Đề tài nghiên cứu bất đẳng thưc trong trường THPT

Trong đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó, để giải được các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng, còn phải

MỤC LỤC

A Mở đầu 2

B Cơ sở lý luận 4

C Nội dung đề tài 5

I Các bất đẳng thức cơ bản 5

1 Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối 5

2 Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân 5

3 Bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacovski 6

II Phương pháp chứng minh 6

1 Phương pháp chứng minh cơ bản 6

2 Mở rộng cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi 17

III .Bài tập vận dụng và đề thi 37

1 Bài tập cơ bản 37

2 Bài tập nâng cao 40

3 Một số bất đẳng thức trong các đề thi đại học vừa qua 43

D Kết luận 45

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài

Toán học là một khoa học tự nhiên, toán học ra đời từ rất sớm nhằm đáp ứng nhu cầu đo đạc ruộng đất và xây dựng nhà cửa Càng ngày xã hội loài người càng tiến dần lên ở mức độ cao hơn và đến nay đang đang ở trình độ cao nhất từ mà loài người chưa từng có Do đó toán học củng không nằm ngoài quy luật phát triển từ sơ khai đến hiện đại

Toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú Trong đó các bài toán về bất đẳng thức là những bài toán khó, để giải được các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng, còn phải nắm được các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗibài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể

áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau, cũng có bài phải phối hợp nhiều phươngpháp một cách hợp lí mới giải được

Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải vàbiện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc biệt, tìm giá trị lớn nhất, nhỏnhất của biểu thức và đề thi học sinh giỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thường cóbài toán bất đẳng thức, trong khi đó sách giáo khoa phổ thông lại trình bày Vì vậy học sinhcần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức

Trong thực tế ở trường THPT, học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về bất đẳng thức, vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường không có cách giải mẫu, không theo một phương pháp nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải bài toán Mặt khác vì nhận thức của học sinh THPT còn có nhiều hạn chế và khả năng tư duychưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải cácdạng bài tập khác

Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giới thiệu các tính chất cơ bản, một sốphương pháp hay được sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức như: dùng định nghĩa, biến đổitương đương, dùng các bất đẳng thức đã biết, phương pháp phản chứng, tam tức bậc hai , một

số bài tập vận dụng và các ứng dụng của bất đẳng thức nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khigặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức, giúp học sinh có thể tự địnhhướng được phương pháp chứng minh, giải các bài toán liên quan và hứng thú hơn khi học vềbất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung

Qua chuyên đề “bất đẳng thức trong trường THPT” chúng tôi muốn giúp học học sinh cóthêm một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó là lý do tôi chọn đè tài này, khinghiên cứu không tránh khỏi những sai sót mắc phải rất mong được sự góp ý của các thầy côgiáo, các bạn để đề tài hoàn thiện hơn, tôi xin chân thành cảm ơn!

II Nhiệm vụ nghiên cứu

- Kỹ năng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức

- Kỹ năng vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán: tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏnhất, giải hệ phương trình, phương trình nghiệm nguyên, phương trình vô tỉ

III Đối tượng nghiên cứu.

- Học sinh trung học phổ thông

- Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của nó

IV Phương pháp nghiên cứu:

Qua quá trình học tập từ trước đến nay, tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút, tổngkết kinh nghiệm, kiểm tra kết quả kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy,điều tra trực tiếp thông qua các giờ học, thể hiện trên nhiều đối tượng học sinh khác nhau: họcsinh giỏi, khá và học sinh trung bình về môn toán

V Nội dung:

- Các bất đẳng thức cơ bản

- Các phương pháp chứng minh

+ Phương pháp chứng minh thông thường

+ Mở rộng cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi

- Bài tập vận dụng và đề thi

+ Bài tập cơ bản

+ Bài tập nâng cao

+ Một số bất đẳng thức trong các đề thi đại học vừa qua

B CƠ SỞ LÝ LUẬN

Để giải được bài toán đòi hỏi mỗi người phải đọc kỹ bài toán xem bài toán yêu cầu cái gì,

phải sử dụng những phương pháp nào để giải, đã gặp bài toán nào đã giải có dạng tương tự như bài toán đó hay không để từ đó có thể tìm ra cách giải Đối với học sinh việc vận dụng khiến thức lý thuyết, nhận dạng bài toán để tìm ra cách giải chưa được rèn luyện nhiều đôi lúc trình bày vấn đề này còn sơ sài

