sáng kiến kinh nghiệm trong dạy học bất đẳng thức

sáng kiến kinh nghiệm trong dạy học bất đẳng thức tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn v...

BẤT ðẲNG THỨC-“THẬT ðƠN GIẢN”

I.Lý do chọn đề tài

Khi giải các bài toán đặc biệt là các bài toán về các bất đẳng thức tôi nhận thấy các em thường:

+ Các em thường sợ các bất đẳng thức bỏ qua và khụng cú hứng thỳ bởi vỡ tụi nhận thấy ở cỏc em:

+Lúng túng thụ động không biết từ đâu,phân tích bài toán như thế nào ?

+Không nắm vững các bất đẳng thức quan trọng cũng như các hệ quả của các bất đẳng thức như côsi, bunhiacopski ,v…v…

+ Khụng nắm ủược một số bất ủẳng thức ủơn giản thường gặp và cú nhiều ứng dụng

+Khi giải được bài toán rồi thì dừng lại, không tiếp tục tìm tòi khai thác, biến

đổi thay đổi giả thuyết và giải bài toán bằng nhiều cách, từ đó nếu có thể suy ra bài toán tổng quát

Để khắc phục được hạn chế trên, định hướng các em tư duy lôgíc Tôi mạnh dạn đưa

ra một vài kinh nghiệm nhỏ trong bài viết này hy vọng các em học tập hiệu quả hơn bằng cách tiếp cận vấn ủề bằng một bất ủẳng thức hết sức quen thuộc, dễ chứng minh

dễ nhớ và ủặc biệt cú rất nhiều ứng dụng ở lớp 10 cũng như ở chương trỡnh phổ thụng Bài toỏn: Với hai số dương x và y ta cú: 1 1 1( 1)

4

x y ≤ x + y

+ (1)

ðẳng thức xảy ra khi x =y

Bất ủẳng thức (1) cú nhiều cỏch chứng minh ở ủõy ủưa ra hai cỏch chứng minh phổ biến nhất

Cỏch 1 Với hai số dương x và y ta cú:

(x + y)2≥ 0 ⇒(x + y)2 4 1 1 1( 1)

4

xy

+

Rừ ràng, ủẳng thức xảy ra khi x = y

Cỏch 2 ỏp dụng bất ủẳng thức Cụ-si cho hai số dương ta cú

x + y ≥2 xy, 1 1 2 1 1 2

x + ≥y x y = xy

Từ ủú: (x+ y)(1 1) 4 1 1 1( 1)

4

x + y ≥ ⇒ x y ≤ x + y

+

Và ủẳng thức xảy ra khi x =y

Tổng quỏt: Cho hai số x, y dương và a, b là hai số bất kỡ ta cú:

+

( )2

2 2

+

+

Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi a b

x = ( chứng minh bất ủẳng thức này cũng cú nhiều y

cỏch chứng minh xin dành cho bạn ủọc)

II Biện pháp thực hiện

Để làm được việc này cần có nhiều việc phải làm

Thứ nhất: yêu cầu và rèn luyện cho học sinh nắm vững các lý thuyết cơ bản như côsi,bunhiacopski,trêbưsep,v…,v…và các cách chứng minh thông thường

Thứ hai: Khi cho các em làm bài tập tôi đặc biệt hướng cho các em phân tích các bài toán bằng cách trả lời câu hỏi:

-Vai trò các số hạng nhân tử có bình đẳng không?

-Bất đẳng thức có xảy ra dấu bằng không? Nếu xảy ra thì thì các số hạng phải thoả mUn điều kiện nào Từ đó cho phép áp dụng bât đẳng thức hợp với giả thuyết của bài toán

Thứ ba : Khuyến khích các em biến đổi các bất đẳng thức về bất đẳng thức quen thuộc đặc biệt là bất dẳng thức (1)

Thứ tư: Sau khi khuyến khích các em giải bài toán theo nhiều cách, nhiều công

cụ Tổng quát bài toán.Công việc này rất có lợi cho tư duy cũng như khả năng tổng hợp kiến thức của các em

