

Định hướng 4: Dựa vào tích có hướng

A SBD

SB SD SA a d

x

y

Phân tích:

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta có thể tính đường cao của hình chóp, hình lăng trụ, do đó hãy tìm thể tích và diện tích đáy của hình chóp tương ứng?

7 7

Muốn làm được việc đó cần hướng dẫn học sinh chọn hệ trục tọa độ? Để gán

hệ trục tọa độ thì cần chọn gốc, trục tọa độ như thế nào? Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm Từ đó tính khoảng cách theo công thức.

Tổng hợp:

Gọi H là trung điểm của AB, I là trung điểm của CD Ruy ra SH ABCD

Vì tam giác SAB đều nên , ,

Gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBD) Khi đó:

Phương trình mặt phẳng (SBD) đi qua ;0;0

Bài 1.3 (bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau) [Kỳ thi

THPT Quốc gia năm 2018 mã đề 101, câu 29]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là

hình chữ nhật, AB =a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB bằng:

Định hướng 1: dựng đường vuông góc chung:

Phân tích: dựa vào quy trình dựng đường vuông góc chung, yêu cầu học sinh

thực hiện các bước để dựng, từ đó có thể tích được khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.

Kẻ BH AC tại H cắt AD tại E trên đường thẳng qua H song song với SA lấy điểm F sao cho tứ giác SAHF là hình chữ nhật I là hình chiếu của H lên BF Kẻ IM song song với AC cắt SB tại M kẻ MN song song với IH cắt AC tại N.

Phân tích: Thay vì tính khoảng cách bằng cách dựng đường vuông góc chung

giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm khoảng cách bằng cách dựng mặt phẳng chứa đường thẳng này song song với mặt phẳng kia.

Dựng điểm E sao cho ACBElà hình bình hành, khi đó: AC EB// �AC/ /SBE.

a S

uur uuur

Vậy  , 

3 ,

A SBD

SB AC SA a d

Định hướng 5: sử dụng phương pháp véc tơ

Gọi M, N lần lượt thuộc SB, AC ta có:

MN SA SM AN  y x AB y AD   x

Để MN là đường vuông góc chung của SB và AC ta có

Định hướng 6: sử dụng phương trình đường thẳng, mặt phẳng

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A0;0;0 ; B a;0;0 ; D 0;2 ;0 ;a  S 0;0;a

uur uuur

Mặt phẳng chứa AC song song với SB nhận nr2; 1;2   có phương trình:

 

2x y z   0 P