Mômen quán tính của tấm tròn hoặc khối trụ tròn với trục z qua tâm và vuông góc với mặt phẳng của nó là: J =∑γ π ∆.2 .r... MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA VẬT ĐỐI VỚI CÁC TRỤC SONG SONG... MÔMEN QUÁ
Trang 1CHƯƠNG 12: HÌNH HỌC KHỐI LƯỢNG
I KHỐI TÂM CỦA CƠ HỆ
Xét hệ chất điểm M ,1 M , ,2 M có khối lượng tương ứng là n m ,1 m , ,2 m , có các n vectơ định vị tương ứng là rr1,
2 r
r , , n r
r Khối tâm của cơ hệ là một điểm hình học C được xác định theo công thức:rC m rK K
M
Trong đó rrC là vectơ định vị khối tâm cơ hệ,
K
M=∑m là khối lượng của cả hệ
Chiếu (12.1) lên các trục tọa độ ta được:
K K C
K K C
K K C
m x x
M
m y y
M
m z z
M
=
=
=
∑
∑
∑
(12.2)
Với x ,C y ,C z là tọa độ điểm C, C x ,K y ,K z là K
tọa độ chất điểm thứ K
Nếu cơ hệ ở gần mặt đất thì khối tâm của cơ hệ trùng với trọng tâm của nó Nhân cả
tử và mẫu của (12.1) hoặc (12.2) với gia tốc trọng trường g ta sẽ nhận được các công thức trọng tâm của hệ Khối tâm của cơ hệ luôn tồn tại còn trọng tâm thì chỉ tồn tại khi cơ hệ ở gần mặt đất
II MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA VẬT RẮN
1 Mômen quán tính c ủa vật đối với trục
a, Định nghĩa: Mômen quán tính của vật rắn đối với trục z (ký hiệu là J ) là đại lượng vô z hướng, được xác định theo công thức:
2
J =∑m d (12.3)
Trong công thức trên m là khối lượng chất điểm K
K
M , d là khoảng cách từ chất điểm K M đến trục z K
Gọi x ,K y ,K z là tọa độ chất điểm K M Ta dễ K
dàng chứng minh được:
∑
∑
∑ (12.4)
2 Mômen quán tính c ủa vật đối với
điểm
a, Định nghĩa: Mômen quán tính của vật rắn đối với điểm O, ký hiệu là J đại lượng vô O hướng, được xác định theo công thức:
2
J =∑m r (12.5)
O
X
Y
Z
1
M
2
M
n
M
C 1
r
r r
C r r n r r
Y
O
X
Z
K
M
K r r
y
x
z k
d
Trang 2Trong công thức trên m là khối lượng chất điểm K M , K r là khoảng cách từ chất K điểm M đến điểm O K
3 M ối liên hệ giữa mômen quán tính của vật đối với điểm và
tr ục
J + + =J J ∑m (2x +2y +2z )=2∑m (x +y +z )=2∑m r =2J
Hay là: O ( x y z)
1
2
III MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA MỘT SỐ VẬT ĐỒNG CHẤT
1 Đối với thanh mỏng đồng chất
Xét thanh mỏng AB có khối lượng M và chiều dài L
Chia thanh làm nhiều phần tử dọc theo chiều dài thanh Xét
một phần từ cách trục Ay là x , có độ dài là K ∆xK Khối
lượng của nó là mK = γ ∆ xK, với M
l
γ = là khối lượng một đơn vị chiều dài thanh
Mômen quán tính của thanh với trục Ay là: JAy =∑m xK 2K = γ∆∑ x xK 2K Chuyển tổng này qua giới hạn ta nhận được:
2 Ay
0
.l M.l
γ
2 Đối với vòng tròn, vỏ trụ tròn đồng chất
Xét vòng tròn hoặc vỏ trụ tròn đồng chất có khối lượng M
và bán kính R Chia vòng tròn hoặc vỏ trụ tròn làm nhiều phần tử
nhỏ Xét phần tử thứ K có khối lượng của nó là m K
Mômen quán tính của vòng tròn hoặc vỏ trụ tròn với trục