Khi nghiên cứu về bất đẳng thức ta thấy rằng nó thật sự có tác dụng rèn luyện và phát huykhả năng tư duy để giải toán không chỉ riêng gì bất đẳng thức mà còn giải các dạng toán khác bởi muốn giải được nó đòi hỏi phải thật sự có một kiến thức toán học rất lớn

Phương pháp để giải các bài toán bất đẳng thức không ở đâu xa xôi ngoài chương trình của các em Nhưng việc các em vận dụng nó như thế nào đó là vấn đề cốt lỏi Muốn làm đượcđiều đó đòi hỏi học sinh phải thật sự nắm vững kiến thức, phải có lập luận lôgic, xét đầy đủ các mặt khác nhau của bài toán, nhận dạng được bài toán Đặc biệt các học sinh khá giỏi phải linh hoạt, sáng tạo không chỉ giải được bài toán mà còn phải khái quát được dạng của nó để đưa ra phương pháp chung cho các bài toán khác tuơng tự

Khi giảng dạy cho học sinh các giáo viên phải rèn luyện cho các em nắm chắc phần lý thuyết, đưa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, các bài tập vận dụng, nên chú ý tạo cho các em cách nhìn nhận một bài toán để giải không nên giải tắt, làm tắt tạo cho học sinh khó hiểu thậm chí không hình thành được lôgic của toán học

Thời lượng chương trình dành cho bất đẳng thức ở phổ thông cơ sở là hạn chế Do đó việc học tập và vận dụng thành thao cho các em sẻ khó khăn đói với các em có học lực trung bình, khá

Bên cạnh đó, chúng ta cần phải mở rộng và nâng cao một số kiến thức để các em có thể phát huy hết khả năng tư duy, sáng tạo của mình

C NỘI DUNG ĐỀ TÀI

i

i i



 (*)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b

Vậy (*) đã được chứng minh

Ta mở rộng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân cho n số thực không âm:

1, , ,2 n , , , ,1 2 n 0

1 1

n

i

n i i

Vậy (*) đã được chứng minh

Ta mở rộng bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacovski cho 2n số thực:

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi: a i k b i i, 1, ;n k 

II Các phương pháp chứng minh

1 Phương pháp chứng minh thông thường

a Phương pháp dựa vào định nghĩa

Để chứng minh A B , ta làm như sau:

b Phương pháp chứng minh trực tiếp

Để chứng minh A B , ta làm như sau:

- Biến đổi vế phức tạp, thường là vế trái:

Để chứng minh A B , ta làm như sau:

- Biến đổi riêng từng vế rồi so sánh kết quả Suy ra điều phải chứng minh:

d Dùng phép biến đổi tương đương

Để chứng minh A B , ta làm như sau:

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh đúng

Chú ý các bất đẳng thức sau:

- Bình phương của tổng, hiệu

- Lập phương của tổng, hiệu

Dùng tính chẩt của bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức cần chứng minh

về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn

- Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:

-Phương pháp chung để tính tích hữu hạn P n u1 2u u n là biểu diễn số hạng tổng

quát u về thương của 2 số hạng liên tiếp nhau k

1

k k k

a u

i i n

f Phương pháp lượng giác

Sử dụng điều kiện của biến x  k k0

Khi đó:

3cos9

4sin12sin

g. Dùng bất đẳng thức trong tam giác

Nếu , ,a b c là số đó 3 cạnh của một tam giác thì a,b,c>0 và

h Dùng phương pháp quy nạp

Để chứng minh bất đẳng thức T n : n   ta thực hiện các bước sau: 

