Bài giảng : Logic part 5 pps

Định lí này chứng minh rằng mọi hàm Boolean có thể được thực hiện bởi một wff.. Thực sự, mọi hàm Boolean có thể được thực hiện bởi một wff chỉ sử dụng những liên từ {,,}.. Công thức x

Trang 13: Liên từ mệnh đề:

Ta đã có 5 liên từ: , ∧, ∨, →, ↔ Chúng ta có cần cải tiến bằng việc có nhiều hơn? Ta

sẽ mất gì với việc có ít đi?

Ví dụ: Liên từ 3 ngôi #

ℰ#(α,β,µ)=(# αβµ)

ℰ#(α,β,µ)=1 khi và chỉ khi cả ba v(α), v( β) và v(µ) bằng 1

Liên từ mới này đem lại gì cho chúng ta?

Khẳng định: Ngôn ngữ mở rộng đạt được bằng việc thêm các kí hiệu mới có cùng sức mạnh biểu diễn như ngôn ngữ gốc

Ta sẽ chứng minh khẳng định này như thế nào?

Trang 14: Hàm Boolean

Cho k≥0, một hàm Boolean k ngôi là một hàm từ {0,1}k→{0,1} Một hàm Boolean là bất

cứ hàm nào như vậy có k ngôi với k nào đó

Mỗi wff α xác định tương ứng một hàm Boolean Bα Ví dụ, nếu α=A1∧A2 thì Bα là một hàm Boolean hai ngôi với giá trị nhận được cho bởi bảng sau:

X1 X2 Bα(X1, X2)

Trang 15: Những hàm Boolean nhận được

Tổng quát, giả sử rằng α là một wff trong nó có các kí hiệu mệnh đề bao gồm ở trong A 1-,…, An Chúng ta xác định một hàm Boolean n ngôi Bn Hàm Boolean này thực hiện bởi α như sau:

Bn (X1,…,Xn)= giá trị thật sự của α khi A1,…, An nhận các giá trị là X1,…,Xn

Nói cách khác,

Bn (X1,…,Xn)= v(α) với v(Ai)=Xi

Chú ý rằng hàm Bn được xác định bởi cả công thức α và lựa chọn của n Cụ thể, α không cần phải bao gồm tất cả các kí hiệu trong A1,…, An.

Trang 16: Ví dụ

 Ii n Bn A i



 N  BA

1

 KB AA

2

2 1

 AB AA

2

2 1

 CB AA

2

2 1

 EB AA

2

2 1

Từ những hàm này, ta có thể cấu trúc nên những hàm khác bằng việc đặt hàm:

))) ,

( ( )), ,

( ( ( ( ) ,

2

2

A

Khẳng định: mọi hàm Boolean có thể đạt được bằng việc soạn từ các hàm I , N , K , A , C

và E

Ta sẽ giải thích tại sao khẳng định này đúng một cách ngắn gọn

Trang 17: Biểu thức và hàm Boolean

Định lí:

Cho α, β là wff’s với dãy kí hiệu mệnh đề của chúng thuộc A1,…, An

(a) α⊨β khi và chỉ khi Bn Bn



  với mọi X

∈{0,1}n (b) α là hằng tương đương với β khi và chỉ khi Bn Bn



 

(c) ⊨ β khi và chỉ khia miền xác định Bn  { }

Chứng minh:

(a) α⊨β khi và chỉ khi mọi phép gán thoả mãn α cũng thoả mãn β

Khi và chỉ khi với mọi phép gán v, v(α)=1 kéo theo v(β)=1

Khi và chỉ khi với mọi véctơ X

n cơ sở, nếu Bn(X)  1 kéo theo Bn (X)  1

Khi và chỉ khi với mọi véctơ X

n cơ sở Bn(X) Bn (X)

(b) dẫn đến từ (a) và định lí: X=Y khi và chỉ khi X≤Y và Y≤X

(c) dẫn đến từ (a) và định nghĩa hằng đúng

Bằng việc đổi cách tiếp cận từ công thức sang hàm Boolean,ta thấy những công thức wff

là hằng tương đương là đồng nhất

Trang 18: Tính đầy đủ của các liên từ mệnh đề

Định lí:

Cho G là một hàm Boolean n ngôi, n≥1 Có tồn tại một wff α để G=Bn , với α thực hiện hàm G

Chứng minh:

Nếu miền xác định của G là {0}, thì cho α=A1∧A1 Rõ ràng: G=Bn

Ngược lại, G=1 tại một số điểm Giả sử có k điểm xảy ra G=1:

G(X11, X12,…, X1n)=1

G(X21, X22,…, X2n)=1

…

G(Xk1, Xk2,…, Xkn)=1

Cho:















1

X A

X A

ij j

ij j

ij



γi=βi1∧… ∧βin

α= γ1∨γ2∨…∨γk

Thì α thực hiện G

Trang 19: Tính đầy đủ của những liên từ mệnh đề:

Chứng minh tiếp tục…

Ta biết rằng Bn(X)v(  ) với v(Ai)=Xi

Từ α= γ1∨γ2∨…∨γk, dẫn đến Bn(X)  max(Bn i(X))

