PHẦN NỘI DUNG
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN
1.1.1 Khái niệm về tư duy
Tư duy là quá trình nhận thức lý tính, phản ánh bản chất và mối liên hệ quy luật của sự vật trong thực tế Theo từ điển Triết học, tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất, diễn ra trong bộ não, phản ánh thế giới quan qua khái niệm, phán đoán và lý luận Tư duy xuất hiện trong hoạt động sản xuất của con người, giúp phát hiện mối liên hệ hợp quy luật và luôn gắn liền với lao động và ngôn ngữ Các quá trình tiêu biểu cho tư duy bao gồm trừu tượng hóa, phân tích tổng hợp, nêu vấn đề và tìm giải pháp, cũng như đề xuất giả thuyết và ý niệm Kết quả cuối cùng của tư duy luôn là một ý nghĩ cụ thể.
Tư duy do con người tiến hành với tư cách là chủ thể có những đặc điểm cơ bản sau:
Tư duy chỉ xuất hiện khi con người đối mặt với những tình huống có vấn đề, nơi mà các mục đích mới phát sinh và các phương tiện, phương pháp cũ không còn đủ hiệu quả Để kích thích tư duy, cá nhân cần nhận thức đầy đủ về hoàn cảnh vấn đề, biến nó thành nhiệm vụ tư duy của mình Điều này bao gồm việc xác định rõ những kiến thức đã có, những điều chưa biết, và nhu cầu tìm kiếm giải pháp mới.
Tư duy phản ánh các hiện tượng một cách gián tiếp thông qua ngôn ngữ, với các quy luật và mối liên hệ được diễn đạt bằng từ ngữ Những phát minh và kinh nghiệm cá nhân không chỉ là công cụ hỗ trợ mà còn giúp con người hiểu rõ hơn về những hiện tượng trong thực tế mà không thể tri giác trực tiếp.
Tư duy có khả năng trừu tượng hóa và khái quát hóa, cho phép con người tách biệt các thuộc tính cụ thể của sự vật hiện tượng, chỉ giữ lại những đặc điểm bản chất chung Nhờ vào khả năng này, tư duy giúp khái quát các sự vật và hiện tượng khác nhau vào những nhóm, loại phạm trù tương đồng, từ đó mở ra khả năng nhìn nhận và dự đoán tương lai.
Tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ chặt chẽ, với tư duy của con người luôn gắn liền với ngôn ngữ như một phương tiện biểu đạt Tư duy không thể tồn tại độc lập khỏi ngôn ngữ, và ngôn ngữ cũng không thể hình thành nếu không có tư duy Mặc dù tư duy và ngôn ngữ thống nhất nhưng không đồng nhất, chúng không thể tách rời nhau trong quá trình nhận thức và giao tiếp.
Tư duy và nhận thức cảm tính có mối quan hệ mật thiết và hai chiều; tư duy dựa trên tài liệu nhận thức cảm tính và được kiểm tra qua thực tiễn, trong khi kết quả tư duy cũng ảnh hưởng đến quá trình nhận thức cảm tính Điều này cho thấy tư duy là sản phẩm của sự phát triển lịch sử - xã hội và mang bản chất xã hội.
1.1.3 Các thao tác của tư duy a Các giai đoạn hoạt động của tư duy
Mỗi hành động tư duy là quá trình giải quyết nhiệm vụ, phát sinh từ nhận thức và hoạt động thực tiễn của con người Tư duy là hoạt động trí tuệ diễn ra qua nhiều giai đoạn khác nhau.
Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề;
Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm;
Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết;
Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết;
Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra. b Các thao tác tư duy
Các giai đoạn của tư duy chỉ thể hiện bề ngoài và cấu trúc bên ngoài của quá trình tư duy Trong khi đó, nội dung bên trong diễn ra các thao tác trí tuệ và quy luật tư duy Những thao tác này đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy.
+ Phân tích và tổng hợp.
Phân tích là quá trình tách rời một hệ thống thành các phần riêng lẻ, trong khi tổng hợp là hành động liên kết các phần đó thành một thể thống nhất Mặc dù phân tích và tổng hợp là hai hoạt động trí tuệ trái ngược, chúng lại bổ sung cho nhau trong một quá trình thống nhất.
