Chuyên đề Phương trình lượng giác Toán pot

Như các bạn đã biết, phươngtrình lượng giác là một mảng không thể thiếu trong các kì thi Đại học và Caođẳng... Mời các bạn cùng tham khảo qua phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản t

4 5

6

7

6 5

11

6

ác bạn học sinh thân mến! Trong mỗi chúng ta ai cũng ấp ủ trongmình những ước mơ, hoài bảo Đối với riêng học sinh ở cấp THPTchúng ta thì ước mơ lớn nhất không gì khác hơn, đó là thi đậu vàotrường Đại học, Cao đẳng mà chúng ta mong ước, cái ước mơ ấy lại càng có

cơ sở để trở thành hiện thực nếu như chúng ta cố gắng học tập Ước mơ củanhóm biên soạn chúng tôi cũng chẳng khác gì các bạn Để góp phần thựchiện cái ước mơ ấy nhóm chúng tôi đã quyết định soạn ra một quyển chuyên

đề lấy tên là “Phương trình lượng giác” Không phải ngẫu nhiên mà nhómchúng tôi lại quyết định chọn chuyên đề này Như các bạn đã biết, phươngtrình lượng giác là một mảng không thể thiếu trong các kì thi Đại học và Caođẳng

C

Chương I:

Các công thức

lượng giác

cần nhớ

Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản :

 sinx y   sin cosx y sin cosy xx y,  

 cosx y   cos cosx y sin sinx yx y,  

 sin 2x 2sin cosx x

 cos 2x cos2x sin2x 2cos2x 1 1 2sin   2x

tan 2x x  x x, 2  k

Công thức chia đôi :

 sin 3x 3sinx 4sin3x



3 2

1

t x

1

t x

4

x x

x 

Công thức biến đổi tích thành tổng :

Công thức biến đổi tích thành tổng :

Công thức biến đổi tổng thành tích :

Công thức biến đổi tổng thành tích :

Các hằng đẳng thức trong tam giác :

 tanA tanB tanC  tan tan tanA B C

 cot cotA B cot cotB C cot cotC A 1

 cos 2A cos 2B cos 2C   1 4cos cos cosA B C

 cot cot cot cot cot cot

Chương II:

Phương trình

lượng giác

I Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản

Trong lượng giác có 3 phương trình cơ bản Dù cơ bản (chính vì cơ bản nên

nó mới có tên như vậy) nhưng cũng phải nêu ra đây bởi vì các PTLG khác nếu giải được cũng phải đưa về một trong 3 PTCB sau đây:

1 sinx  với α α 1  , có nghiệm là:

arcsin α 2 arcsin α +k2k2

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

cos 3 sin  x cos sinx

Do

sin 1

k x

k k

2

x x x

2 1 sin

2

x x x

2 6 7

2 6

l x

l x

x x x

sin x  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  sin 5 x  sin 6 x  0

(Đại học sư phạm Vinh,1997)

(1)

 

2 7 2 3

 

Bµi tËp tù gi¶i:

Bài 1 : Giải các phương trình lượng giác sau :

10 sin4 xcos4 xcos4x

11 cos7x - sin5x = ( cos5x - sin7x)

Bài 2 : Cho phương trình tancosx cotsinx

1 Tìm điều kiện xác định của phương trình

2 Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn 3 ;  của phương trình

Bài 3 : Cho phương trình sin6 x + cos 6 x = m.

1 Xác định m để phương trình có nghiệm

2 Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm trong khoảng 0;

Bài 4: Giải và biện luận phương trình 2m 1 cos2 x2 sinm 2x3m 2 0

Mời các bạn cùng tham khảo qua phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản trong các đề thi tuyển sinh đại học sau :

II Phương trình bậc hai (bậc cao) đối với một hàm số

lượng giác

1)1 sin xcosxsin 2xcos 2x0

Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, Khối B, 2005 2)2cosx 1 sin  xcosx 1

Trích ĐTTS Học viện Ngân hàng TPHCM, 2000 3)sin 33 x cos 42 xsin 52 x cos 62 x

Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, Khối B, 2002

4) cos10 x  2cos 4 x  6cos3 cos x x  cos x  8cos cos 3 x x

Trích ĐTTS Đại học Tài chính Kế toán Hà Nội,1998 5)sin cos 33 x xcos sin 33 x xsin 43 x

Trích ĐTTS Đại học Ngoại thương TPHCM,1999

26) cos cos3 sin sin 3

(1) 4 cos 3cos 2cos 1 cos 1 0

2cos cos 2 cos 1 0

cos 1 2cos 3cos 1 0

2 3

x x

x x

x x

x

x x

x

2

2 2

2 2

2 2

sin 3 sin 1 2

sin

5

sin ).

sin 1 ( 3 sin

1 2

sin

5

sin ).

sin 1 ( 3 cos 2

sin

5

cos

sin ).

sin 1 ( 3 2 sin

2

1 sin

4

x x

cos  

(do cosx 0  sinx 1)

0 2 sin 3

Ví dụ 5 : Giải phương trình

sin 2 2

cos sin sin

x

(Trích ĐTTS Đại học, Cao đẳng, khối A, 2006)

Ví dụ 6 : Tìm các nghiệm thuộc khoảng0 ; 2  của phương trình:

x x

x x

2 sin 2 1

3 sin 3 cos sin

5

2 6

k x

k x

4 2

2 sinx  x k  x  k

Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương :

x x

x x

x x x

x

x x x

3

4 2

sin 1

2

sin

0 4 2 sin

sin

3

0 2 sin 2

1 2 sin

sin

3

1

2

0 cos sin sin

6 6

So với điều kiện, ta thấy nghiệm của phương trình đã cho là:  2 

x x

x

x sin 3 4 cos 3 3 cos 3 sin 4 sin 3

3

cos     

 