Nhưng bởi kiến trúc trên, Bn i(X)  1khi và chỉ khi X

=<Xi1, Xi2,…,Xin>

Vậy Bn (X)  1khi và chỉ khi X

là một trong những điểm khiến cho G bằng 1

Định lí này chứng minh rằng mọi hàm Boolean có thể được thực hiện bởi một wff Thực

sự, mọi hàm Boolean có thể được thực hiện bởi một wff chỉ sử dụng những liên từ {,,} Ta nói rằng tập những liên từ này là đầy đủ

Công thức thực hiện không phải là duy nhất Công thức xây dựng kiểu trên được gọi là

một công thức độc lập, mỗi công thức này bao gồm những literal phụ thuộc nhau, với một literal hoặc là kí hiệu mệnh đề hoặc phủ định của nó

Vậy, tất yếu rằng mọi wff, có tồn tại một hằng tương đương là một wff ở dạng chuẩn tắc tuyển (DNF)

Trang 20: Tính đầy đủ của những liên từ mệnh đề:

Ví dụ:

Cho G là hàm Boolean 3 ngội xác định như sau:

G(0,0,0)=0

G(0,0,1)=1

G(0,1,0)=1

G(0,1,1)=0

G(1,0,0)=1

G(1,0,1)=0

G(1,1,0)=0

G(1,1,1)=1

Có 4 điểm tại đó G nhận giá trị đúng, nên một công thức dạng DNF thực hiện G là:

(A1∧A2∧A3)∨(A1∧A2∧A3)∨( A1∧A2∧A3)∨ (A1∧A2∧A3)

Chú ý rằng công thức khác thực hiện hàm G là A1↔A2↔A3 Vậy, việc them những liên

từ cho một tập đầy đủ có thể làm cho nó được thực hiện ngắn gọn hơn

Trang 21: Tính đầy đủ của những liên từ mệnh đề:

Nhớ lại định nghĩa của chúng ta về một số hàm Boolean cơ bản:

n n

i A i



1

2

2 1

2

2 1

Do {,,} là tập đầy đủ, nên không khó nhận ra rằng mọi hàm Boolean có thể được cấu trúc lên chí sử dụng các hàm Boolean I, N, K và A

Thực ra, ta có thể làm tốt hơn Nó có thể thể hiện bằng {,} hoặc {,} là đầy đủ

Tại sao?

A∧B↔  (A∨B)

A∨B↔  (A∧B)

Sử dụng sự đồng nhất này, tính đầy đủ đó có thể được dễ dàng chứng minh bởi quy nạp

Trang 22: Những liên từ không đầy đủ

Để chứng minh rằng một tập những liên từ nào đó là không đầy đủ, ta tìm một giả thiết

để nó đúng với tất cả các wff xây dựng nên từ những liên từ này, nhưng lại không đúng với một hàm Boolean nào đó

Ví dụ:

{,} là không đủ

Chứng minh:

Cho α là một công thức wff chỉ sử dụng 2 liên từ trên, và v là một phép gán thoả mãn v(Ai)=1 với mọi Ai Ta chứng minh bằng quy nạp rằng v(α)=1

Trường hợp cơ sở:

v(α)=v(Ai)=1

Trường hợp quy nạp:

v(β∧γ)=min(v(β), v(γ))=min(1,1)=1

v(βγ)=max(v(β), v(γ))=max(1,1)=1

Vậy, v(α)=1 với tất cả công thức wff α xây dựng từ {,}.v( A i)  0, mà không có công thức nào chỉ xây bằng 2 liên từ trên là hằng tương đương với Ai

Trang 23: Những liên từ mệnh đề khác

Cho mỗi số n, có 2n

2 hàm Boolean n ngôi khác nhau B(X1,…,Xn) Tại sao?

Có 2n điểm là đại lượng vào khác nhau ứng với một hàm và có 2 khả năng cho giá trị ra với mỗi điểm nhập vào Nên 2n

2 cũng là số khả năng có thể cho tất cả các công thức mệnh đề n ngôi

Những liên từ không ngôi:

Có 2 hàm Boolean không ngôi: hằng 0 và 1 Ta có thể cấu trúc chúng tương ứng thành liên từ không ngôi ⊤ và ⊥ với nghĩa là v(⊤)=0 và v(⊥)=1 với bất kể phép gán

v nào

Những liên từ một ngôi:

Có 4 hàm 1 ngôi, nhưng những hàm này bao gồm hai hàm hằng đã đề cập ở trên và hàm đồng nhất Vậy, chỉ có chú ý liên từ phủ định: 

Những liên từ hai ngôi:

Có 16 hàm 2 ngôi Chúng được liệt kê ở bảng sau Định nghĩa của 6 hàm đầu tiên tương ứng với những liên từ 0 ngôi và một ngôi

Trang 24:

Trang 25: Compactness

Nhớ lại rằng một wff α là thoả mãn được nếu tồn tại một phép gán v đề v(α)=1

Một tâp Σ của các công thức wff là thoả mãn được nếu tồn tại phép gán v đề v(α)=1 với mọi α∈Σ

Một tập Σ là thoả mãn được hữu hạn nếu và chỉ nếu mọi tập con hữu hạn của Σ là thoả mãn được

Định lí Compactness:

Một tập wff là thoả mãn được khi và chỉ khi nó thoả mãn được hữu hạn

Chứng minh:

Hướng đi chứng minh mọi tập con của một tập thoả mãn được là thoả mãn được

thật rõ ràng

Ta chứng minh hướng đi khác, giả sử rằng Σ là một tập thoả mãn được hữu hạn

Chúng ta chứng minh Σ là tập thoả mãn được