+ So sánh và tương tự.
So sánh là quá trình nhận thức và xác định sự tương đồng hoặc khác biệt giữa các sự vật và hiện tượng, từ đó đánh giá tính đồng nhất hay không đồng nhất, cũng như mức độ bằng nhau hay không bằng nhau của chúng.
Sự phát hiện bằng trí óc cho phép nhận diện sự tương đồng giữa các đối tượng, từ đó dự đoán các sự kiện liên quan đến những đối tượng khác dựa trên thông tin đã biết.
Trừu tượng hóa là quá trình tách biệt những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không bản chất, với sự phân biệt này mang tính tương đối và phụ thuộc vào mục đích của hành động.
+ Khái quát hóa và đặc biệt hóa.
Khái quát hóa là quá trình chuyển đổi từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn, nhấn mạnh các đặc điểm chung của các phần tử trong tập hợp ban đầu, trong khi trừu tượng hóa là điều kiện cần thiết cho khái quát hóa Ngược lại, đặc biệt hóa là việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn nằm trong tập hợp ban đầu Hai khái niệm khái quát hóa và đặc biệt hóa thực chất là hai mặt đối lập của một quá trình tư duy thống nhất.
1.1.4 Các loại hình tư duy
Trong quá trình học, học sinh không chỉ lĩnh hội kiến thức mà còn phát triển kỹ năng tư duy, giúp họ nhận thức nhanh chóng và chính xác về đối tượng cần nghiên cứu, mục đích cần đạt và con đường tối ưu để đạt được mục tiêu đó Kỹ năng tư duy cho phép người học áp dụng kiến thức vào các lĩnh vực khác nhau, nắm bắt bản chất của sự vật và hiện tượng, từ đó sáng tạo trong việc giải quyết các tình huống Qua hoạt động tư duy, học sinh có khả năng phát hiện vấn đề, đề xuất giải pháp, phân tích và đánh giá quan điểm cũng như phương pháp của người khác, đồng thời đưa ra ý kiến chủ quan và lý do để bảo vệ quan điểm của mình.
Trong quá trình học, học sinh có thể được trang bị, rèn luyện và phát triển các loại tư duy:
Trong quá trình học tập, học sinh được khuyến khích rèn luyện tư duy độc lập, giúp họ nắm bắt vấn đề một cách tự nhiên Tính độc lập trong tư duy thể hiện qua khả năng tự phát hiện vấn đề, xác định phương hướng, tìm ra giải pháp và kiểm tra, hoàn thiện kết quả của mình.
GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH
2.1 Rèn luyện tư duy trí tuệ
Bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh cần gắn liền với các hoạt động trí tuệ như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa và trừu tượng hóa Trong đó, phân tích và tổng hợp là hai yếu tố nền tảng Việc rèn luyện cho học sinh những hoạt động này là khâu quan trọng nhất trong quá trình dạy học tư duy toán học.
2.1.1 Rèn luyện tư duy phân tích – tổng hợp:
Trong quá trình dạy học và giải toán, năng lực phân tích và tổng hợp đóng vai trò quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng chúng hiệu quả Các quá trình này là những thao tác tư duy cơ bản, tạo thành hoạt động trí tuệ đa dạng Tư duy không thể diễn ra nếu thiếu sự phân tích và tổng hợp Do đó, việc rèn luyện năng lực này cho học sinh cần được coi trọng, vì chúng là hai thao tác trái ngược nhưng lại có mối quan hệ chặt chẽ, tạo thành một quá trình thống nhất trong phát triển tư duy.
Trong quá trình ôn thi THPT Quốc gia và ôn thi học sinh giỏi, bài toán về khoảng cách thường gây khó khăn cho học sinh, bởi nhiều em chưa nắm vững khái niệm và thiếu phương pháp giải quyết Để giúp học sinh vượt qua thử thách này, cần rèn luyện tư duy phân tích và tổng hợp, giúp các em nhận diện các yếu tố của bài toán và rút ra cách giải Phân tích các giả thiết và kết luận của bài toán cho phép tách bài toán thành chuỗi các bài toán nhỏ đã biết cách giải, từ đó chuyển đổi bài toán khó thành bài toán quen thuộc hơn.
