Các kiến thức cần nắm1.1... Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi... Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức... Các bài toán đưa ra trắc nghiệm Trước khi tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiế
Trang 11 Các kiến thức cần nắm
1.1 Các hệ thức cơ bản
2
( cos
1
2 α≠π + π α
+ tgα cotgα= 1 (α ≠
2
kπ) + 1 + cotg2α =
) k ( sin
1
2 α≠ π α
1.2 Công thức cộng góc
+ cos(α ± β) = cosα cosβ sinα sinβ
+ sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ
2
; ( tg tg 1
tg
β α
β
±
α
+ cotg(α ± β) =
β
± α
β α
g cot g
cot
1 g cot g cot ( ;αβ≠kπ)
1.3 Công thức nhân
+ sin2α = 2 sinα cosα
+ cos2α= cos2α - sin2α = 2cos2α- 1 = 1 - 2sin2α
2
k 4
( tg 1
tg 2 2
π +
π
≠ α α
− α
2
k ( g
cot 2
1 g
α
− α
+ sin3α = 3sinα - 4sin3α
+ cos3α= 4cos3α - 3cosα
+ tg3α =
3
k 6
( tg
3 1
tg tg 3
3
3 α≠ π+ π α
−
α
−
1.4 Công thức hạ bậc
+ cos2α=
2
2 cos
2
2 cos
+ tg2α =
α +
α
− 2 cos 1
2 cos 1
) k 2 ( α≠ π + π
1.5 Công thức biến đổi tổng thành tích:
+ cosα + cosβ= 2cos
2
cos 2
β α β α
+ cosα - cosβ= - 2sin
2 2
β α β
α sin +
+ sinα+ sinβ= 2sin
2 2
β α β
α cos +
+ sinα- sinβ= = - 2cos
2
sin 2
β α β α
Trang 2+ tgα ± tgβ=
β α
β α cos cos
) sin(
) k 2
; ( αβ≠ π + π
1.6 Công thức biến đổi tích thành tổng:
+ cosα.cosβ= [cos( ) cos( )]
2
+ sinα.sinβ= [cos( ) cos( )]
2
+ sinα.cosβ= [sin( ) sin( )]
2
Biểu thức đại số Biểu thức lượng giác tương tự Công thức lượng giác
t cos
1 2 4x3 - 3x 4cos3t - 3cost 4cos3t - 3cost = cos3t
2 x 1
x 2
t
2 tan 1
tan 2
t
2 tan 1
tan 2
2 x 1
x 2
t
2 tan 1
tan 2
t
2 tan 1
tan 2
xy 1
y x
−
+
tan tan 1
tan tan
−
+
tan tan 1
tan tan
− + = tan(α+β)
cos
1
2 −
1
2 −
α = tan
2α
một số phương pháp lượng giác để chứng minh
bất đẳng thức đại số
I Dạng 1 : Sử dụng hệ thức sin 2 + cos 2 = 1
1) Phương pháp:
a) Nếu thấy x2 + y2 = 1 thì đặt
α
=
α
= cos y
sin x
vớiα ∈[0, 2π]
b) Nếu thấy x2 + y2 = r2 (r > 0) thì đặt
=
=
cos
sin
r y
r x
vớiα ∈[0, 2π]
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho 4 số a, b, c, d thoả mãn: a2+ b2 = c2 + d2 = 1
Chứng minh rằng: − 2 ≤ a(c+d) + b(c-d)≤ 2
Trang 3Đặt
=
=
u
b
u
a
cos
sin
và
=
= v cos d
v sin c
⇒S = sinu(sinv+cosv) + cosu(sinv-cosv)
⇒P = a(c+d) + b(c-d) = (sinucosv+cosusinv) - (cosucosv - sinusinv)
= sin(u+v) - cos(u+v)
⇔ [ 2, 2] 2 S a(c d) b(c d) 2
4 ) v u ( sin
2
