Hoàn toàn tương tự với 13.2 ta có định luật sau: Nếu hình chiếu của vectơ chính của các ngoại lực lên một trục nào đó luôn luôn bằng không thì hình chiếu của khối tâm cơ hệ trên trục đó
Trang 1CHƯƠNG 13: CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT ĐỘNG LỰC HỌC
I ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG KHỐI TÂM CƠ HỆ
1 Định lý chuyển động khối tâm cơ hệ
Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng khối lượng của cơ hệ và chịu tác dụng của lực có vectơ lực bằng vectơ chính của hệ ngoại lực tác dụng lên cơ hệ:
e K C
MWuur =∑Fr (13.1)
Chứng minh:
Xét hệ có n chất điểm, hệ phương trình vi phân của nó là:
e i
1 1 1
1
e i
2 2 2
2
e i
n n n
n
= +
= +
= +
uur r r
Cộng từng vế các phương trình của hệ ta được: ∑m WKuurK =∑FreK+∑FriK
Ta thấy ∑FriK =0 nên ∑m WKuurK =∑FreK (*)
Mặc khác từ (12.1) ta có r MrC =∑m rK rK
Lấy đạo hàm hai lần đẳng thức này ta được: &&rr MC =∑m rK&&rK ⇔W MuurC =∑m WK uurK, thay vào (*) ta được MWuurC =∑FreK Định lý đã được chứng minh
Chiếu (13.1) lên các trục tọa độ ta được:
e
e
e
=
=
=
∑
∑
∑
&&
&&
&&
(13.2) Đây là phương
trình vi phân chuyển động khối tâm dưới dạng hình chiếu
2 Định luật bảo toàn khối tâm cơ hệ
Nếu vectơ chính của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ bằng không thì khối tâm của
cơ hệ đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều
Chứng minh: Từ (13.1) ta thấy nếu ∑FreK =0 thì WuurC=0
⇒VurC=cosnt
Vậy nếu ban đầu VurC =0
thì khối tâm cơ hệ đứng yên, còn nếu VurC =V0
thì khối tâm cơ hệ chuyển động thẳng đều với vectơ V0
Hoàn toàn tương tự với (13.2) ta có định luật sau:
Nếu hình chiếu của vectơ chính của các ngoại lực lên một trục nào đó luôn luôn bằng không thì hình chiếu của khối tâm cơ hệ trên trục đó đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều
Định luật này gọi là “Định luật bảo toàn chuyển động của hình chiếu khối tâm cơ hệ”
II ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG
1 Động lượng của chất điểm và cơ hệ
a, Động lượng chất điểm: Động lượng chất điểm là một đại lượng vectơ, ký hiệu là qr
bằng tích khối lượng của chất điểm với vận tốc của nó
qr=m.Vur
(13.3)
Trang 2b, Động lượng cơ hệ: Động lượng cơ hệ (ký hiệu là Qur
) là tổng hình học động lượng các chất điểm thuộc cơ hệ
K K
Qur=∑m Vur (13.4)
Từ (12.1) ta được ∑m rKrK =M.rrC Đạo hàm hai vế đẳng thức này theo t ta được:
K
m V =M.V
∑ ur ur Hay là Qur=M.VurC
Như vậy động lượng của cơ hệ có thể xác định bằng công thức Qur=M.VurC
Với M là khối lượng của cả cơ hệ, VurC
là vận tốc khối tâm cơ
hệ
2 Xung l ượng của lực(Xung lực)
Xung lượng nguyên tố của lực Fr
là đại lượng vectơ, ký hiệu là dSr
, bằng tích của lực Fr
và dt
dSr r=F.dt
(13.5) Xung lượng của Fr
trong khoảng thời gian hữu hạn từ t0→t1 là tích phân của xung lực nguyên tố:
Sr=∫dSr=∫F.dtr Nếu Fr=cosnt
thì Sr r=F t( 1−t0)
Đơn vị của xung lực là Ns
3 Các định lý biến thiên động lượng của chất điểm và cơ
h ệ
