đi tìm bất đẳng thức trong tứ diện vuông

đi tìm bất đẳng thức trong tứ diện vuông tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...

ĐI TÌM BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TỨ DIỆN VUÔNG

(Bài gửi đăng kỷ yếu HỘI THẢO, TẬP HUẤN QUỐC GIA CHO GIÁO VIÊN CỐT CÁN

CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN CHU KỲ 2011 – 2015, MÔN TOÁN)

Lê Lễ , GV THPT chuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận ĐT: 0976631898 E-mail:leeleexclqd@gmail.com

Tứ diện vuông là tứ diện có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh đôi một vuông góc Tứ diện vuông có các đẳng thức đơn giản liên hệ chiều cao, cạnh, góc và diện tích Trong bài viết này, tác giả kết hợp các đẳng thức đó với các bất đẳng thức cơ bản đưa đến một số bất đẳng thức thường xuất hiện trong các đề thi Olympic, đề thi học sinh giỏi

I.Bài toán mở đầu về đẳng thức Cho tứ diện vuông SABC.

SAa SBb SC , chiều cao SH=h c

Gọi , ,  lần lượt là góc giữa SH và SA, SB,

SC ( , ,   lần lượt cũng là góc giữa (ABC)

và (SBC), (SCA), (SAB) )

S S S S S S S S

Ta có:

1 12 12 12 12

3 cos2cos2cos2  1 (c)

4 tan2 tan2tan2 tan2tan2tan2  (d) 2

Chứng minh

1 Lưu ý H là trực tâm ABC Gọi { }K  AHBC ASKvuông tại S với đường cao SH 12 12 12

SA S

   BSCvuông tại S với đường cao SK

SK SB SC

2 12 12 12 12

a b c  h 9 22 9 22 9 22 9 22

c

V h



2

1

3 ( ) ( )a S ( ) c S ( )



2 3

2 2 1

3 12 12 12 12

a b c  h h22 h22 h22 1

    cos2 cos2cos2  1

4 cos2cos2cos2 1 1 2 1 2 1 2 1

1 tan  1 tan  1 tan 

tan  tan  tan  tan tan tan  2

II Một số kết quả về bất đẳng thức (Các đẳng thức đều xảy ra   a b c)

1 Ta có

2

1 2 3

1 2 3

2 2 2 2

(

2

)

h

S S S

h

S

A

B

C K

H minhpr93@gmail.com sent to www.laisac.page.tl

Theo Cauchy: 3

3

a b c  a b c ,ab bc ca33a b c2 2 2 2

1 2 3

2 9

h

S S S 

Kết quả 1.

2

1 2 3

2 9

h

S S S 

(Bài đề nghị Olympic 30/4-2010)

(1 1 1)(  S S S ) ( S S S )

3S  S S S SS S S

Kết quả 2. S1S2S3  3S

3 Ký hiệu r là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện vuông SABC, ta có

1 2 3

tp

r h a b c

     Theo Bunhiacopski, 2

a b c  a b c  h (sử dụng (a))

3

1 1 1

a b c h

rh h



Kết quả 3. h 1 3

r  

(Bài đề nghị Olympic 30/4-2002)

4 Kết hợp (a) và Cauchy 3

3

h  a b c  a b c ,(a b c)2 93a2 2 2b c

2 2

27

h a b

a b c

 



Kết quả 4 1 3 3

h a b c

 

5 Kết hợp 1 1 1 1 1

r     và a b c h 1 3 3

ha b c

 

r a b c a b c

    

 

r    a b c a b c

 

6 Cho a b c  3 Ta có

3( ) (a b c)( ) 9

a b c    a b c  1 1 1 3

a b c

   

Theo kết quả 5: 1 1 1 1 3 3

r    a b c a b c

3

6

r r



Kết quả 6 a b c  3, ta có 3 3

6

r 

(Bài đề nghị Olympic 30/4-2006)

