Bài giảng : Logic part 9 potx

Slide 5.14: Ngữ nghĩa của logic vị từ Định nghĩa: cho F là một tập các kí hiệu hàm và P là một tập các kí hiệu vị từ những hằng được gộp trong F.. Một mô hình M với F,P bao gồm:  Một t

Slide 5.7: Trường hợp 1a- tương tự chứng minh mệnh đề

1 (p1∧p2) Tiền đề

2 (p1∧p2) Giả sử

4 p1∧p2 (∨i1) do 3

5 ⊥ (e) do 4,2

4’ p1∧p2 (∨i2) do 3’

4’,2’

7 p1∧p2 (∧i) do 6,6’

9 p1∧p2 RAA do 2-8

Slide 5.8: Trường hợp 1a

Trường hợp 1a: ∀xΦ┤├ ∃xΦ

Chứng minh trái sang phải:

1 ∀xΦ Tiền đề

2 ∃xΦ Giả sử

4 Φ*x0/x] Giả sử

5 ∃xΦ (∃xi) do 4

6 ⊥ (e) do 5,2

7 Φ*x0/x] RAA do 4-6

8 ∀xΦ (∀xi) do 3-7

9 ⊥ (e) do 8,1

10 ∃xΦ RAA do 2,9

Slide 5.9: Trường hợp 1a

Trường hợp 1a: ∀xΦ┤├ ∃xΦ

Chứng minh phải sang trái:

3 x0 Φ*x0/x] Giả sử

4 Φ*x0/x] (∀xe) do 2

Slide 5.10: Trường hợp 2a

Trường hợp 2a: ∀xΦ∧Ψ ┤├ ∀x(Φ∧Ψ)

Chứng minh từ trái sang phải:

4 x0 Φ*x0/x] (∀xe) do 2

5 Φ*x0/x]∧Ψ (∧i) do 4,3

6 (Φ∧Ψ)*x0/x] do 5, vì x không tự do trong

Ψ

Slide 5.11: Trường hợp 2a

Trường hợp 2a: ∀xΦ∧Ψ ┤├ ∀x(Φ∧Ψ)

Chứng minh phải sang trái:

2 x0 (Φ∧

Ψ)*x0/x]

(∀xe) do 1

3 Φ*x0/x]∧Ψ 2, vì x không tự do trong

Ψ

Slide 5.12: Trường hợp 3b

Trường hợp 3b: ∃xΦ∨∃Ψ ┤├ ∃x(Φ∨Ψ)

Chứng minh từ trái sang phải:

3 X0 Φ*x0/x] Giả sử

4 Φ*x0/x]∨Ψ*x0/x] (∨i) do 3

5 (Φ∨Ψ)*x0/x] Đồng nhất

Slide 5.13: trường hợp 3b

Trường hợp 3b: ∃xΦ∨∃Ψ ┤├ ∃x(Φ∨Ψ)

Chứng minh từ phải sang trái:

2 x0 (Φ∨Ψ)*x0/x] Giả sử

3 Φ*x0/x]∨Ψ*x0/x] Đồng nhất

Slide 5.14: Ngữ nghĩa của logic vị từ

Định nghĩa: cho F là một tập các kí hiệu hàm và P là một tập các kí hiệu vị từ

(những hằng được gộp trong F) Một mô hình M với (F,P) bao gồm:

 Một tập không rỗng A, là tập vũ trụ các giá trị cụ thể

 với mỗi f∈F là hàm n ngôi, một hàm cụ thể fM

: An→A và

 với mỗi P∈P với n ngôi, tập con PM∈An

hằng được giải thích như một giá trị trong A

Slide 5.15: Mô hình số học

Ví dụ: Cho F ={0,1,s,+,*} và P ={=,≤,<,zero?} với: 0,1 là những hằng, s,zero? là

một ngôi và những cái còn lại là 2 ngôi Mô hình M của chúng ta là:

 Miền xác định: tập tất cả các số thực

 0M

là số 0, 1M là số 1; sM là hàm phần tử tiếp theo; +M là cộng; và *M là nhân;

 =M , ≤M , <M mô hình tương ứng quan hệ “bằng với”, “nhỏ hơn” và “nhỏ hơn hẳn”; zero?M là kiểm tra không, zero?M (r) là đúng khi và chỉ khi r=0

Slide 5.16: Chuỗi

Ví dụ: Cho F ={e, } và P ={≤}, với e là một hằng và cái còn lại là vị từ 2 ngôi Mô

hình M của chúng ta là:

 Miền xác đinh: tập những chuỗi (những từ)

 eM

 ≤M mô hình quan hệ “ tiền tố của”, ví dụ ≤M (v,w) là đúng khi và chỉ khi v là tiền tố của w

Slide 5.17: Giải nghĩa của term

Mỗi term được giải thích như một giá trị, với điều kiện ta cung cấp đầy đủ giá trị

cho các biến

Định nghĩa: một môi trường là một phép gán l làm những biến nào đó nhận một giá trị trong A Ta sử dụng định nghĩa l*x→a+ cho môi trường xảy ra với l, làm giá trị x nhận giá trị a

Định nghĩa: Cho M là một mô hình với (F,P) và t là một term trên F Thì ta miêu

tả tM,l trong A được xác định theo quy tắc sau:

 Nếu t là một biến x, thì tM,l

là l(x);

 Nếu t là một hằng f, thì tM,l là fM

 Nếu t là f(t1,…,tn), thì tM,l = ( , , , , )

1

l M n l M M

t t f

Slide 5.18: Giải nghĩa của công thức

Định nghĩa: Cho M là một mô hình với (F,P), Φ là một công thức trên (F,P), và l là

môi trường của các biến Quan hệ thoả mãn

M ⊨l Φ được xác định quy nạp bằng

M ⊨l P(t1,…,tn) thoả mãn khi và chỉ khi (t1M,l, ,t n M,l)∈ PM

M ⊨l ∀xΨ thoả mãn khi và chỉ khi M ⊨l[x→a] Ψ thoả mãn với tất cả a∈A

M ⊨l ∃xΨ thoả mãn khi và chỉ khi M ⊨l[x→a] Ψ thoả mãn với một số trường hợp a

∈A

M ⊨lΨ thoả mãn khi và chỉ khi M ⊨l Ψ không thoả mãn

M ⊨lΨ1∨Ψ2 thoả mãn khi và chỉ khi M ⊨l Ψ1 hoặc M ⊨l Ψ2 thoả mãn

M ⊨lΨ1∧Ψ2 thoả mãn khi và chỉ khi M ⊨l Ψ1 và M ⊨l Ψ2 thoả mãn

M ⊨lΨ1→Ψ2 thoả mãn khi và chỉ khi M ⊨l Ψ2 thoả mãn khi M ⊨l Ψ1 thoả mãn

Slide 5.19: Ví dụ

Ví dụ: Giả sử: F={alma} (alma là một hằng), P={loves} (loves là một vị từ 2 ngôi),

và M là một mô hình xác định bởi: (1) tập A={a,b,c}; (2) alma giải nghĩa như là a;

và (3) loves giải nghĩa như là ,(a,a),(b,a),(c,a)- Kiểm tra trường hợp:

Không người yêu nào của người yêu Alma yêu cô ấy

Giả sử công thức của ta là :

Φ=∀x∀y(loves(x,alma)∧loves(y,x)→ loves(y,alma))

Trả lời đó là sai:

M ⊨l[x→ a,y → b] loves(x,alma)∧loves(y,x)→ loves(y,alma) là sai;

M ⊨l[x→a] ∀y(loves(x,alma)∧loves(y,x)→ loves(y,alma)) là sai;

M ⊨[] ∀x∀y(loves(x,alma)∧loves(y,x)→ loves(y,alma)) là sai

Nếu loves được giải nghĩa như là ,(b,a),(c,b)- công thức lại thoả mãn