Bài 1.1 (Bài toán mở đầu) [Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2020 – 2021] :
Cho hình lăng trụ ABC A B C 1 1 1 có đáy là tam giác đều cạnh bằng a và
BA BB BC a Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABB A 1 1 ) Định hướng 1: sử dụng định nghĩa
Hình lăng trụ là một hình dạng không gian đặc trưng với đáy là tam giác đều, sở hữu những tính chất đặc biệt Các cạnh của đáy, bao gồm BA 1, BB 1 và BC 1, đều bằng nhau, cho thấy sự đối xứng và tính đồng nhất trong cấu trúc của hình lăng trụ này.
Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, chúng ta cần xác định các phương pháp phù hợp với yêu cầu của bài toán Những cách tiếp cận này có thể bao gồm việc sử dụng công thức hình học, xác định tọa độ của điểm và mặt phẳng, hoặc áp dụng các kỹ thuật toán học khác để giải quyết vấn đề một cách hiệu quả.
Để tính khoảng cách theo định hướng, cần sử dụng phương pháp dựng hình chiếu của một điểm đến một mặt phẳng Phương pháp này giúp xác định vị trí của điểm trong không gian và khoảng cách chính xác đến mặt phẳng đã chọn.
+) Đáy là tam giác đều cạnh a thì ta tính đươc AI, OI, 1 3
+) BA 1 = BB 1 = BC 1 = a 3 gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆ A B C 1 1 1 thì SO ⊥ ( A B C 1 1 1 ).
+) Để tích khoảng cách theo định nghĩa ta cần dựng hình chiếu của C lên mặt phẳng ( ABB A 1 1 ) , giả sử là điểm E.
+) Gọi F là trung điểm AB thì hai mặt phẳng ( CFA 1 ) ( / / BIC 1 )
+) Độ dài CE chính là độ dài đường cao của tam giác (CFA 1 ) Tức là độ dài đường cao từ C 1 của tam giác BC 1 I
Từ phân tích trên ta thấy để tìm khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABB A 1 1 ) ta chỉ cần tính độ dài đường cao của tam giác BC1I
CE = BI = Định hướng 2: Sử dụng công thức chuyển đổi về khoảng cách:
Vấn đề đặt ra là liệu có thể tính khoảng cách từ một điểm khác đến mặt phẳng (ABB A 1 1) một cách đơn giản hơn so với việc tính khoảng cách từ điểm C hay không.
Nhận thấy O là chân đường cao hạ từ B đến mặt phẳng ( A B C 1 1 1 ), ta có thể tính khoảng cách từ O đến ( ABB A 1 1 ) hay không?
Từ những phân tích trên ta có lới giải theo định hướng thứ 2 như sau:
Kẻ C H 1 ⊥ BI , mà C H 1 ⊥ A B 1 1 ⇒ C H 1 ⊥ ( A B BA 1 1 ) Vì CC 1 // ( A B BA 1 1 ):
∆ A BC là tam giác đều Suy ra :
Bài 1.2 (bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng) [Kỳ thi
Trong đề thi THPT Quốc gia năm 2019 mã đề 101, câu 40, bài toán yêu cầu tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBD trong hình chóp S.ABCD Hình chóp có đáy là hình vuông với cạnh a, và mặt bên SAB là một tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, học sinh cần rèn luyện tư duy phân tích và tổng hợp theo nhiều định hướng khác nhau Việc này giúp học sinh nắm vững các phương pháp tìm khoảng cách, từ đó lựa chọn được phương án tối ưu để giải quyết bài toán khoảng cách Định hướng đầu tiên là tính khoảng cách dựa trên định nghĩa.
Phân tích: Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta cần làm gì?
Dựng hình chiếu điểm A đến mặt phẳng (SBD) ta dựng như thế nào?.
Để tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ABCD, ta cần xác định điểm H là chân đường cao Việc tính AI và mối liên hệ của nó với giả thiết bài toán là rất quan trọng Để tính đường cao trong tam giác, cần xác định các yếu tố như độ dài các cạnh, diện tích và các góc của tam giác.