3 5 3

2

; 0 :

2 3

2 cos

2 1 cos

0 2

cos 5

cos 2

1 cos

2 3

sin cos

sin 5

x Do

m x

x x

x x

x x

x x

Ví dụ 7 : Xác định m để phương trình sau có đúng 7 nghiệm thuộc khoảng

cos 3 cos x xm x  (1)

x

x x x

x

2 sin 2 1 sin cos

3 cos sin 1 4 sin cos

sin cos 3 sin

2

; 2 :

,

2 0

co s

0 3

co s 2

cos 4

0

co s

0 3

co s 2

cos 4

cos

0 1

co s 1

co s 2

co s 3

cos 4

1

2

2

2 3

x Do

k k

x x

m x

x x

m x

x x

x m

x x

x

 2 0 3 cos

 

 

 

3 1 1 3 3 0

1 0 3 0 3 0

m m m

m m f

Bµi tËp tù gi¶i:

III.Phương trình bậc nhất theo sin và cos

Ví dụ 1:

Ví dụ 2π và kπ ::

Ví dụ 4:

Ví dụ 5:

Ví dụ 6:

Ví dụ 7:

Ví dụ 8:

Ví dụ 9:

Ví dụ 10:

Ví dụ 11:

Ví dụ 12π và kπ ::

IV.Phương trình đối xứng theo sin và cos

Ví dụ 1:

Ví dụ 2π và kπ ::

Ví dụ 3:

Ví dụ 4:

Ví dụ 5:

Ví dụ 6:

V.Phương trình lượng giác chứa căn và dấu giá

trị tuyệt đối

Ví dụ 1:

Ví dụ 2π và kπ ::

Ví dụ 3:

Ví dụ 1:

Ví dụ 2π và kπ ::

VI.Phương trình lượng giác không mẫu mực.

Ví dụ 1:

Ví dụ 2π và kπ ::

Ví dụ 1:

Ví dụ 2π và kπ ::

Ví dụ 1:

Ví dụ 2π và kπ ::

Ví dụ 1:

Ví dụ 2π và kπ ::

Chân dung một sồ nhà toán học:

Pierre de Fermat

-Pierre de Fermat (20 tháng 8, 1601 tại Pháp – 1665) là một học giả nghiệp dư vĩ đại, một nhà toán học nổi tiếng và cha đẻ của lý thuyết số hiện đại Xuất thân từ một gia đình khá giả, ông học ở Toulouse và lấy bằng cử nhân luật dân sự rồi làm chánh án Chỉ trừ gia đình và bạn

bè tâm giao, chẳng ai biết ông vô cùng say mê toán Mãi sau khi Pierre de Fermat mất, người con trai mới in dần các công trình của cha kể từ năm 1670 Năm 1896, hầu hết các tác phẩm của Fermat được ấn hành thành 4 tập dày Qua đó, người đời vô cùng ngạc nhiên và khâm phụctrước sức đóng góp dồi dào của ông Chính ông là người sáng lập lý thuyết số hiện đại, trong đó có 2 định lý nổi bật: định lý nhỏ Fermat và định lý lớn Fermat (định

lý cuối cùng của Fermat)

Trong hình học, ông phát triển phương pháp tọa độ, lập phương trình đường thẳng và các đường cong bậc ha rồi chứng minh rằng các đường cong nọ chính là các thiết diện cônic Trong giải tích, ông nêu các quy tắc lấy đạo hàm của hàm mũ với số mũ tỷ bất kỳ, tìm cực trị, tính tích phân những hàm mũ với số mũ phân số và

số mũ âm Nguyên lý Fermat về truyền sáng lại là một định luật quan trọng của quang học

Dù hoạt động khoa học kiên trì và giàu nhiệt huyết, đem lại nhiều thành quả

to lớn như vậy, nhưng éo le thay, Pierre de Fermat bình sinh chẳng thể lấy việc nghiên cứu toán làm nghề chính thức

JOHN C FIELDS

Trong toán học thì chắc các bạn đã nghe qua huy chương Fields mà người ta thường coi như giải Nobel cho toán học, đề xướng bởi nhà toán học Canada John C Fields, tiếcrằng ông mất trước khi hai huy chương Fields đầu tiên được trao

Sinh thời là bạn thân của Mittag-Leffler, ông cũng vận động và gây quỹ rất nhiều cho toán học, noi theo gương Mittag-Leffler (năm 1895 đã trao hết gia sản cho một hiệp hội thành lập viện toán Mittag-Leffler) ông cũng cố công xây dựng Royal

Canadian Institute thành một trung tâm nghiên cứu khoa học Quỹ Fields không nhiều (khi mất Fields chỉ để lại 47 ngàn đô la Canada để góp vô) nên ban đầu chỉ

có 2 huy chương, trao 4 năm một lần vào dịp Đại hội toán học quốc tế cho các nhà toán học dưới 40 tuổi Từ 1969 người ta thêm vào hai huy chương nữa, cho nên từ

đó có thể có đến 4 người được trao huy chương này

Và cũng như có khi giải Nobel vẫn trao cho một nhà toán học, năm 1990 huy chương Fields đã được trao cho một nhà vật lý mà công trình nghiên cứu về thuyết siêu sợi (superstring theory) đã có nhiều đóng góp lớn cho toán học

Huy chương Fields khác với giải Nobel ở chỗ hạn chế tuổi, phần lớn do muốn khuyến khích các luồng nghiên cứu mới và các nhà toán học trẻ