a, Định lý 1: Đạo hàm theo thời gian động lượng của chất điểm bằng hợp lực của
các lực tác dụng lên chất điểm đó
( ) ( )
K
d m.V
d q
F
ur
(13.6)
Chứng minh: Xét chất điểm M có khối lượng m, các lực tác dụng vào chất điểm là
1 2 n
F , F , , Fr r r
Viết phương trình cơ bản động lực học cho M ta có:
( )
K
d m.V
∑
ur
(ĐPCM)
b, Định lý 2: Đạo hàm theo thời gian động lượng của cơ hệ bằng vectơ chính của
các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ
K
d Q
F
dt =∑
ur
r
(13.7)
Chứng minh: Xét chất điểm M có khối lượng K m , các lực tác dụng vào chất điểm K gồm có ngoại lực FreK
và nội lực FriK
Theo định lý 1 ta có:
K
K K
d m V dq
ur
Cộng từng vế đẳng thức này ta được:
K K
Chú ý là ∑FriK =0 nên eK
dQ
F
dtur =∑r (ĐPCM)
c, Định lý 3: Biến thiên động lượng của chất điểm trong một khoảng thời gian nào
đó bằng tổng hình học xung lượng của các lực tác dụng lên chất điểm trong thời gian ấy
Trang 30
t K
t m.Vur −m.Vur =∑ ∫F dtr =∑Sr (13.8)
Chứng minh: Từ (13.6) ta có d m.V( )ur =∑F dtrK Tích phân hai vế đẳng thức này
V
V
d m.V = ∑F dt=∑ F dt
uur
uur
Hay là :
1
0
t K
t m.Vur −m.Vur =∑ ∫F dtr =∑Sr (ĐPCM)
d, Định lý 4: Biến thiên động lượng của cơ hệ trong một khoảng thời gian nào đó
bằng tổng hình học xung lượng của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ trong khoảng thời gian ấy
1
0
t
1 0
t
Qur ur−Q =∑ ∫F dtr =∑Sr (13.9)
Chứng minh: Từ (13.7) ta có ( ) e
K
d Qur =∑F dtr Tích phân hai vế đẳng thức này với
V
V
d Q = ∑F dt=∑ F dt
uur
uur
Hay là :
1
0
t
1 0
t
Q −Q =∑ ∫F dt=∑S
(ĐPCM)
Chú ý: Khi chiếu các đẳng thức trên lên các trục tọa độ đề các ta có các hệ sau:
- Chất điểm:
( )
x
Kx
y
Ky
z
Kz
d m.V
F dt
d m.V
F dt
d m.V
F dt
∑
∑
∑
ur
r ur
r ur
r
và
1
0 1
0 1
0
t Kx
t t Ky
t t Kz
t
(13.11)
Trang 4- Cơ hệ:
( ) ( ) ( )
e x
Kx
e y
Ky
e z
Kz
d Q
F dt
d Q
F dt
d Q
F dt
=
=
=
∑
∑
∑
ur
r ur
r ur
r
(13.12) và
e Kx 1x 0x
e Ky 1y 0 y
e Kz 1z 0 z
− =
− =
− =
∑
∑
∑
(13.13)
Trong các công thức trên ta không thấy sự có mặt của nội lực Vậy nội lực không làm biến đổi động lượng của hệ
Các định lý trên thường được sử dụng cho các bài toán va chạm và các bài toán về chuyển động trong môi trường liên tục Sau đây ta xét một số trường hợp mà động lượng
được bảo toàn
4 Định luật bảo toàn động lượng
Ta chỉ xét cho trường hợp cơ hệ, đối với chất điểm được xem như mọt trường hợp riêng của cơ hệ
a, Định lý 5: Nếu vectơ chính của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ luôn luôn bằng
không thì động lượng của cơ hệ được bảo toàn
e K
F = ⇔ =0 Q cosnt
Chứng minh: Nếu ∑FreK =0, từ (13.7) ta có ( ) e
K
d Q
dt =∑ = ⇒ = osnt
ur
(ĐPCM)
b, Định lý 6: Nếu hình chiếu của vectơ chính của các ngoại lực lên một trục nào đó
luôn luôn bằng không thì hình chiếu động lượng của cơ hệ lên trục ấy được bảo toàn
Chứng minh: Nếu ∑FreKx =0, ta có ( )x e
d Q
ur
(ĐPCM)
III ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG
1 Mômen động lượng của chất điểm và cơ hệ