VD2: Cho a2+ b2 = 1 Chứng minh rằng:
2
25 b
1 b a
1 a
2 2 2 2 2
+ +
+
Giải:
Đặt a = cosα và b = sinαvới 0≤ α ≤ 2π Thế vào biểu thức vế trái rồi biến đổi
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2
2
sin
1 sin
cos
1 cos
b
1 b a
1
α +
α +
α +
α
=
+ +
+
sin cos
sin cos
sin cos
4 sin
1 cos
1
4 4
4 4
4 4
4
α α
α + α +
α + α
= + α
+ α
sin cos
1 1
sin
α α +
α +
α
sin cos
1 1
sin cos
2 sin
α α +
α α
− α + α
=
2
25 4 2
17 4 ) 16 1 ( 2
1 1 4 2
sin
16 1
2 sin
2
1
−
≥ +
α +
Bây giờ ta đẩy bài toán lên mức độ cao hơn một bước nữa để xuất hiện a2+b2=1
VD3: Cho a2+ b2 - 2a - 4b + 4 = 0 Chứng minh rằng:
A = a2 b−2 2+3ab 2−(1 2+ 3)a (+4 −2 3)b +4 3 −3 ≤2
Giải:
Biến đổi điều kiện: a2+ b2 - 2a - 4b + 4 = 0⇔ (a-1)2+ (b-2)2 = 1
α +
=
α +
=
⇒
α
=
−
α
=
−
cos sin 3 2 cos
sin A cos
2 b
sin 1 a cos
2
b
sin 1
6 2 sin(
2 2 cos 2
1 2 sin 2
3 2 2 cos 2
sin
VD4: Cho a, b thoả mãn : 5a+12b+7= 13
Trang 4Chứng minh rằng: a2 + b2 + 2(b-a)≥- 1
Giải:
Biến đổi bất đẳng thức: a2+ b2+ 2(b-a)≥- 1⇔(a-1)2 + (b + 1)2 ≥1
Đặt
α
=
+
α
=
−
cos R 1
b
sin R 1
a
R ) 1 b ( ) 1 a ( 1 cos R b
1 sin R a
= + +
−
⇔
− α
=
+ α
=
Ta có: 5a 12b+ 7 +13= ⇔5(Rsin α1+) 12+ (Rcos α−1)+7 =13
13
5 arccos sin
R cos
13
12 sin
13
5 R 1 13 cos
R 12 sin
R
+α
= α +
α
=
⇔
= α +
α
Từ đó⇒(a-1)2 + (b+1)2 = R2 ≥1⇔ a2 + b2 + 2(b - a)≥- 1 (đpcm)
II Dạng 2 : Sử dụng tập giá trị |sin |α1≤ ; |cos α| ≤1
1 Phương pháp:
a) Nếu thấy |x|≤1 thì đặt
[ ]
2 2
b) Nếu thấy |x|≤m ( m≥ 0) thì đặt
[ ]
2 2
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: (1+x)p+ (1-x)p≤2p ∀|x|≤1 ;∀P≥1
Giải:
Đặt x = cosα vớiα ∈[0,π], khi đó (1 + x)p + (1 - x)p= (1+cosα)p+ (1-cosα)p
p 2
p 2
2 2
sin 2 cos 2 2
sin 2 cos 2 2
sin 2 2
cos
≤
=
+
(đpcm)
VD2: Chứng minh rằng:
2
2 3 1
3 2
2
3 − ≤ 2 + − 2 ≤ +
x x x
Giải:
Từ đk 1 - x2 ≥0⇔ |x|≤1 nên
Đặt x = cosα với 0≤ α ≤ π ⇒ 2
1 −x = sinα Khi đó ta có:
P=2 3x2 + 2x 1 −x2 = 2 3 cos2 + 2 cos sin = 3 ( 1 + cos 2 ) + sin 2
Trang 5= 3
3 2 sin 2 3 2
sin 2
1 2
cos
2
3
α+π
= +
α +
VD3: Chứng minh rằng: 1 1+ a−2[ (1 a+)3 −(1 −a)3] ≤2 2 + 2−2a2 (1)
Giải:
Từ đk |a|≤1 nên
Đặt a=cosαvới α∈[0,π]⇒ − = α + = α; 1 −a =sinα
2 cos 2 a 1
; 2 sin 2 a
(1)⇔
2
cos 2 sin 2 2 2 2 2
sin 2 cos 2 2 2
cos 2 sin 2
α α +
⇔
2
cos 2 sin 1 2
sin 2
cos 2
sin 2
cos 2
sin 2
cos 2
cos
2
2
sin 2
cos 2
sin 2
cos 2
cos 2
α − α