Gọi H là trung điểm AB, O là tâm của hình vuông ABCD Suy ra SH ⊥ ( ABCD ) Gọi I là hình chiếu của A lên mặt phẳng (SCD) ⇒ AI ⊥ BD ⇒ BD ⊥ ( AOI ) Gọi
M = OI ∩ SD , G OA HD = ∩ , suy ra G là trọng tâm của tam giác ABD, SH / / GM do cùng nằm trong mặt phẳng (SHD) và cùng vuông góc với BD
SH = GM = SH = AO = GO = AO =
= = = = Định hướng 2: Sử dụng công thức chuyển đổi về khoảng cách:
Vấn đề đặt ra là liệu chúng ta có thể tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến mặt phẳng (SBD) một cách đơn giản hơn so với việc tính khoảng cách từ điểm A.
Nếu H là trung điểm AB thì có tính được khoảng các từ H đến (SBD) hay không?
Gọi H là trung điểm AB Suy ra SH ⊥ ( ABCD ) và
Gọi I là trung điểm OB, suy ra IH / / OA (với O là tâm của hình vuông đáy).
Kẻ HK ⊥ SI ⇒ HK ⊥ ( SBD ).
⇒ = = = Định hướng 3: Sử dụng vào tính chất của tứ diện vuông:
Thay vì tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng cho bất kỳ hình đa diện nào, chúng ta có thể chuyển hướng sang việc tính khoảng cách cho một hình đặc biệt, đó là tứ diện vuông.
Gọi O AC = ∩ BD , H là trung điểm của AB ta có SH ⊥ ( ABCD ) ta có tứ diện vuông SHBO vuông tại H Nên:
H SBD A SBD d SH HO BH a a a a a a d d
⇒ = ⇒ = Định hướng 4: Dựa vào tích có hướng
Hãy chọn hệ trục tọa độ và gán tọa độ các điểm trong hệ trục tọa độ đó?
Gọi H là trung điểm của AB, N là trung điểm CD Do tam giác SAB đều cạnh a nên: 3 ; ;
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H ( 0;0;0 ; ) B a 2 ;0;0 ; ÷ N ( 0; ;0 ; a ) S 0;0; a 2 3 ÷ ÷
SB SD SA a d SB SD
uur uuur uur uur uuur Định hướng 5: dựa vào thể tích
Để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, ta cần xác định đường cao của hình chóp hoặc hình lăng trụ Do đó, việc tìm hiểu thể tích và diện tích đáy của hình chóp tương ứng là rất quan trọng.
Gọi H là trung điểm AB Suy ra SH ⊥ ( ABCD ) 3
⇒ = , O là tâm của hình vuông ABCD
SB a BD a = = SD = SH + HD = + = a
S SB SD BD SB SD BD SB SD BD SD SB BD a
⇒ = = = Định hướng 6 : dựa vào công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phảng khi biết phương trình mặt phẳng
Trong phần phương pháp tọa độ, chúng ta có công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Việc áp dụng công thức này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Để hướng dẫn học sinh chọn hệ trục tọa độ, cần xác định gốc và trục tọa độ một cách chính xác Việc viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm cũng rất quan trọng Từ đó, chúng ta có thể tính khoảng cách giữa các điểm theo công thức đã biết.
Gọi H là trung điểm của AB, I là trung điểm của CD Ruy ra SH ⊥ ( ABCD )
Vì tam giác SAB đều nên , ,
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: H ( 0;0;0 ; ) B 2 a ;0;0 ; ÷ N ( 0; ;0 ; a ) S 0;0; a 2 3 ÷ ÷
Gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBD) Khi đó:
Phương trình mặt phẳng (SBD) đi qua ;0;0
Bài 1.3 (bài toán tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau) [Kỳ thi
KẾT LUẬN
1 Quá trình nghiên cứu của đề tài. Đề tài được nghiên cứu bắt đầu từ đầu năm học 2020 – 2021 đến nay Trong quá trình nghiên cứu tôi đã nghiên cứu kỹ các đề thi của các năm và các đề thi thử THPT Quốc gia, tìm hiểu một số bài viết của một số thầy cô trên mạng internet Nghiên cứu kỹ về sách giáo khoa hình cơ bản và nâng cao của lớp 11, 12
Trong quá trình dạy học, việc tìm hiểu học sinh thông qua các cuộc thi như thi thử, thi học kỳ, thi THPT Quốc gia, thi HSG và thi tốt nghiệp THPT là rất quan trọng Những cuộc thi này không chỉ giúp đánh giá kiến thức mà còn phản ánh những khó khăn mà học sinh gặp phải trong việc tìm khoảng cách giữa lý thuyết và thực tiễn Việc nhận diện những thách thức này sẽ giúp giáo viên có phương pháp giảng dạy hiệu quả hơn, hỗ trợ học sinh vượt qua những trở ngại trong quá trình học tập.