a, Mômen động lượng của chất điểm:
- Mômen động lượng của chất điểm đối với tâm O là một vectơ ký hiệu là l O là mômen của vectơ động lượng đối với điểm O
( ) ( )
l =m q =m m.Vur = ∧r m.Vur
(13.15)
- Mômen động lượng của chất điểm đối với trục z là một lượng đại số ký hiệu là l z
( ) ( ) ( )
l =mr rq =mr m.Vur = ± m.V h′
(13.16) Trong đó m.V′là hình chiếu của m.Vur
lên mặt phẳng π vuông góc với trục z, h là khoảng cách từ O (là giao điểm của mặt phẳng π với trục z) đến m.V′ Lấy dấu cộng khi nhìn từ trục z xuống mặt phẳng π thấy Vuur′
quay quanh O theo ngược chiều kim đồng hồ
Tương tự mômen lực ở tĩnh học ta cũng có: Mômen động lượng của chất điểm đối
với một trục bằng hình chiếu lên trục ấy của vectơ mômen động lượng của chất điểm đối với một điểm thuộc trục
hc l =hc m F =m F
r r
(13.17)
Trang 5Gọi x,y,z là tọa độ của chất điểm và V , V , V là hình chiếu vận tốc chât điểm ấy lên x y z
các trục tọa độ Từ (13.15) ta có: O
= ∧ =
ur
Tương tự công thức (1.2) ta cũng có:
= −
= −
= −
(13.19)
b, Mômen động lượng của cơ hệ:
- Mômen động lượng của cơ hệ đối với một tâm bằng tổng mômen động lượng của
các chất điểm thuộc cơ hệ với cùng tâm đó
Lur =∑mr rq =∑mr m Vur =∑rr ∧m Vur (13.20)
- Mômen động lượng của cơ hệ đối với một trục bằng tổng mômen động lượng của
các chất điểm thuộc cơ hệ với cùng trục đó
( ) ( K)
L =∑mr rq =∑mr m Vur (13.21) Đơn vị của mômen động lượng là: kgm2
/s
c, Mômen động lượng của vật rắn quay quanh trục cố định:
Xét vật rắn quay quanh trục cố định z với vận tốc góc là ω
Mômen động lượng của chất điểm M với trục z là: K
KZ Z K
l =mr m Vur
Do m VK urK
nằm trên mặt phẳng chứa M và K K
r
r nên
KZ K K K
l = ±r m V Theo hình vẽ ta lấy dấu cộng vậy
KZ K K K
l =r m V Mặc khác VK = ω.rK nên ta có lKZ = ω.m rK K2
Mômen động lượng của cả vật đối với trục z là:
L =∑mr rq = ω.∑m r
J =∑m d =∑m r , vậy ta được:
L = ω.J (13.22)
2 Định lý biến thiên mômen động lượng của
ch ất điểm và cơ hệ
a, Định lý 1: Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng của chất điểm đối với một
tâm (với một trục) cố định bằng tổng mômen các lực tác dụng lên chất điểm đối với cùng tâm (trục) đó
( )
O
K O
d l
K z
dl
dt =∑ r (13.24)
Chứng minh: Xét chất điểm M, có khối lượng m, chịu tác dụng của hệ lực
(F , F , , Fr r1 2 rn)
( )
d m.V dV
=∑ ⇔ =∑ ⇔ =∑
ur ur
Gọi rr là vectơ định vị chất điểm, nhân hai vế đẳng thức trên với rr ta được:
( )
K
d m.V
dt
∧ = ∧∑
ur
r
ωr k r r k
M k
Vur
k m.Vur
Trang 6Chú ý rằng d ( ) dr d ( )
dt r∧ ur = dtr∧ ur+ ∧r dt ur
Mà ta thấy dr
dtr∧ ur ur= ∧ ur=
⇒ d ( ) d ( )
dt r∧ ur = ∧r dt ur
d
dt r∧ ur = ∧r ∑r hay là:
d l
r
Chiếu 2 vế của (13.23) lên trục z qua điểm O ta được (13.24)
b, Định lý 2: Đạo hàm theo thời gian mômen động lượng của cơ hệ đối với một tâm
(với một trục) cố định bằng tổng mômen của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đối với cùng tâm (trục) đó
( )e
O
K O
dL
z
K z
dL