- Chứng minh bất đẳng thức T 1 đúng (kiểm tra mệnh đề đúng với số nhỏ nhất)

- Kiến thức: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng, ta hãy giả sử bất

đẳng thức đó sai, sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều

+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết

+ Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng

+ Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau

+ Phủ định rồi suy ra kết luận

11

x x

 

l Dùng tam thức bậc 2

 +Nếu  0 lập bảng xét dấu

Định lí đảo về dấu cho tam thức bậc 2:

m. Dùng đạo hàm (tính đơn điệu của hàm số)

Hàm số f x  liên tục trên a b,  và có đạo hàm trên a b, 

+ Nếu f x   0 với mọi x thuộc a b,  thì hàm f x  tăng trên a b,  Khi đó

- a b a b

.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b , cùng phương

Ví dụ 1:

Cho ABC , chứng minh rằng: cos 2 cos 2 s 2 3

2co

2 2

z yz y

y xy x

có nghiệm

Chứng minh rằng:

8

xy yz zx  

2 Mở rộng cho việc bồi dưỡng HSG

a) Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân

i) Ta mở rộng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân cho n số

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi: a1a2   a n

ii) Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân

2

2

*1

b a b

n n

n

Bất đẳng thức này được chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo n

 Nếu thay giả thiết a b 1 bằng giả thiết a b   , ta có bất đẳng thức sau:

2

2 12

n n n

n

 Một sự hạn chế của phương pháp này là chỉ chứng minh được cho trườnghợp số mũ của a và b là số chẵn Bây giờ, cho a và b là các số dương thỏa

Ta nhận thấy rằng đây là các bất đẳng thức đối xứng, nên đẳng thức xảy ra

khi và chỉ khi a b Do đó nếu a b 1 thì chắc chắn đẳng thức xảy ra khi:

12

a b 

Từ đó giúp ta hình thành một cách chứng minh như sau:

a) Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân, ta có:

1 3

2 414

a b a

a b

Và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1

2

a b Tổng quát: Cho a và b là hai số thực dương và a b   Khi đó ta có:

n n

3

1

3 9 3

n n

 Từ các trường hợp riêng trên, ta thử tổng quát thành một bài toán lớn:

Bài toán: Cho k số thực dương a1, , ,a2 a thỏa k a1a2 a k 

a k

n n

c a

b c

b

 

Mục đích của việc ghép này là làm mất các biến ở mẫu vì vế phải của bất đẳng thức là một biểu thức không chứa biến ở mẫu Nhưng tại sao lại ghép

b c hay

2

b c,… điều này xuất phát từ điều kiện để đẳng thức xảy ra là

a b c

 Nếu abc  thì 1 a b c  3 nên bất đẳng thức trở thành:

.2

Suy ra điều phải chứng minh.

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi: 1 .

2

Ví dụ 2 ( Bất đẳng thức Nesbit ):

Cho , ,a b c  0Chứng minh rằng:

3.2

b c c a a b     

Chứng minh:

1 1 1 12

9.4

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1a2  ,a b n 1b2  b n

Hệ quả: Nếu a1, , ,a2 a là các số thực dương có tổng bằng n thì n

21

124

1

2 4

27 2 12

2

)1

Từ (i) và (ii), ta thấy (1) đúng

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1

t 

(2) Trên thực tế dùng phương pháp dồn biến ta nên thực hiện (ii) trước để

có thể thấy dấu bằng xảy ra ở chỗ nào Từ đó có hướng xử lý thích hợp Hơn nữa bước (ii) là bước dễ, có thể thực hiện bằng phương pháp khảo sát hàm Nếu (ii) sai thì phương pháp dồn biến không thực hiện được (3) Ở bước (i) ta cần chứng minh (2) Trên thực tế không phải lúc nào (2) cũng đúng Một cách khắc phục là dùng tính đối xứng để giả thiết một bất đẳng thức dạng (*) mà dùng nó, ta chứng minh được (2)