Khi nhận thấy giáo viên thiếu công cụ và học sinh gặp khó khăn trong việc tìm khoảng cách, tôi đã suy nghĩ và tìm kiếm các giải pháp nhằm hỗ trợ cả học sinh và giáo viên vượt qua những thách thức này.
Tôi đã khám phá nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết các bài toán khoảng cách, đặc biệt là những câu hỏi trong đề thi THPT Quốc gia trong những năm gần đây.
Sau khi xác định các định hướng để tìm khoảng cách trong không gian, tôi đã tiến hành rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua các buổi học chính khóa và ôn thi.
Kết quả nghiên cứu được thể hiện rõ ràng thông qua khảo sát với các em học sinh, cho thấy sự hiệu quả của đề tài Đề tài đã xây dựng một hệ thống đầy đủ các kỹ năng cần thiết để tính toán khoảng cách trong không gian.
2 Ý nghĩa của đề tài Đề tài “Rèn luyện tư duy giải toán khoảng cách trong không gian theo những định hướng khác nhau’’ đã thu được những kết quả chính sau đây:
1 Làm rõ được vai trò quan trọng của việc rèn luyện và phát triển một số năng lực tư duy toán học cho học sinh Vai trò này được cụ thể hóa bằng việc phân tích, nhận xét từng vấn đề, từng khía cạnh đã trình bày.
2 Đ ề t à i đã phân tích rõ thực trạng của vấn đề r è n l u y ệ n một số năng lực tư duy toán học cho học sinh.
3 Xây dựng được một số ví dụ về tìm khoảng cách theo những định hướng khác nhau.
4 Xây dựng được một số biện pháp sử dụng các ví dụ về giải toán khoảng cách để phát triển một số năng lực tư duy toán học cho học sinh.5 Đã soạn được một số giáo án dùng cho thực nghiệm giảng dạy tại trường Xây dựng được một số đề kiểm tra nhằm đánh giá kết quả của việc áp dụng đề tài tại trường.
Từ những kết quả trên cho thấy nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài đã được hoàn thành, giả thuyết khoa học đặt ra trong đ ề t à i là chấp nhận được.
Tuy nhiên, do hạn chế về thời gian, năng lực và trình độ cá nhân, nghiên cứu này vẫn còn nhiều thiếu sót Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ các thầy cô, anh chị và bạn bè đồng nghiệp.
3 Kiến nghị đề xuất Đối với bộ giáo dục: có thể sử dụng đề tài để biên soạn sách giáo khoa theo hướng đổi mới, tăng cường về rèn luyện tư duy, giáo dục kỹ năng cho học sinh nói chung và kỹ năng tìm khoảng cách nói riêng. Đối với sở giáo dục và đào tạo Nghệ An: có thể triển khai rộng rãi đề tài để giúp cán bộ giáo viên dạy bộ môn hình học lớp 11, 12, ôn thi THPT Quốc gia có thêm nguồn tài liệu để hỗ trợ cho giảng dạy. Đối với học sinh: đây là nguồn tài liệu giúp học sinh nắm vững về lý thuyết, phương pháp tìm khoảng cách, cũng như rèn luyện cho học sinh những kỹ năng tư duy khác nhau để tìm khoảng cách trong không gian, trong các bài toán thực tế của đời sống.
Mặc dù tôi đã nỗ lực tìm tòi và rút ra kinh nghiệm, tôi vẫn rất mong nhận được sự giúp đỡ và ý kiến đóng góp từ các thầy cô và đồng nghiệp để hoàn thiện đề tài và nâng cao hiệu quả dạy học Xin chân thành cảm ơn!