Chứng minh: Xét cơ hệ có n chất điểm, gọi nội lực và ngoại lực tác dụng lên chất
điểm thứ K là FriK
và FreK Áp dụng (13.23) cho chất điểm thứ K ta được:
d l
r
Viết phương trình như trên cho tất cả các chất điểm còn lại của cơ hệ và cộng từng
vế ta được:
d l
r
O OK
r
ur r
và ( )i
K O
∑r r nên (*) được viết lại là:
( )e
O
K O
dL
dtur =∑r r (ĐPCM) Chiếu 2 vế của (13.25) lên trục z qua điểm O ta được (13.26)
3 Định luật bảo toàn mômen động lượng
Nếu mômen chính của các ngoại lực tác dụng lên cơ hệ đối với một tâm (một trục) cố định luôn luôn bằng không thì mômen động lượng của cơ hệ đối với tâm (trục) đó bảo toàn
Chứng minh: Từ (13.25) ta thấy nếu ( )e
K O
∑r r thì dLO 0
dt =
ur
⇒LurO =const
Như vậy mômen động lượng đối với một tâmcủa cơ hệ được bảo toàn
Tương tự từ (13.26) ta cũng chứng minh được nếu ( )e
K O
∑r r thì mômen động lượng đối với một trục của cơ hệ được bảo toàn
IV ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG NĂNG
1 Công c ủa lực
a, Công nguyên tố của lực: Công nguyên tố dA của
lực Fr
trên đoạn dời điểm đặt vô cùng nhỏ ds của nó là
đại lượng vô hướng bằng:
dA=F.ds.cosα (13.27)
O
X
Y
Z 0
M M F1 rτ
V ur
Fr
α
Trang 7Z
X O
Y
0
M
1
M P
ur
Nhận xét rằng F.cosα =Fτ là hình chiếu của Fr
lên phương Vur
Vậy dA=F dsτ
Có thể viết biểu thức công nguyên tố dưới những dạng khác:
- Vì ds V.dt= nên dA=F.V.cosα =.dt F V.dtτ (13.28)
- Biết F.V.cosα =F.Vr ur
và V.dtur =drr
nên dA=F.drr r (13.29)
- Gọi F , F , Fr r rx y z
hình chiếu của Fr
lên các trục tọa độ thì dA=F dxx +F dyy +F dzz (13.30)
b, Công hữu hạn của lực: Công của lực trên quãng đường hữu hạn M M do điểm 0 1
đặt của lực vạch ra bằng tích phân của công nguyên tố trên quãng đường ấy
¼
1
0 1
0
M
M M
M
A = ∫ dA (13.31)
Đơn vị của công là jun, ký hiệu là J Đơn vị này có thể gọi là Niutơn mét, ký hiệu là N.m
c, Công của một số lực thường gặp:
♦Công của trọng lực: Giả sử chất điểm M chịu tác dụng của trọng lực Pur đời chỗ theo đường cong (C) nào đó từ M (x , y , z ) đến 0 0 0 0
1 1 1 1
M (x , y , z ) như hình vẽ Ở gần mặt đất, trọng lực Pur
có thể xem như không đổi là P=m.g hường thẳng đứng xuống dưới
Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, trục Oz hướng thẳng đứng lên trên và
ta có: Px=Py =0, Pz = −P Khi đó công của lực Pur
khi M di chuyển trên đoạn M M0, 1là:
0 1
A → = ∫ dA= ∫ P dx+P dy+P dz = −∫ P.dz
0 1
A → = −P z −z =P z −z Nếu gọi h= z0−z1 thì ta có AP = ±P.h
Dấu (+) khi z0 ≥z1, tức M đi xuống thấp, dấu (-) khi z0<z1, tức M đi lên cao
Từ các công thức trên ta thấy công của trọng lực không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo điểm đặt lực mà chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối của điểm đặt lực, tức độ chênh cao
h
Công của trọng lực tác dụng lên cơ hệ bằng tổng công trọng lực tác dụng lên các chất điểm thuộc hệ, vậy ta có công của trọng lực tác dụng lên cơ hệ khi nó dịch chuyển từ vị trí
0 đến vị trí 1 là: A0→1=∑PK(zK 0−ZK1)=∑P zK K 0−∑P zK K1