III Phạm vi nghiên cứu

Sáng kiến này được thực hiện ở các lớp khối tại trường THPT Triệu Sơn 4

V Thực hiện

Bài toỏn 1 Cho ba số dương a, b, c, ta cú:

1 1 1 1 1( 1 1)

2

a b +b c +c a ≤ a + +b c

ðẳng thức xảy ra khi a = b = c

Áp dụng (1) ta cú ngay ủiều phải chứng minh

* Phỏt triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta ủược:

a b c +b c a +c a b ≤ a b +b c +c a

* Kết hợp (2) và (3) ta cú

Bài toỏn 2 Với a, b, c là cỏc số dương:

1 1 1 1 1( 1 1)

a b c +b c a +c a b ≤ a + +b c

ðẳng thức xảy ra khi a = b = c

Chỳ ý: Nếu thờm giả thiết 1 1 1 4

a + + = thỡ bài toỏn 2 là nội dung cõu V, ðề thi b c

ðại học và Cao ủẳng khối A, năm 2005

Bài toán 3 Chứng minh rằng với a, b, c dương:

a b c +b c a +c a b ≤ a b +b c +c a

Giải: Vận dụng bất ñẳng thức (1) ta có:

a b +b c a ≥ a b b c a = a b c

b c +c a b ≥ b c c a b =b c a

c a +a b c ≥ c a a b c = c a b

Cộng vế với vế các bất ñẳng thức trên và rút gọn ta có bất ñẳng thức (5)

ðẳng thức xảy ra khi:

b c c a b a b c







 + = + +



Bài toán 4 Hãy xác ñịnh dạng của tam giác ABC nếu các góc của nó luôn

thỏa mãn ñẳng thức sau:

Giải: ðặt x = tg , ,

y=tg z =tg thế thì x, y, z dương và xy + yz + zx=1

yz + zx+ xy = xyz

Ta có:

1 4

yz = xyz

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z hay tam giác ABC ñều

Bài toán 5 Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 0, x +

1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0 Hãy tìm giá trị lớn nhất của

Q

Giải: ðặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0 Ta có: a + b + c = 6

và

Q a 1 b 1 c 4 3 1 1 4

Theo bất ñẳng thức (1) ta có:

3

8 1 3

3 3

Q

⇒ ≤ − =

ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

6

a b

=

 + + =  =  = −



Vậy: 1

3

MaxQ = ñạt ñược khi

1 2 1

x y z

 = =





 = −



víi x, y, z lµ c¸c sè d−¬ng DÊu b»ng s¶y ra khi nµo ?

Gi¶i :

( )2

x

+

;

+ + Céng tõng vÕ bÊt d¼ng thøc trªn ta cã bÊt d¼ng thøc cÇn chøng minh Dêu b»ng s¶y ra khi vµ chØ khi x=y=z=1

Bài toán 7 : Cho 3 số thực dương a, b và c thoả :ab+bc+ca = abc chứng minh rằng :

1

ab a b bc b c ca c a

Giải: ta có ab+bc+ca = abc 1 1 1 1

⇔ + + = Đặt x 1; y 1; z 1 x+y+z=1

Khi đó ta có:

2

xy x y

x y

+

+

+

Tương tự ta có

≥

Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có

1

x y z

ab a b bc b c ca c a

Suy ra điều phải chứng minh

Bài toỏn 8: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

A x t t y y z z x

Với x, y, z, t là cỏc số dương

Giải : Ta cú:

4

4 0

A

+ + +

+ + +

Vậy MinA=0 khi x = y = z = t

Trên ñây là một số bài toán áp dụng bất ñẳng thức (1) sau ñây là một số bài tập tương tự:

Bài 1 Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh các bất ñẳng thức:

2 /

Bài 2 Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện

abc = ab + bc + ca thì:

1 1 1 17

a b c + b c a + c a b <

Bài 3 Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của:

1 2 4

2 2

xy

+

Bài 4. Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không ñổi), BC = a, CA =

b, AB = c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

T

Bài 5. Cho tam giác ABC có chu vi 2p=a+b+c (a,b, c là ñộ dài 3 cạnh) Chứng minh rằng:

1 1 1 2 1 1 1

III Mở rộng

Cho x, y,z là ba số dương chứng minh rằng:

( )

9

x y z ≤ x + +y z

+ + ;Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi x=y=z

Tổng quát:

Cho ba số a, b, c bất kì, x, y, z la ba số thực dương ta có:

( ) ( )2

2 2 2

6

+ +

+ + .(Bất ñẳng thức s-vac) Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi

x = y = z

Chứng minh:

Áp dụng bất ñẳng thức bunhiacopski ta có:

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

 + +  + + =  +  +   + + 

 

 

≥ + +

Từ ủú suy ra ủiều phải chứng minh

IV Áp dụng

Bài toỏn 1: Chứng minh rằng :

2 2 2

a b c

b + c + a ≥ + + với a, b, c là các số thực dương

Giải:áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :

2 2 2 a b c

a b c

+ +

+ + Suy ra điều phải chứng minh Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi a b c a b c

b = c = a ⇔ = =

Bài toỏn 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

3 3 3 3 3 3

B

+ + + trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa mUn 1

a+ + =b c

Giải:

áp dụng bất đẳng thức (6) ta có:

2

3 3 3

2 2

a b c

B

đẳng thức Bunhiacovski ta có :

2 2

1

9

Vậy 1

18

B ≥

Bài toỏn 3 : Cho các số thực dương x, y, z, t thỏa mUn xyzt=1 chứng minh rằng

3

x yz zt ty + y xz zt tx + z yt xt xy +t yz zx xy ≥

Giải:

đặt x 1; y 1; z 1; t=1

= = = , theo bài ra ta có abcd = 1 và

2 3

3

a

; tương tự ta có :

y xz zt tx = a c d z yt xt xy = a b d t yz zx xy = a b c

Công các vế bất đẳng thức trên ta có :

2

4

3

x yz zt ty y xz zt tx z yt xt xy t yz zx xy

a b c d

b c d a c d a b d a b c a b c d

a b c d abcd

+ + +

+ + +

(Mở rộng tự nhiờn bất ủẳng thức (6) cho bốn số)

Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi

1

= = = =









Bài toỏn 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B

+ + + , trong đó a, b, c là các số thực dương thỏa

điều kiện ab+bc+ca=1

Giải:

áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :

2

4 4 4

2

4 4 4

4 4 4 2 2 2 2 2 2

B

a b c a b b c a c

=

Xét biểu thức 2 2 2 2 2 2

a b +b c +a c Theo bất đẳng thức Bunhiacovski ta có :

2 2 2 2 2 2 4 4 4

B

Mát khác cũng theo bất đẳng thức Bunhiacovski ( )2 4 4 4

1= ab+bc+ca ≤a +b + c

Bài toỏn 5 : Cho x,y,z>0 và thoả : 2 2 2 1

3

x + y +z ≥

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của:

3

y

Nhận xét: Các số x, y, z có vai trò bình đẳng dự đoán dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi chúng bằng nhau và bằng 1

3 Giải: áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :

1

30

1 3 1

3



















Bài toỏn 6 : Cho a,b,c>0 và thoả : a.b.c = 1

Chứng minh rằng:

3

a b c b c a c a b

Nhận xét: -Các số x, y, z có vai trò bình đẳng dự đoán dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi chúng bằng nhau và bằng 1

- Để đơn giản biểu thức ta có thể đặt a 1; b 1; c 1

Giải: Đặt a 1; b 1; c 1

= = = Theo giả thiết ta có: xyz = 1

Ta có

2 3

3

x

x y z

( )

2 3

3

y

y x z

2 3

3

z

z y x

+

Do đó áp dụng bất

đẳng thức (6) ta có :

2

2

2

2

y

b c a

xyz

+

+ +

Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi x= = =y z 1

Bài toỏn 7 : Cho 3 số thực dương x,y,z >o thoả : x+ + ≥ Tỡm GTNN của y z 3

A =

2

x yz + y zx + z xy

Giải: áp dụng bất đẳng thức (6) ta có :

