Vấn đề bất đẳng thức docx

MỞ ĐẦUTrong môn Toán ở trường THPT, bất đẳng thức ngày càng được quan tâm đúng mức và tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo của phương pháp và kỹ thuật giải chúng cũng

MỞ ĐẦU

Trong môn Toán ở trường THPT, bất đẳng thức ngày càng được quan tâm đúng mức và tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo của phương pháp và kỹ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho người giải

Các bài toán bất đẳng thức không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh mà còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học

Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức: phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp phản chứng, phương pháp quy nạp…Một điều quan trọng là sử dụng các kỹ thuật biến đổi linh hoạt, phù hợp để chứng minh bài toán trong từng phương pháp nhằm có hiệu quả tốt nhất

Trong quá trình giảng dạy khi đứng trước một bài toán bất đẳng thức tác giả thường đặt ra các câu hỏi:

- Vai trò các biến trong bất đẳng thức như thế nào?

- Dấu bằng xảy ra khi nào?

- Bất đẳng thức có đồng bậc không?

- Biểu thức nào “lớn”, ‘bé’ trong bất đẳng thức?

- Công thức, đẳng thức nào liên quan đến bất đẳng thức?

- …

Việc trả lời các câu hỏi này giúp chúng ta định hướng cách giải, đánh giá các biểu thức, sử dụng công thức, bất đẳng thức quen thuộc, thay đổi hình thức của bất đẳng thức…để giải quyết bài toán

Trong bài viết này, tác giả đưa ra một số kỹ thuật, phương pháp chứng minh bất đẳng thức (bao gồm các ý tưởng, các ví dụ và bài tập) Lý thuyết bất đẳng thức (các khái niệm, tính chất… ) không được trình bày

NỘI DUNG

1 Kỹ thuật thêm bớt

Sử dụng: A A B B A B

B

= + − = × để tạo ra các bộ phận mới ở hai vế của bất

đẳng thức mà có thể đánh giá được các bộ phận với nhau

Các ví dụ:

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có:

2 2 2

2

b c c a a b

+ +

Phân tích: - BĐT đồng bậc nhất

- Vai trò a,b,c giống nhau

- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c

- Biểu thức thêm vào là bậc nhất

Hướng dẫn:

2 2

4

a

b c

+

+

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có:

3 3 3 2 2 2

b c c a a b

+ +

Phân tích: - BĐT đồng bậc hai

- Vai trò a,b,c giống nhau

- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c

- Biểu thức thêm vào là bậc hai

Hướng dẫn:

3

2

( 2 ) 2

a

b c

ab bc ca a b c

+

+ + + ≤ + +

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có:

(1 +a3 )(1 +b3 )(1 + ≥ +c3 ) (1 ab2 )(1 +bc2 )(1 +ca2 )

Phân tích: - Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Hướng dẫn:

( )3 ( )3

(1 +a )(1 +b )(1 + ≥ +b ) 1 a b c = + 1 ab

Bài tập: Cho a,b,c>0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a b c

b +c +a ≥ + +

2)

+ +

b c a c a b a b c

+ +

4) a42 b42 c42 a b c

bc +ca +ab ≥ + +

3

a ab b b bc c c ca a

+ +

Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

6) a45 b54 c54 1

b +c +a ≥

2

b c c a a b+ + ≥

Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có:

8) 1 1 1 6

osA osB osB

2 os2A 2 os2B 2 os2B 5c + c + c ≥

2 Kỹ thuật “san sẽ”

Xác định: Đại lượng “lớn”, đại lượng “bé” và chọn cách san sẽ phù hợp

Các ví dụ:

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi x,y>0 và x+y=1, ta có:

2 2

4xy 7

+

Phân tích: - Vai trò x,y giống nhau

- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi x=y=1

2

- Đại lượng “lớn”: 1

xy; Đại lượng “bé”: 2 2

1

;4xy

x y+

Hướng dẫn:

2

xy

+

Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC, ta có:

1 1 1 osA+cosB+cosC 15

Phân tích: - Vai trò A,B,C giống nhau

- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi A=B=C=600

- Đại lượng “lớn”: 1 1 1

osA osB osC

c +c + c ; Đại lượng “bé”: cosA+cosB+cosC Hướng dẫn:

osA+cosB+cosC osA osB osC

9 15 -3( osA cosB cosC) 4 4 4

2 2

c

c

c

Bài tập: Cho a,b,c>0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1) 2(a3 b3 c3) 9(2a b c2 )23 33