Từ công thức xác định khối tâm ta có: ∑P zK K =P.zC với P=∑PK là trọng lượng của cả hệ, C là khối tâm của cơ hệ Thay vào ta có:
0 1 C0 C1
A → =P.z −P.z = ±P.h với h= zC0−zC1
(13.32)
Như vậy khi tính công của trọng lực tác dụng lên hệ chất điểm ta có thể quy về một chất điểm mạng khối lượng của cả cơ hệ nằm tạ khối tâm của cơ hệ
♦ Công của lực đàn hồi tuyến tính: Trong nhiều trường hợp, do tính đàn hồi của
vật gây liên kết mà nó tác dụng lên chất điểm một lực Fr
tuân theo định luật Húc:
Fr= −C.rr
Trong công thức trên C là hệ số cứng, rr là vectơ định vị chất điểm từ vị trí cân bằng Khi đó công của đàn hồi trên đoạn dịch chuyển M0 →M1 là:
1
0 1
r
2 2
r
r
Trang 8Nếu M trùng với vị trí cân bằng tĩnh thì 0 rr0 =0, vậy
0 1
1
M M
A
→
λ
= − = − (13.33)
với λ =r1 Cũng như công của trọng lực, công của lực đàn hồi tuyến tính cũng chỉ phụ thuộc điểm đầu và điểm cuối mà không phụ thuộc quỹ đạo điểm đặt lực
♦ Công của lực tác dụng lên vật rắn chuyển động:
- Chuyển động tịnh tiến: Theo công thức tính công nguyên tố (13.29) ta có:
dA=F.drr r=F.V.dtr ur =F.V dtr ur =F.drr r
(13.34)
- Chuyển động quay quanh trục cố định z: dA=F dsτ =F R.dτ ϕ =mz( )F dr ϕ
(13.35)
Nếu là ngẫu lực m thì ta có:z dA=m dz ϕ
(13.36)
- Chuyển động song phẳng: Xem vật chuyển động quay quanh trục Pz đi qua P (tâm vận tốc tức thời) và vuông góc với mặt phẳng chuyển động
Viết (13.35) ta được: dA=mzP( )F dr ϕ
(13.37)
Vì P liên tục thay đổi do vậy người ta còn đưa ra công thức sau:
dA=m F dr ϕ +F drr r
♦ Công của lực ma sát:
- Ma sát trượt: dA=F ds.cosms α mà cosα = −1 nên dA= −F dsms = −f N.ds (13.38)
Công của lực ma sát trượt luôn luôn âm
- Công của lực ma sát tác dụng lên vật lăn không trượt: Tiếp điểm P là tâm vận tốc tức thời nên VP =0, ta có: dA=F dsms =F V dtms P =0
(13.39)
Khi vật lăn không trượt, công của lực ma sát bằng không
♦ Công của các nội lực vật rắn:
Xét hai phần tử là M và 1 M của vật rắn Lực tác dụng tương hỗ giữa chúng là 2 Fr12
và Fr21
hướng theo phương M M và 1 2 Fr12 = −Fr21
Tổng công nguyên tố của hai lực đó là:
i i
dA +dA =F drr r +F drr r =F V dtr ur +F V dtr ur =F Vr ur ur−V dt
Theo định lý liên hệ vận tốc ta có: VurM 1 =VurM 2 +VurM M 1 2 ⇒Vur ur1−V2=VurM M 1 2
Mà VurM M1 2 ⊥Fr12⇒F Vr ur12 M M1 2 =0
dA +dA =0
- Ta có thể kết luận: tổng công của các nội lực tác dụng lên các chất điểm
thuộc vật rắn luôn bằng không ∑dAiK =0
(13.40) Chú ý rằng với các cơ hệ bất kỳ ∑dAiK có thể khác không vì chúng làm cho các
chất điểm chuyển động tương đối với nhau
2 Công su ất
Công suất là công do lực sinh ra trong một đơn vị thời gian Ký hiệu của công là N,
theo định nghĩa N dA
dt
= (13.41)
Đơn vị của công là Oát, ký hiệu là W (1W=1J/s)
Trang 9Ta có thể viết N=F.V.cosα, với α là góc giữa Fr
và Vur
(13.42)
3 Động năng
a, Động năng của chất diểm và cơ hệ
- Động năng của chất điểm: là một đại lượng vô hướng dương, ký hiệu là T, được
2
- Động năng của cơ hệ: Là tổng động năng các chất điểm thuộc cơ hệ:
Trong trường hợp đặt biệt, cơ hệ gồm một số vật chuyển động thì động năng của nó
là tổng động năng của các chất điểm chuyển động
b, Động năng trong một số chuyển động của vật
♦Chuyển động tịnh tiến: Trong trường hợp này VurK =VurC
nên động năng của vật là:
♦Chuyển động quay quanh trục cố định z: Trong trường hợp này VK = ω.rK nên động năng của vật là:
= ∑ = ∑ ω = ω ∑ = ω (13.46)
♦Chuyển động song phẳng: Ta coi như vật rắn chuyển động quay tức thời quanh
trục Pz đi qua vận tốc tức thời P và vuông góc với mặt phẳng chuyển động
Áp dụng (13.46) ta được:T 1J Pz 2
2
= ω P luôn di chuyển khi vật rắn chuyển động song phẳng nên ta biến đổi sang dạng thuận tiện hơn.Ta có 2
Pz Cz
J =J +M.d , với Cz là trục song song với Pz và đi qua khối tâm C của vật rắn Thay vào công thức trên ta được
Cz
1
2
= + ω
Hay T 1J Cz 2 1M.d 2 2
= ω + ω mà d.ω =PC.ω =VC nên T 1J Cz 2 1M.VC2
= ω +
(13.47)
4 Các định lý biến thiên động năng đối với chất điểm và cơ
h ệ
a, Định lý 1: Vi phân động năng của chất điểm bằng tổng đại số công nguyên tố của
các lực tác dụng lên chất điểm ấy
2
K
1
2
= =
Chứng minh: Xét chất điểm M có khối lượng m chuyển động dưới tác dụng của các
lực F , F , , Fr r1 2 rn
Phương trình cơ bản của động lực học đối với chất điểm là: K
dV
dt
= ur =∑
Trang 10Nhân vô hướng hai vế với drr là ta được:
K
dtur r= ur dtr = ur ur=∑r r (*)
Ta có
2
= = =
và ∑F drr rK =∑dAK Thay vào (*) ta được (13.48), định lý được chứng minh
Chú ý : Chia cả hai vế (13.48) cho dt ta được : dT dAK NK
dt =∑dt =∑ Vậy ta có
định lý sau : Đạo hàm theo thời gian động năng của chất điểm bằng tổng công suất của
b, Định lý 2: Vi phân động năng của cơ hệ bằng tổng đại số công nguyên tố của các
ngoại lực và nội lực tác dụng lên cơ hệ
dT=dA +dA (13.50)
Chứng minh: Xét hệ gồm n chất điểm Công nguyên tố của ngoại lực và nội lực đặt
vào chất điểm thứ K là dA và eK dA Viết (13.48) cho chất điểm thứ K ta được: iK
1
2
= = +
Viết (13.48) cho n chất điểm và cộng từng vế ⇒
1
2
= = +
Chú ý : Tương tự định lý 1 ta cũng có định lý sau : Đạo hàm theo thời gian động
năng của cơ hệ bằng tổng công suất của các ngoại lực và nội lực tác dụng lên cơ hệ
dT
+
c, Định lý 3: Biến thiên động năng của chất điểm trên một chuyển dời nào đó bằng
tổng đại số công của các lực tác dụng lên chất điểm trên đoạn chuyển dời ấy
0 1
Chứng minh: Áp dụng (13.48) cho chất điểm ta được : 2
K
1
2
=
phân hai vế theo các cận tương ứng với M0 và M1 ta được:
0 1
(ĐPCM)
d, Định lý 4: Biến thiên động năng của cơ hệ trên một chuyển dời nào đó bằng tổng
đại số công của ngoại lực và nội lực tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ trên đoạn chuyển dời ấy
Chứng minh: Viết (13.52) cho chất điểm thứ K của cơ hệ ta có :
Viết (13.52) cho mọi chất điểm và cộng từng vế ⇒ e i
T − =T ∑A +∑A Nội lực làm biến đổi động năng của hệ, do vậy định lý động năng cho phép ta nghiên cứu sâu sắc hơn chuyển động của cơ hệ