7 Theo kết quả 5:

r    a b c a b c

 

max{ , , } max{ , , } max{ , , } m

3

3 ax{ , , }

max{ , , } (3 3) max{ , ,

3

r a b c

Kết quả 7 max{ , , } (3a b c   3)r

(200 bài thi vô địch Toán)

8 Ký hiệu R là bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện vuông SABC, ta có

2 2 2 1

2

R a b c

Theo 3 1 1 1 1 1 1 1 1 12 12 12

r        a b c h a b c a b c

2 2 2 2 2 2

abc

2 2 2 2 2 2

2 2 2

2

Sử dụng Cauchy:ab bc ca33 a b c2 2 2 , a b2 2b c2 2c a2 2  3 a b c3 4 4 4 và

3

2 2 2 3 2 2 2

3 2 2 2 3

3 2 2

4

2

4 4

3 2

3

2

a b c



Kết quả 8. 3( 3 1)

2

R r



(Bài đề nghị Olympic 30/4, 10 năm, 1995-2005)

9 Sử dụng Cauchy:

9

2

1

3 2

2

3 2

2

2

1

3

2 1

3 4 )

S

Kết quả 9

2

1

3 3 2

2

2

3 ) 4

S

S S S S S S

(Bài đề nghị Olympic 30/4-2010)

10 Sử dụng (c) và Bunhiacopski, ta có

1.cos 1.cos1.cos  (1 1 1)(cos  cos cos )

cos cos cos 3

Kết quả 10 cos cos cos  3.

11 Đặt xcos2,ycos2,zcos2 Từ (c), được , , 0

1

x y z

x y z





   

2

2

cos

y z







     Tương tự:tan2 , tan2 x

z

y

     

tan  tan tan  cot  cot  cot 

x y y z z x

y z z

x y y z z x

z x x y y

           

3 2

y z z x x

y

z

   (Nesbit)

2

        

2

          

(Bài đề nghị Olympic 30/4, 10 năm, 1995-2005)

12 Đặt xcos2,ycos2,zcos2 Từ (c), được , , 0

1

x y z

x y z





   

Do 1

3

1 3

x  y và y x cùng dấu (hoặc cùng bằng 0),

1

3

1

3

y  z và z y , 1

3

1 3

z  x và xzcũng vậy, nên

3x 3y y x 3y 3z zy (3z 3x x  Bất đẳng thức trên z

0

y z x z x y x y z

3x 3y 3z



3

3

x y z

     31 x 31 y 31 z 32 x 32 y 32 z

z

sin sin sin cos2 32 cos cos2 32 cos cos 2 2 cos

3  3  3         3 

Kết quả 12 sin2 sin2 sin2 2 2 cos2 2 2 cos2 2 2 cos2

cos 3 cos 3 cos

3 3  3            3  

(Bài đề nghị Olympic 30/4, 10 năm, 1995-2005)

13 Từ (c):cos2 cos2cos2 1sin2 sin2sin2  2

sin , sin , sin ,

2

m n p

m n p

16 97

m

4

16 97

n

4

16 97

p

4

Do đó

4

(2 ) 4 7

9

9

3

m n p

       a b c 3.h

(Bài đề nghị Olympic 30/4, 10 năm, 1995-2005)

14 Theo Bunhiacopski: (tantantan ) 23(tan2 tan2tan2)

tan tan tan

2

(tan tan tan ) 6

tan tan t na 3



cot cot cot tan tan tan )] co

cot cot cot cot cot cot ) cot cot cot

Kết quả 14 (cot cot cot cot  cot cot )  26cot2cot2cot2 3

(Bài đề nghị Olympic 30/4-2007) III Một số kết quả tương tự

sin sin sin sin sin sin 4

          

3

V h r

hrR

 

Phan Rang, ngày 15 tháng 6 năm 2011

Lê Lễ , GV THPT chuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận Nơi ở: 33-Mạc Thị Bưởi-Thành phố Phan Rang Tháp Chàm

ĐT: 0976631898 E-mail:leeleexclqd@gmail.com