+ +

2) a4 + +b4 c4 + a b2 2 +b c2 2 +c a2 2 ≥ a b b c c a3 + 3 + 3 + ab3 +bc3 +ca3

3) Cho x,y>0 và x+y=1 Tìm GTNN của biểu thức:

P 2 3 2 2 4 ;xy Q 2 1 2 1

3 Kỹ thuật nhóm đối xứng

Bất đẳng thức ở dạng đối xứng (vai trò của các biến là như nhau) Khi đó chúng ta có thể đánh giá một bộ phận của vế này với bộ phận tương ứng của vế

kia Tương tự, suy ra các kết quả đối với các bộ phận còn lại và thu được bất đẳng thức cần chứng minh

Các ví dụ:

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b,c>0, ta có:

bc ca ab a b c

Phân tích: - BĐT đồng bậc nhất

- Vai trò a,b,c

- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Hướng dẫn:

bc ca 2 bc ca 2b

Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:

sin sin sin osA osB osC

Phân tích: - Vai trò A,B,C giống nhau

- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi A=B=C=600

Hướng dẫn:

sin sin 2(sin sin )

C

A B

c

+

Bài 3: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:

sin sin sin sin 3 sin 3 sin 3

Hướng dẫn:

1 4 sin sin sin sin 4

Bài tập: Cho a,b,c>0 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1) a22 b22 c22 a b c

b +c +a ≥ + +c a b

2)

2

ab bc ca a b c

a b b c c a

+ +

Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:

3) sin 2A+ sin 2B+ sin 2C≤ sinA+ sinB+ sinC

4) cos cos os sin sin sin

5) 2 2 2

6) sin sin sin osA osB osC

n A+ n B+n C≤ n c + n c + n c

4 Kỹ thuật đ ồng bậc hoá

Sử dụng giả thiết để biến đổi BĐT về dạng đồng bậc để chứng minh

Các ví dụ:

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi a,b>0 và a+b=1, ta có:

2 2 1

8

ab a b+ ≤

Phân tích: - BĐT không đồng bậc

- Vai trò a,b giống nhau

- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b

- Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá

Hướng dẫn:

4

1 ( ) ( )

8 ( ) 8 ( ) 0 ( ) 0

ab a b a b

a b ab a b

a b

Bài 2: với mọi a,b,c>0 và a+b+c=1 Chứng minh rằng :

a b c2 + + + 2 2 2 3abc≤ 1

Phân tích: - BĐT không đồng bậc

- Vai trò a,b giống nhau

- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

3

- Sử dụng giải thiết để đồng bậc hoá

Hướng dẫn:

2

2 3 ( ) ( )

a b c abc a b c a b c abc a b c ab bc ca abc a b c ab bc ca

Bài tập:

1) Cho a,b,c>0, thoả điều kiện:

2 2 2

Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2

a b c a+ + ≥ +b +c

2) Cho a,b>0, thoả điều kiện:

a b+ = 2

Chứng minh rằng : 2 a b a b a b≤ + ≤ + ≤ + 2 2 3 3 4 4

3) Chứng minh rằng với mọi a,b,c: a+b+c=0, ta có:

16 16 16 2 2 2a+ b+ c≥ + +a b c

5 Kỹ thuật chuẩn hoá

Sử dụng tính chất đồng bậc của BĐT để chuẩn hoá Việc chọn đối tượng để chuẩn hoá là rất quan trọng

Các ví dụ:

Bài 1:

Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng:

Phân tích: - BĐT đồng bậc

- Vai trò a,b,c giống nhau

- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c

- Chuẩn hoá: a + b + c = 1

2 2 1

) 1 ( 2

2 1

) 1 ( 2

2 1

) 1 (

c c

c c b

b

b b a

a

a a

+

−

− +

+

−

− +

+

−

−

Theo Côsi: 2a(1-a)≤

2 2

1 2











 a+ −a

= ( )

4

1 2 +

a

=> 1- 2a + 2a2 = 1 - 2a (1- a) ≥ 1- ( )

4

12 +

a = ( )( )

4

3

1 −a a+

> 0









 +

−

= +

= +

−

−

≤ +

−

−

3

3 1 4 3

4 ) 3 )(

1 (

) 1 ( 4 2

2 1

) 1 (

a a

a

a a a

a

a a

=> VT≤ 4 − + + − + + − + 3)

3 1 ( ) 3

3 1 ( ) 3

3 1 (

c b

Bài 2: Cho a, b, c>0 Chứng minh rằng:

6(a + b + c) (a2 + b2 + c2) ≤ 27abc + 10 (a2+b2+c2)3/2 (1)

Phân tích: - BĐT đồng bậc

- Vai trò a,b,c giống nhau

- Dự đoán dấu bằng xảy ra khi a=b=c

- Chuẩn hoá: a2 + b2 + c2 =9

Hướng dẫn: (1) <=> 2(a + b + c) - abc ≤ 10

VT = 2(a+b+c) - abc = 2a - abc + 2(b+c) = a(2-bc) + 2(b+c)

VT2 ≤ [a2 + (b+c)2] [(2- bc)2 + 4]

G/s: a b c≥ ≥ do a2 + b2 + c2 = 9 => a2 ≥ 3

Đặt t = bc do 2 2 9 2 3

bc≤ + = − ≤

Nên VT2 ≤ (9+2bc) [(2-bc)2 + 4] = (9 + 2t) [(2-t)2 + 4] = f(t) với -3≤t≤3

Khảo sát f(t) => f(t) ≤ max f(t) = 100 => VT ≤ 10 đpcm

1) (a+b) (b+c) (c+a) + abc ≤

3

1

(a + b + c)3; a, b, c > 0

2)

ca bc ab

c b a

+ +

+ + 2 2

2

) )(

)(

(

8

≥ + + +b b c c a a

abc

; a, b, c > 0 3) a, b, c > 0:  + + 

+ +

− + +

− + +

+ +

ca bc ab

c b a abc

c b a c

b a

c b

2 2 2

2 2

1 ) (

≤ 2

4) a, b, c > 0: (a + b + c) (

a c c b b

a+ + + + +

1 1

1

) )(

)(

(

+ + +b b c c a a

abc

6 Kỹ thuật lượng giác hoá

Kỹ thuật lượng giác hoá với mục đích thay đổi hình thức của bài toán chứng minh một BĐT đại số thành việc chứng minh BĐT lượng giác Kỹ thuật này được xác định thông qua miền giá trị của các biến, các công thức lượng giác

và các đẳng thức lượng giác liên quan

Các ví dụ:

Bài 1: Chứng minh rằng:

a 1 − +b b2 1 − +a2 3(ab− (1 −a2)(1 −b2) 2 ≤

Phân tích: - ĐK: − ≤ 1 ,a b≤ 1

- Công thức lượng giác liên quan sin 2α +cos 2α = 1

- Lượng giác hoá

Hướng dẫn:

Đặt: sin

sin

a b

α β

=



 =

 ; α β, ∈[ ]0;π VT=2 sin( ) 2

3

π

Bài 2: Cho x,y,z>0; zy+yz+zx=1 Chứng minh rằng:

2 2 2 3 3

Phân tích: - Đẳng thức lượng giác liên quan 1

- Lượng giác hoá

Hướng dẫn:

Đặt: t ; t ; t

a= g b= g c= g ; ABC là tam giác nhọn

VT = 12(tgA tgB tgC+ + ) ≥ 3 32

Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn: 1 1 1 6

2 3

a+ b+ c=

Chứng minh rằng:

1

a bc b ca c ab ≤

Hướng dẫn:

VT

=

Đặt 36 2

, 2

cotg

2

cotg

b = , 0 < A B, < π

Từ giả thiết ta có: 6 bc3 ca2 ab 6 bc 3 ca 2 ab

Suy ra, 2 2 2

1

cotg cotg

c cotg cotg

−

với A,B,C là ba góc của một tam giác

VT

cotg cotg cotg

=

2

3

1 sin 1 sin 2sin

c

C

  −  + −  +  

Bài t ập: 1) Cho 0<a,b,c<1 Chứng minh rằng:

abc+ (1 )(1 )(1 ) 1 −a −b − <c

2) Chứng minh rằng:

( 2)(1 2) 1

(1 )(1 ) 2

3) Chứng minh rằng:

2 2 2 2 2 2

4) Cho a,b,c>0 và abc+a+c=b Tìm GTLN

22 22 23

P

KẾT LUẬN

Bài viết trình bày một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức, các ý tưởng, ví

dụ và bài tập đã được sắp xếp một cách có hệ thống nhằm giúp cho đối tượng học sinh có điều kiện ôn tập, nghiên cứu, phát triển

Do trình độ còn hạn chế nên trong bài viết không thể tránh khỏi những sai sót

về trình bày cũng như về chuyên môn Rất mong bạn đọc góp ý kiến

Xin chân thành cảm ơn