VD4: Chứng minh rằng: S = 4( (1 a2−)3 a−3) (3+a −1 −a2) ≤ 2
Giải:
Từ đk |a|≤1 nên:
Đặt a = cosα vớiα ∈[0,π] ⇒ 2
a
1− = sinα Khi đó biến đổi S ta có:
S=4(sin3 cos3 α)− 3(cosα + sinα−) α(3sin= 4αsin− 3 )α(+4cos3 α−3cosα)
4 3 sin 2 3
cos
3
α+π
= α +
VD5: Chứng minh rằng A = a 1 b2− b +1 a−2 +3(ab −(1 −a2)(1 −b2)) ≤2
Giải:
Từ điều kiện: 1 - a2 ≥0 ; 1 - b2 ≥0⇔ |a|≤1 ; |b| ≤1 nên
Đặt a = sinα, b = sinβvới α,β ∈ − 2π;π2
Khi đó A = sin cosα cosβ+ sinα −3cos( α β) =
3 ) ( sin 2 ) cos(
2
3 ) sin(
2
1 2 ) cos(
3 )
(đpcm)
VD6: Chứng minh rằng: A = |4a3 - 24a2 + 45a - 26| ≤1∀a ∈[1; 3]
Trang 6Do a∈[1, 3] nên |a-2| ≤1 nên ta đặt a - 2 = cosα ⇔a = 2 + cosα Ta có:
A = 4(2 cos )3 +24(2α −cos )2+ 45α(2+cos )+ 26α−4cos=3 3α−cos α=cos3α≤1
(đpcm)
VD7: Chứng minh rằng: A = 2
2a−a − 3a+ 3 ≤ 2 ∀ ∈a [0, 2]
Giải:
Do a∈[0, 2] nên |a-1| ≤1 nên ta đặt a - 1 = cosαvới α ∈[0, π] Ta có:
A = 2(1 cos )+ (1αcos− −)2 α 3−(1 cos+ ) α +3 =1 cos− 2 α− 3cosα
3 sin
2 cos
2
3 sin
2
1 2 cos
3
α+ π
=
α
− α
= α
−
III Dạng 3 : Sử dụng công thức: 1+tg 2= 1
cos
1 tg
cos
1
2
2
α
= α
⇔
α (α≠π +kπ)
2
1) Phương pháp:
a) Nếu |x|≥1 hoặc bài toán có chứa biểu thức x2 −1
thì đặt x =
α cos
π π
∪
π
2
3 , 2
; 0 b) Nếu |x|≥m hoặc bài toán có chứa biểu thức 2 2
m
x − thì đặt x =
α cos
m
π π
∪
π
2
3 , 2
; 0
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng A = a2 1 3 2 a 1
a
Giải:
Do |a|≥1 nên :
Đặt a =
α cos
π π
∪
π
2
3 , 2
;
0 ⇒ a2 1− =tg2 α =tgα Khi đó:
3 sin
2 cos 3 sin
cos ) 3 tg
( a
3 1
α+π
= α +
α
= α +
α
= +
VD2: Chứng minh rằng: - 4≤A = 2
2
a
1 a 12
1
a
∀ ≥
Trang 7Do |a|≥1 nên:
Đặt a =
α cos
π π
∪
π
2
3 , 2
;
0 ⇒ a2 1− =tg2 α =tgα Khi đó:
A =
2
2
a
1 a
12
5 − − = (5-12tgα)cos2α = 5cos2α-12sinαcosα= + α −6sin2α
2
) 2 cos 1 ( 5
α+ +
=
+
13
5 arccos 2
cos 2
13 2
5 2
sin 13
12 2
cos 13
5
2
13
2
5
2
13 2
5 13
5 arccos 2
cos 2
13 2
5 A ) 1 ( 2
13 2
α+ +
=
≤
−
VD3: Chứng minh rằng: A =
ab
1 b 1
a2 − + 2 − ≤1
a b
Giải:
Do |a|≥1; |b|≥1 nên
Đặt a =
α cos
1
; b =
β cos
1
π π
∪
π
2
3 , 2
;
A = (tg tg )αcos+ βcos α sinβ =cosα sinβ+ cosβ α sin(= α β) ≤1(đpcm)
VD4: Chứng minh rằng: a + 2 2
1 a
a
2 ≥
− ∀ >a 1
Giải:
Do |a| > 1 nên:
Đặt a =
α cos
1
với α∈
α
= α α
=
−
⇒
π
sin
1 tg
1 cos
1 1
a
a 2
; 0
2
2 sin
2 2 sin
1 cos
1 2 sin
1 cos
1 1
a
a
α
= α α
≥ α
+ α
=
