DUNG LƯỢNG VÀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ GIẢI TÍCH Bành Đức Dũng Trường Đại học Giao thông Vận tải tp.Hồ Chí Minh Khái niệm ánh xạ đa trị giải tích lần đầu tiên được đưa ra bởi
Trang 1DUNG LƯỢNG VÀ DẠNG ĐẠI SỐ CỦA CÁC ÁNH XẠ ĐA TRỊ GIẢI TÍCH
Bành Đức Dũng
Trường Đại học Giao thông Vận tải tp.Hồ Chí Minh
Khái niệm ánh xạ đa trị giải tích lần đầu tiên được đưa ra bởi Oka vào năm
1934 khi tổng quát hóa một định lý của Hartogs Sau đó, Nishino và Yamaguchi
đã đưa ra những phép chứng minh về các kết quả của Oka và mở rộng chúng Năm 1981, trong một hoàn cảnh khác, Slodkowski đã nghiên cứu các ánh xạ đa trị giải tích và dùng các tính chất của chúng để giải quyết các vấn đề trong đại số Banach và đại số đều, đồng thời ông cũng đưa ra một số đặc trưng mới cho các ánh xạ đa trị giải tích và tổng quát hóa cho trường hợp nhiều chiều (xem [4])
Trong bài viết này, kết quả đầu tiên mà chúng tôi muốn giới thiệu (định lý 3) là sự tổng quát hóa một định lý của Aupetit (xem [3]) về mối quan hệ giữa các ánh xạ đa trị giải tích và dung lượng các ảnh của nó Các ánh xạ đa trị hữu hạn có dạng “đại số” (các ánh xạ mà ảnh của nó tại mỗi điểm là tập không điểm của một
đa thức với hệ số thích hợp) cũng giải tích và đã được sử dụng nhiều khi xét các ánh xạ đa trị giải tích (trong trường hợp một biến phức, xem [1]) Một câu hỏi đặt
ra là, ngược lại, một ánh xạ đa trị giải tích hữu hạn có thể biểu diễn được dưới dạng “đại số“ hay không và điều này có còn đúng cho trường hợp nhiều biến không? Định lý 4 cho một câu trả lời khẳng định về vấn đề này
Trước hết, chúng ta nhắc lại một vài kí hiệu cơ bản
Cho X và Y là các không gian metric Kí hiệu
Trang 2P (Y) = {các tập con của Y},
Một ánh xạ S : X P (Y) cũng được gọi là một ánh xạ đa trị
Với A X, B Y, ta thường viết
S –1 (B) = {x X : S (x) B},
S (A) = {S (x) : x A},
(S) = { (x, y) X Y : y S (x)} ( còn được viết là S)
Định nghĩa 1: Anh xạ K: X F c (Y) ®ược gọi là nửa liên tục trên nếu với
Định nghĩa 2: Cho G mở trong C n và K: G F c (Ck ) là nửa liên tục trên K
điều hòa dưới trên một lân cận của
'
G
K
'
G
K
là đồ thị của K G’), hàm xác định bởi
() = sup { ( , z) : z K ( )}
là đa điều hòa dưới trên G’
Định lý 3 Cho K : G F c (Ck ) là đa trị giải tích Khi đó
Trang 3i) hoặc tập E = { G : K ( ) < } có C2n2( E ) 0;
tập E’ = { G : K ( ) < r} có C2n2( E ' ) 0
Chứng minh Trước hết, ta chứng minh cho trường hợp k = 1 Giả sử (i)
không xảy ra, nghĩa là tập
E = { G : K ( ) < } có C2n2( E ) 0
Khi đó, tồn tại số nguyên r 1 sao cho
E r = { G : K ( ) r } có C2n2( Er) 0
Do đó, với mỗi G thì K ( ) r nên r (K ( )) = 0 trên E r và do đó,
(xem [1]), ta suy ra log r (K ( )) = - trên G, nghĩa la K ( ) r, với mọi
G
giả sử ngược lại rằng tồn tại một số r ’ r sao cho C2n2( Er') 0 với E r’ = {
G : K ( ) r ’} Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên, ta lại có K ( ) r
’ với mọi G Điều này là mâu thuẫn với sup { K ( ) : G} Như vậy, trường hợp k = 1 đã được chứng minh
Trong trường hợp k bất kì, ta vẫn giả sử rằng C2n2( E ) 0 với E = { G:
K ( ) < } Gọi i là phép chiếu thứ i trên Ck Khi đó, ánh xạ K i = i K là
đa trị giải tích trên G, i = 1, 2, , k Mặt khác ta có
Trang 4E = { G : K ( ) < }
= { G : K i ( ) < , i = 1, 2, , k}
Do đó C2n2( Ei) 0 với E i = { G : K i () < } Theo trên, định lý