z qua tâm và vuông góc với mặt phẳng của nó là:
J =∑m R =M.R (12.8) Chú ý O z ( x y z)
1
2
(12.9)
3 Đối với tấm tròn, khối trụ tròn đồng chất
Xét tấm tròn hoặc khối trụ tròn đồng chất có khối lượng M và
bán kính R Chia tấm tròn hoặc khối trụ tròn làm nhiều vành tròn
nhỏ Xét vành tròn thứ K có bán kính r , bề dày vành tròn là K ∆rK
Khối lượng của vành tròn là mk = γ π ∆.2 r rk k, với M2
.R
γ =
π là khối
lượng một đơn vị diện tích tấm
Mômen quán tính của tấm tròn hoặc khối trụ tròn với trục z
qua tâm và vuông góc với mặt phẳng của nó là:
J =∑γ π ∆.2 r r r = π γ2 ∑r r∆ (12.10) Chuyển tổng này qua giới hạn ta nhận được:
3 z
J 2 r dr 2
k
X ∆Xk
x
y
Y
X R ur
Y
X k r r
Trang 3Chú ý O z ( x y z)
1
2
4 Đối với khối cầu đồng chất
Xét khối cầu đồng chất có khối lượng M và bán
kính R Chia khối cầu làm nhiều tấm tròn mỏng song song
với mặt phẳng Oxy Xét tấm tròn thứ K có bán kính r , bề K
dày tấm tròn ∆zK Khối lượng của tấm tròn là
2
m = γ π ∆ .r z , với M 3.M3
V 4 R
π là khối lượng một
đơn vị thể tích
Mômen quán tính của tấm tròn với trục z là:
z
m r r z r J
γ π ∆
.r z R z z
Mômen quán tính khối cầu với trục z là tổng mômen quán tính của các tấm tròn với trục đó, vậy ta có:
( 2 2)2
1
2
Chuyển tổng qua giới hạn ta được: R ( )
2
R
−
(12.13)
Vì tính đối xứng nên ta có :Jx Jy Jz 2MR2
5
Mặc khác O ( x y z)
1
2
IV MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA VẬT ĐỐI VỚI CÁC TRỤC SONG SONG
1 Định lý: Mômen quán tính của vật với trục z nào đó bằng tổng mômen quán tính 1 của nó đối với trục z song song z đi qua khối 1
tâm của vật và tích khối lượng của vật với bình
phương khoảng cách giữa hai trục ấy:
2 z1 Cz
J =J +M.d (12.15)
Chứng minh: Dựng hệ quy chiếu Cxyz có
Cz song song z , trục 1 z nằm trong mặt phẳng 1
Cxz Theo định nghĩa ta có: 2
J =∑m r ; 2
J =∑m r
Xét tam giác ABMK ta có:
r = + −r d 2.d.r cosα mà r cK osα =xK
r = + −r d 2.d.x thay vào ta có:
J =∑m r =∑m r + −d 2.d.x
J =∑m r +∑m d −2.d∑m x
(*)
O
Y
X
Z
k r r R
ur
Zk
Zk
X
Z 1
Z
A
B
k
M k r r
1k r r
α
d
k
x
k
y
Trang 4Theo công thức (12.2) ta có:
m x =M.x =0
Vậy (*) trở thành:
J =∑m r +∑m d =J +M.d (ĐPCM)
Nhận xét: Trong các trục có cùng phương thì mômen quán tính đối với trục qua khối
tâm có giá trị bé nhất
V MÔMEN QUÁN TÍNH CỦA VẬT ĐỐI VỚI CÁC TRỤC CẮT NHAU TẠI MỘT
ĐIỂM
Định lý: Mômen quán tính của vật đối với trục ∆ đi qua gốc tọa độ với các góc chỉ phương là , ,α β γ có biểu thức xác định là:
J∆ =J cos2α +J cos2β +J cos2γ −2.J cos osα.c β −2.J cos osβ.c γ −2.J cos osγ.c α
(12.16)
Trong đó
∑
∑
∑
∑
Các đại lượng J , J , J được gọi là những mômen tích quán tính (còn có tên là yz zx xy
mômen quán tính ly tâm) Từ (12.6) ta có thể tính mômen quán tính của trục bất kỳ khi biết sáu đại lượng trên
VI CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH VÀ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH
TRUNG TÂM
1 Định nghĩa về trục quán tính chính và trục quán tính chính trung tâm
TrụcOz được gọi là trục quán tính chính tại O nếu thỏa mãn điều kiện:
zx zy
J =J =0(12.17)
TrụcOz được gọi là trục quán tính chính trung tâm nếu nó là trục quán tính chính và
đi qua khối tâm của vật rắn
Mômen quán tính của vật đối với trục quán tính chính được gọi là mômen quán tính chính, và đối với trục quán tính chính trung tâm được gọi là mômen quán tính chính trung tâm
Chú ý: Người ta đã chứng minh được rằng : Tại mỗi điểm của vật có ba trục quán tính chính vuông góc với nhau
2 Các định lý
a, Định lý 1: Trục quán tính chính của vật rắn tại điểm O, không đi qua khối tâm của vật thì nó chỉ là trục quán tính chính của vật tại điểm O
Chứng minh: Giả sử Oz là trục quán tính chính
của vật tại O Ta sẽ chứng minh nó không phải là trục
quán tính chính của vật tại điểm O1 nào đó Ta lấy O1
trên Oz và cách O là d Gắn vào O, O1 các hệ trục tọa
độ như hình vẽ Vì Oz là trục quán tính chính của vật
rắn tại O nên Jzx =Jzy =0
Ta có: Jz x′ ′=∑m z xK K′ ′K =∑m zK ( K−d x) K
′ ′
′ ′
Z
X
Y
Y’
X’
O O’
k
M
k
x k
y k
y′ x′k
Trang 5Vì Oz không đi qua khối tâm C nên xC ≠0, vậy Jz x′ ′≠0 Rõ ràng trục Oz không phải là trục quán tính chính của vật rắn tại O1
b, Định lý 2: Trục quán tính chính trung tâm của vật là trục quán tính chính của mọi điểm trên trục ấy
Chứng minh: Ta thấy khi Oz là trục trục quán tính chính trung tâm thì nó đi qua
khối tâm C, tức là xC =0 Vậy Jz x′ ′=0, tương tự ta cũng chứng minh đượcJz y′ ′ =0 Rõ
ràng trục Oz là trục quán tính chính của mọi điểm thuộc Oz
c, Định lý 3: Nếu vật rắn đồng chất có một trục đối xứng thì trục đó là trục quán tính chính trung tâm
Chứng minh: Gọi trục đối xứng của vật rắn là z thì khối tâm của vạt phải nằm trên
trục này Nếu vật có phần tử M có khối lượng K m , có tọa độ K (x , y , zK K K) thì tương ứng
sẽ có phần tử M′K đối xứng với M qua trục z K MK′ có khối lượng m , có tọa độ K (−x , y , zK − K K).Ta có :
( ) ( )
Do đó z là trục quán tính chính, mặc khác z đi qua khối tâm C nên z là trục quán tính chính trung tâm của vật rắn
d, Định lý 4: Nếu vật rắn đồng chất có mặt phẳng đối xứng thì trục vuông góc với mặt phẳng đó là trục quán tính chính tại giao điểm giữa mặt phẳng đối xứng và trục
Chứng minh: Chọn trục Ox, Oy thuộc mặt phẳng đối xứng Nếu vật có phần tử M K
có khối lượng m , có tọa độ K (x , y , zK K K) thì tương ứng sẽ có phần tử M′K đối xứng với K
M qua mặt phẳng Oxy.M′Kcó khối lượng m , có tọa độ K (x , y , zK K − K).Ta có :
( ) ( )
Do đó Oz là trục quán tính chính của vật rắn
Chú ý rằng khối tâm C của vật rắn nằm trên mặt phẳng đối xứng, do vậy trục vuông góc với mặt phẳng đối xứng tại khối tâm C sẽ là trục quán tính chính trung tâm