(4) Việc đặt t như (**) phụ thuộc điều kiện ban đầu của bài toán

3.2

b c c a a b     2) Cho a b c , , 0

Định nghĩa 1:

Một song ánh : 1; 2; ; n 1;2; ;n được gọi là một hoán vị của tập

1;2; ; n 

Đặt I n 1,n;n*.Tập tất cả các hoán vị của I được gọi là n S hoặc n P n

Cho f là hàm của n biến thực x1,x2, , x n f được gọi là hoàn toàn đối xứng khi và chỉ khi:

- Phương pháp SOS đặc biệt hữu ích khi chứng minh bất đẳng thức ba biến

Từ đó (*) là đúng nếu ta chứng minh được: 0

0

b c

b a

S S

b c

b a

S S

S S

S S

b c S S S S

Giả sử f A B C là biểu thức chứa các hàm số lượng giác của các góc trong , , 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ A B

ii)  

3

32

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A B C 

 Để hiểu thêm về cách giải bất đẳng thức lượng giác trong tam giác, ta xét ví

2 1

1 cos

1 1

2 2

Trường hợp ABC tù hoặc vuông:

3) cos cos cos  

2

1 34

 ta có sinx, cosx 0;1Suy ra:

Suy ra: A  2 2Cho x 0khi đó:

2 2

A A A

Ví dụ 2:

01

T T

 20

1.5) Cho ,a b   , thỏa a b 0

Chứng minh rằng:

a b a   3b3 a5b54a9b9 1.6) Cho a b c , , 0;

Chứng minh rằng:

c

c a

b b

Chứng minh rằng:

a b

ab a b 1.15)   a

Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Chứng minh rằng:

3 x yy zz x x y y z z x xy z x y z  2.19) Cho x y z , , 0;

0

1x 1y 1z  2.21) Cho x x1, , ,2 x  n 0;1 và  là một hoán vị của 1;2; ; n

i i

Chứng minh rằng:

1 1

11

(Đề Toán khối B năm 2003)

3.3) Cho ABC không tù, thỏa:

cos 2A2 2 cosB2 2 cosC3

(Đề Toán khối A năm 2005)

3.5) Cho ,x y   thay đổi.

Tìm giá trị nhỏ nhất của:

(Đề Toán khối B năm 2006)

3.6) Cho x y  , \ 0 thay đổi, thỏa:

(Đề Toán khối A năm 2006)

3.7) Cho x y z , , 0;, thỏa xyz  1

D TỔNG KẾT

Các bài tập về bất đẳng thức thường là tương đối khó đối với học sinh Nhưng với đề tàinày chúng tôi hy vọng có thể góp phần giúp các em cảm thấy dễ dàng hơn trong việc giải cácbài toán về bất đẳng thức Đồng thời, đứng trước các bài toán khó dù ở dạng bài tập nào, các

em cũng có hướng suy nghĩ và tự tin hơn

Đề tài còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự ủng hộ của thầy cô và các bạn để đề tài ngàycàng hoàn thiện hơn

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn cô Ngô Thị Bích Thủy, thầy Nguyễn Duy Thái Sơn đãnhiệt tình giúp đỡ chúng tôi hoàn thành đề tài này

Đà Nẵng, ngày 1 tháng 5 năm 2010 Nhóm sinh viên thực hiện

PHỤ LỤC

Bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacovski 6, 22

Bất đẳng thức Chebychev 24

Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối 5

Bất đẳng thức lượng giác trong tam giác 31

Bất đẳng thức Nesbit 24

Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân 5, 18 Phương pháp: Bài toán giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất 35

Bất đẳng thức trong tam giác 11

Biến đổi tương đương 8

Chứng minh trực tiếp 7

Dồn biến 25

Dựa vào định nghĩa 6

Đạo hàm 16

Làm trội 9

Lượng giác 10

Miền giá trị hàm 14

Phản chứng 12

Quy nạp 12

So sánh 8

SOS 28

Tam thức bậc hai 15

Tính chất hàm lồi 13

Vec-tơ 17