đã đúng với k = 1 nên với mỗi i = 1, 2, , k tồn tại số r i 1 sao cho K i ( ) r i
r i
E = { G : K i ( ) < r i } có 2n2( r i ) 0
i E
ra
k i i
k
1
1 ( )
1 i
k
k
1
G Bây giờ, đặt r = i
k
1
, ta sẽ chứng minh rằng C2n2( E ' ) 0 với E’ = { G :
K ( ) < r} Giả sử ngược lại C2n2( E ' ) 0 Khi đó, ắt tồn tại một số r’ < r sao cho C2n2( Er') 0 với E r’ = { G : K ( ) r’} và do đó, tồn tại ít nhất i, i
=1, 2, , k, sao cho r ’ < r i và K ( ) r i với mọi G Nhưng điều này là mâu
thuẫn với tập r i
i
E ={ G : K i( ) < r i } có 2n2( r i) 0
i E
Định lý được chứng minh
Anh xạ đa trị K: G F c (Ck ) nếu nó là ánh xạ K : G F f (Ck)
Định lý 4 Cho K: G F c (Ck ) Khi đo, K là giải tích hữu hạn nếu và chỉ
nếu nó có dạng
r
J i
a () 0, 1,2, , } với mọi G,
Trang 5trong đo r = sup { K () : G}, ai J( ) là các hàm chỉnh hình không đồng
nhất bằng không trên G với mọi i = 1, 2, , n; J = r
Chứng minh Giả sử K : G F c (Ck) là giải tích hữu hạn Theo định lý 3,
tồn tại số nguyên r 1 sao cho K ( ) r với mọi G và K ( ) = r hầu hết trừ ra một tập có (2n - 2) – dung lượng ngoài bằng không Xét ánh xạ chiếu
: K F c (Cn), ( , z)
Rõ ràng là một ánh xạ riêng chỉnh hình Từ
-1() = { } K ( )
với mọi G, ta có thể đồng nhất K ( ) với -1( ), nghĩa là ta có thể xem
( K( )) = Hơn nữa, từ tính giải tích của K và tính Stein của G suy ra tồn tại
K( ) = { z G : f ( , z) = 0},
f và sai khác nhau một đẳng cấu chỉnh hình Giả sử f ( , z) = (f 1( , z), f 2( , z), , f n ( , z)) thì f i ( , z) là các hàm chỉnh hình trong một lân cận của K , i = 1,
2, , n Khi đó trên G, f i khai triển f i ( , z) =
0
) (
J
J i
J z
J
ta có f i ( , z) =
r
J
J i
J z a
0
)
có
Trang 6K ( ) = { z C k :
r
J
J i
J z a
0
)
J
Ngược lại, giả sử
K ( ) = { z C k :
r
J
J i
J z a
0 )
J
minh K là giải tích Thật vậy, ta có K = {( , z) : G, z K ( )} là một đa tạp giải tích Xét phép chiếu 1 : K G , ( , z) thì 1 là một toàn ánh riêng
lên thành phần thứ hai Từ đó, theo [2, Định lý 3.1] thì K là giải tích
Hệ quả 5 Định lý duy nhất cho các ánh xạ đa trị giải tích hữu hạn) Cho K
và H là các ánh xạ đa trị giải tích hữu hạn từ G vào F c (Ck ) Nếu K và H bằng
nhau trên một tập con có phần trong khác rỗng của G thì K và H bằng nhau trên
G
Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát khi K và H không hữu hạn thì kết
quả này không còn đúng nữa Ví dụ sau đây cho ta thấy điều đó
0
1
0
1
)
(
z
z K
và
Trang 7
0
1
0 1
r 0 )
(
z
z H
với r > 0 cho trước Khi đó K và H là giải tích và K H trên C \ {0} nhưng K(0)
H (0)
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Bành Đức Dũng Một số tính chất của các ánh xạ đa trị giải tích, Luận
văn Thạc sỹ, (2001)
2 Trần Ngọc Giao Hàm giá trị tập giải tích và thác triển của chúng, Luận
án PTS, (1991)
3 B Aupetit Analytic multivalued functions in Banach algebras and
uniform algebras, Adv In Math, 44 (1982) 18 - 60
4 Z Slodkowski, Analytic set - valued functions and spectra, Math Ann
256 (1981) 363 - 386
CAPACITIES AND ALGEBRAIC FORMS
OF ANALYTIC MULTIVALUED FUNCTIONS
Banh Duc Dung
SUMMARY
In [3], Aupetit obtained a result about the capacities of analytic multivalued functions in case of one-dimension In this paper, we will extend the
Trang 8result in the general case We also found that a function would be finitely multivalued if and only if it has the algebraic form