VD5: Chứng minh rằng y x2 −1 +4 y2 −1 +3≤xy 26 ∀ x y; ≥1
Giải:
y y
y x
x
x
1 26 3
1 4
1
2
≤
+
− +
−
Do |x|; |y|≥1 nên Đặt x =
α cos
1
; y=
β cos
1 vớiα,β∈
π 2 ,
0
Trang 8Khi đó: (1)⇔S = sinα+ cosα(4sinβ+ 3cosβ)≤ 26
Ta có: S≤sinα+ cosα (42 32+)(sin2 βcos+ 2 )β =sin α+5cosα
(1 + 5 )(sin + cos ) = 26 ⇒(đpcm)
IV Dạng 4 : Sử dụng công thức 1+ tg 2=
α 2 cos 1
1 Phương pháp:
a) Nếu x ∈R và bài toán chứa (1+x2) thì đặt x = tgα vớiα ∈
− π π
2
, 2 b) Nếu x∈R và bài toán chứa (x2+m2) thì đặt x = mtgα vớiα ∈
− π π
2
, 2
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Chứng minh rằng: S = 1
1
4 1
3
3 2
3
+
−
x x
x
Giải:
Đặt x = tgα vớiα ∈
− π π
2
,
α
= +
cos
1 2 , khi đó biến đổi S ta có:
S = |3tgα.cosα - 4tg3α.cos3α| = |3sinα - 4sin3α| = |sin3α|≤1 (đpcm)
VD2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2 2 4
) a 2 1 (
a 12 a 8 3 +
+ +
Giải:
Đặt a 2= tgαvới α
− π π
∈
2
2, thì ta có: A = 2 2
4 2
) tg 1 (
tg 3 tg
4 3
α +
α + α +
α + α
α +
α α +
2 2 2
4 2
2 4
cos sin
2 ) cos (sin
3 )
sin (cos
sin 3 cos
sin 4 cos
3
2
0 2 2
2 sin 3 A 2
1 3 2
5 2
2
Với α= 0⇒a = 0 thì MaxA = 3 ; Với α=
4
π ⇒a =
2
1 thì MinA =
2 5
VD3: Chứng minh rằng:
2
1 ) b 1 )(
a 1 (
) ab 1 )(
b a (
2
+ +
−
Trang 9Đặt a = tgα, b = tgβ Khi đó
) tg )(
tg (
) tg tg )(
tg tg ( ) b )(
a (
) ab )(
b a (
β + α +
β α
− β + α
= +
+
−
+
2 2
2 2
1 1
1 1
1
1
=
β α
β α
−
α β
α
β α β
α
cos cos
sin sin cos
cos cos cos
) sin(
cos
cos2 2
2
1 2
2
1
≤ β α
= β α β
α)cos( ) sin ( )
) a 1 )(
c 1 (
| a c
| )
c 1 )(
b 1 (
| c b
| )
b 1 )(
a 1 (
| b a
|
2 2
2 2
2
+ +
−
≥ + +
− +
+ +
−
Giải:
Đặt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ Khi đó bất đẳng thức⇔
⇔
) tg 1 )(
tg 1 (
| tg tg
| )
tg 1 )(
tg 1 (
| tg tg
| )
tg 1 )(
tg
1
(
| tg tg
|
2 2
2 2
2
α
− γ
≥ γ + β +
γ
− β +
β + α +
β
− α
⇔
α γ
α
− γ α
γ
≥ γ β
γ
− γ
β + β α
β α β
α
cos cos
) sin(
cos cos cos
cos
) sin(
cos cos cos
cos
) sin(
cos
cos
⇔ |sin(α-β)|+|sin(β-γ)| ≥ |sin(γ-α)| Biến đổi biểu thức vế phải ta có:
|sin(γ-α)|=|sin[(α-β)+(β-γ)]|=|sin(α-β)cos(β-γ)+sin(β-γ)cos(α-β)| ≤
|sin(α-β)cos(β-γ)|+|sin(β-γ)cos(α-β)|=|sin(α-β)||cos(β-γ)|+|sin(β-γ)||cos(α-β)|
≤ |sin(α-β)|.1 +|sin(β-γ)|.1 =|sin(α-β)|+|sin(β-γ)| ⇒ (đpcm)
VD5: Chứng minh rằng: ab +cd ≤ (a +c)(b +d) (1) ∀a,b,c,d>0
Giải:
d
b 1 a
c 1 ab cd
d
b 1 a
c 1
1 1
) d b )(
c a (
cd )
d b )(
c a
(