2

x yz y zx z xy x y z yz zx xy

+ +

có yz + zx + xy ≤ + + x y z

2

3

x y z

x y z x y z

x yz y zx z xy

+ + + + +

Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi

3

1



 + + =







Bài toán 8 : Với x, y, z là số dương và x y z ≥ 1

2

Hướng dẫn

ðặt a = x b, = y c, = z

Bài toán trở thành : a, b, c là số dương và a b c ≥ 1

Chứng minh rằng :

3 2

Áp dụng bất ñẳng thức trên ta có

+ +

Bình phương hai vế bất ñẳng thức:

2

2

2

2

4

2

(3)

VT

a b c

a b c

+ + + + +  + + − + + 

+ +

≥

 + + − 

3

ðặt ( )2

t = a b+ +c thì t ≥9 ( vì 3

a b+ + ≥c abc ≥ )

Ta có:

2

3 15 3 3 3.9 15 3 3 9

(5 ') (4 ')

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1⇒ñiều phải chứng minh

Tổng quát : ta có bài toán sau: với x x1, 2, ,x n ≥ n( 2) là số dương và x x1 .2 x ≤ n 1

Cmr: 1 2

2

n

x

Bài toỏn 9 : chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mUn

16

a b c+b c a+c a b <

Giải :

Từ abc=ab+bc+ca suy ra 1 1 1 1

a + + =b c đặt x 1; y 1; z 1

= = = thì x+ + =y z 1

+ +

Cộng ba bất đẳng thức trên ta có

+ +

Cách2 :

Tương tự ta cú:

cộng vế với vế ta cú:

suy ra ủiều phải chứng minh

dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi a=b=c=3

Bài toỏn 10 Cho { , , 0

1

x y z

≥

9

P

Giải:

( )

2

1

ðặt t = x2 + y2 +z2 từ ủiều kiện 1

3

t

⇒ ≥

Áp dụng bất ủẳng thức bunhiacopxki và Cụsi ta cú:

3

3

+ + = + + + + ư ư ư + ≤

+ +

≤ + + ư  ư + + +   = ư +

2 2

2

3 10 3 10 10

3 1

1 3 3

3 3

1

( )(57 9)

9 9 3

3 10 3 10 10

P

P

ư + +

+ + + + +

+ +

+ +

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1

3

⇒ủpcm

Bài toỏn 11: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thoả mUn điều kiện: xyz = 1 Tìm GTNN của biểu thức: P = 2( ) 2( ) 2( )

Giải:

2

P

y y

ủể ủơn giản ủặt a =x x; b= y y; c= z z;

Ta cú

2

2 2 2

2

a b c

P

ab bc ca

+ +

Mặt khỏc ta cú a2 +b2 +c2 ≥ab bc+ +ca Nờn ta cú:

2

P ≥ dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi a= = Hay b c x x = y y =z z ⇔ x=y=z=1

Một số bài tập tương tự:

Bài toỏn 1: Tỡm giỏ trị nhỏ nhất cuả biểu thức Q =

y x

z x z

y z y

x

+

+ +

+ +

3 3

3

,với

x, y ,z là cỏc số dương thoả món ủiều kiện x+y+z≥ 6

VI Kết quả thực hiện

Đây là một phần khó thực hiện trên đối tượng học sinh đa dạng nên gặp không ít khó

khăn.Tuy nhiên qua khảo sát học sinh kết quả thu được tương đối khả quan

Kết quả như sau

Trên đây là môt số kinh nghiệm có được trong quá trình dạy học, tìm tòi tự bồi dưỡng nghiệp vụ chuyên môn, cỏc bài tập ủược sưu tầm và chọn lọc kĩ lưỡng từ ủề thi ủại học cỏc năm và bộ ủề thi tuyển sinh Mặc dự ủó rất cố gắng song kinh nghiệm cũn hạn chế Rất mong sự quan tâm đóng góp ý kiến của các đồng chí để bài viết này được hoàn thiện hơn

Triệu sơn 22/5/2009 Tỏc giả