ab
≤
+
+
+
+
+
⇔
≤ +
+
+ + +
Đặt tg2α=
ac , tg2β=
b
d vớiα,β ∈
π 2 ,
0 ⇒Biến đổi bất đẳng thức
) tg 1 )(
tg 1 (
tg tg )
tg 1 )(
tg
1
(
2 2
2 2
2
β + α +
β α +
β + α +
⇔cosα cosβ+ sinαsinβ= cos(α-β)≤1 đúng⇒(đpcm)
Dấu bằng xảy ra⇔ cos(α-β) = 1⇔ α=β ⇔
b
d a
c
=
VD6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 6a 42|a2 1|
+
− +
Trang 10Đặt a = tg
2
α Khi đó A =
1 2 tg
1 2
tg 4 2 tg 1 2 tg 2 3 1
2 tg
| 1 2 tg
| 4 2 tg 6
2
2
2 2
2
+ α
−
α +
α +
α
= +
α
−
α +
α
A = 3sinα+ 4 |cosα|≥3 sinα + 4.0 = 3sinα ≥3.(-1) = -3
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có:
A2 = (3sinα + 4 |cosα|)2 ≤(32 + 42)(sin2α+ cos2α) = 25 ⇒A≤5
Với sinα = 1⇔a = 1 thì MinA = - 3 ; với
4
| cos
| 3
sinα = α thì MaxA = 5
V Dạng 5 : Đổi biến số đưa về bất đẳng thức tam giác
1) Phương pháp:
a) Nếu
= +
+ +
>
1 2
0 2 2
2 y z xyz
x
z
; y
;
x
thì
=
=
=
π
∈
∆
∃
C cos z
; B cos y
; A cos x
) 2
; 0 ( C
; B
; A : ABC
b) Nếu
= + +
>
xyz z
y x
z
; y
;
thì
=
=
=
π
∈
∆
∃
tgC z
; tgB y
; tgA x
) 2
; 0 ( C
; B
; A : ABC
c) Nếu
= + +
>
1 zx yz xy
0 z , y
;
x
thì
=
=
=
π
∈
=
=
=
π
∈
∆
∃
2
C tg z
; 2
B tg y
; 2
A tg x
)
; 0 ( C
; B
; A
gC cot z
; gB cot y
; gA cot x
) 2
; 0 ( C
; B
; A
: ABC
2 Các ví dụ minh hoạ:
VD1: Cho x, y, z > 0 và zy + yz + zx = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
z
1 y
1 x
Giải:
Từ 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2
α ; y = tg
2
β; z = tg
2
γ với α, β, γ ∈
π 2 , 0
Do xy + yz + zx = 1 nên tg
2
α tg 2
β + tg
2
βtg 2
γ + tg
2
γ tg 2
α = 1
Trang 112
α
β+ γ
2
tg 2
-2
tgβtg
2γ ⇔
2 g cot 2
2 tg 2
tg
1 2
tg 2 tg 1
2
tg 2
β+ γ
⇔ α
= γ β
−
γ + β
⇔ ⇔ β+ γ = π−α ⇔ α β+γ = π ⇔α β+γ=π
π+α
=
β+ γ
2 2
2 2 2 2 2
2 2
tg
z
1 y
1
x
2
α + cotg
2
β+ cotg
2
γ -3
α + β+ γ
2
tg 2
tg 2 tg
α + β+ γ
−
γ − γ +
β− β +
α − α
2 2
2
2 2 2
2 2
2
g
cot
S = 2(cotgα+cotgβ+cotgγ) -
α+ β+ γ
2 2
2
S = (cotgα+cotgβ-2tg
2
γ ) + (cotgβ+cotgγ-2tg
2
α ) +(cotgα+cotgβ-2tg
2
β)
Để ý rằng: cotgα + cotgβ=
) cos(
) cos(
sin sin
sin
sin sin
sin
) sin(
β α
− β α
γ
= β α
γ
= β α
β
2 2
2 tg 2 g cot g
cot 2
tg 2 2
cos 2
2
cos 2 sin 4 cos 1
sin 2 ) cos(
1
sin
2
2
≥
γ
− +
α
⇒
γ
= γ
γ γ
= γ +
γ
= β α
−
γ
T đó suy ra S≥0 Với x = y = z =
3
1 thì MinS = 0
VD2: Cho 0 < x, y, z < 1 và
) z 1 )(
y 1 ( x 1 (
xyz 4 z
1
z y
1
y x
1
x
2 2
2 2
2
− Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x2 + y2 + z2
Giải:
Do 0 < x, y, z < 1 nên đặt x = tg
2
α; y = tg
2
β; z = tg
2
γ vớiα,β,γ ∈
π 2 , 0
Khi đó tgα = 2
x 1
x 2
− ; tgβ= 2
y 1
y 2
− ; tgγ= 2
z 1
z 2
− và đẳng thức ở giả thiết
x
1
x
2
y 1
y 2
z 1
z 2
− = (1 x (1 y )(1 z )
xyz 8
2 2
− ⇔tgα+tgβ+tgγ= tgα.tgβ.tgγ
Trang 12⇔tgα + tgβ= - tgγ(1-tgα.tgβ)⇔
β α
−
β + α tg tg 1
tg tg
= - tgγ ⇔tg(α+β) = tg(-γ)
Do α, β, γ ∈
π 2 ,
0 nênα+β= π-γ ⇔ α+β+γ=π Khi đó ta có:
tg
2
α tg
2
β+ tg
2
βtg 2
γ + tg
2
γ tg 2
α = 1⇔xy + yz + zx = 1 Mặt khác:
(x2+ y2 + z2) - (xy + yz + zx) =
2
1 [(x y−)2 (+y −z)2 +(z −x)2]≥0
⇒S = x2+ y2 + z2 ≥xy + yz + zx = 1 Với x = y = z =
3
1 thì MinS = 1
VD3: Cho
= + +
>
1 z y x
0 z , y , x
Chứng minh rằng: S =
4
9 xy z
z zx
y
y yz
x
+
+ +
+ +
Giải:
Đặt
2
tg
x
yz = α;
2
tg y
xz = β;
2
tg z
xy = γvớiα,β,γ ∈
π 2 , 0
Do
x
yz z
xy z
xy y
zx y
zx
x
nên tg
2
αtg
2
β + tg
2
βtg 2
γ + tg
2
γ tg 2
α = 1
⇔tg
β+ γ
2
2
α ⇔tg
β+ γ 2
π−α 2
2
β+ 2
γ= 2
π -2 α
⇔ α β+γ = π ⇔α β+γ=π
2 2
S =
2
3 1 xy z
z 2 1
zx y
y 2 1
yz x
x 2 2
1 xy z
z zx
y
y yz
x
+
+
+
+
+
= +
+ +
+
+
=
2 3 z
xy 1 z
xy 1
y
zx 1 y
zx 1
x
yz 1 x
yz 1 2
1 2
3 xy z
xy z zx y
zx y yz
x
yz
x
2
+
− + +
− + +
−
= +
+
− + +
− +
−
−
=
2
1 (cos + cosβ+ cosγ) +
2
2
3 1
2
1 cos cosα+ β(cos− cosα sin− α+sinβ) +
Trang 13≤ ( )
4
9 2
3 4
3 2
3 cos cos ) sin (sin
2
1 ) 1 cos
(cos
2
1
2
1 α+2 β + + 2 α+2 β− α β+ = + = (đpcm)
3 Các bài toán đưa ra trắc nghiệm
Trước khi tôi dạy thử nghiệm nội dung sáng kiến của tôi cho học sinh của
2 lớp 11A1 và 11A2 ở trường tôi, tôi đã ra bài về nhà cho các em, cho các em chuẩn bị trước trong thời gian 2 tuần Với các bài tập sau:
Bài 1:Cho a2 + b2 = 1 CMR: | 20a3- 15a + 36b - 48b3| ≤13
Bài 2:Cho (a-2)2+ (b-1)2 = 5 CMR: 2a + b ≤10
Bài 3:Cho
= +
≥ 2 b a
0 b
; a
CMR: a4 + b4≥a3 + b3
−
−
−
≥
−
−
−
c
1 c b
1 b a
1 a a
1 c c
1 b b
1 a
Bài 5:Cho
= +
+ +
>
1 xyz 2 z y x
0 z
; y
; x
2 2
a) xyz≤
8
1
b) xy + yz + zx≤
4 3
c) x2 + y2 + z2 ≥
4 3
d) xy + yz + zx≤2xyz +
2 1
z 1
z 1 y 1
y 1 x
1
x
+
− + +
− +
+
−
Bài 6:CMR:
ab 1
2 b
1
1 a
1
1
2
2 + + ≤ +
Bài 7:CMR: (a2 + 2)(b2+ 2)(c2 + 2)≥9 (ab + bc + ca) ∀a, b, c > 0
Bài 8:Cho
2
3 3 z 1
z y
1
y x
1
x : CMR 1
zx yz xy
0 z , y , x
2 2
−
+
−
+
−
= + +
>
Bài 9:Cho
2
3 z 1
z y
1
y x
1
x : CMR xyz
z y x
0 z , y , x
2 2
+
+ +
+ +
= + +
>