Các mô hình mạng 12 ppsx

Mô hình ñược xem xét nhằm giảm tổng chi phí sản xuất và chi phí dự trữ hàng với các giả thiết sau: − Trường hợp 1: Không cho phép ñể xảy ra tình trạng nợ hàng.. Mô hình lập kế hoạch khôn

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 210

f 2 (x 3 /z 2 ) = C 2 (z 2 ) + h 2 x 3 + f 1 (x 3 + D 2 - z 2 ))

Phương án tối ưu

x 3 h 2 x 3

C 2 (z 2 ) = 0 17 27 37 57 77 97 f 2 (x 3 ) z2*

Giai ñoạn 3:

f (x ) Min C (z ) h x f (x D z )

= + + + − , D3 = 4, x4 = 0

Kết quả tính toán ñược thể hiện trong bảng VII.7

Bảng VII.7 Kết quả tính toán giai ñoạn 3

f 3 (x 4 /z 3 ) = C 3 (z 3 ) + h 3 x 4 + f 2 (x 4 + D 3 - z 3 )

Phương án tối ưu

x 4 h 3 x 4

C 3 (z 3 ) = 0 16 26 36 56 f 3 (x 4 ) z3*

Kết quả cuối cùng: giá trị của các biến ñiều khiển là z1∗ = 2, z∗2 = 3, z∗3 = 3 Như vậy ñể tổng chi phí dự trữ hàng thấp nhất (là 99 USD), trong các giai ñoạn 1, 2 và 3 cần ñặt các lượng hàng tối ưu theo thứ tự là 2, 3, 3

Chú ý: Khối lượng tính toán theo quy trình truy toán tiến như trình bày trên ñây có thể ñược rút gọn rất ñáng kể trong trường hợp hàm chi phí mua hàng/ñơn vị và chi phí lưu kho/ñơn vị là hằng số hoặc là hàm giảm Bạn ñọc quan tâm có thể xem thêm trong các tài liệu tham khảo

3 MÔ HÌNH LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT N CHU KÌ

Xét bài toán lập kế hoạch sản xuất cho N chu kì kế tiếp nhau Nhu cầu tiêu thụ hàng trong từng chu kì ñã ñược biết và không nhất thiết phải như nhau Mô hình ñược xem xét nhằm giảm tổng chi phí sản xuất và chi phí dự trữ hàng với các giả thiết sau:

− Trường hợp 1: Không cho phép ñể xảy ra tình trạng nợ hàng Trường hợp 2: Cho phép nợ hàng và hàng nợ ñược chuyển sang các chu kì sau, nhưng phải trả xong trong phạm vi thời gian N chu kì

− Chi phí khởi ñộng lại (dây chuyền sản xuất) ñược coi là bằng 0

Chúng ta sử dụng các kí hiệu sau cho các chu kì i, i =1, 2, , N:

− ci là chi phí sản xuất/ñơn vị thời gian trong giờ làm việc

− di là chi phí sản xuất/ñơn vị thời gian ngoài giờ làm việc (ci < di)

− hi làchi phí lưu kho/ñơn vị hàng

− pi là chi phí phát sinh do nợ hàng/ñơn vị hàng nợ trong chu kì i và ñược trả nợ cho khách hàng trong chu kì i + 1

− aRi là khả năng sản xuất (tính theo ñơn vị hàng) trong giờ làm việc

− aTi là khả năng sản xuất (tính theo ñơn vị hàng) ngoài giờ làm việc

− bi là nhu cầu tiêu thụ hàng

Chú ý: Mô hình này (với hai mức chi phí sản xuất) có thể ñược mở rộng cho mô hình với nhiều mức chi phí sản xuất, trong ñó hàm chi phí sản xuất (phụ thuộc vào mức sản xuất) là hàm lồi

3.1 Mô hình lập kế hoạch không cho phép nợ hàng

Chúng ta phát biểu lại mô hình với các thuật ngữ của bài toán vận tải (Xem bảng VII.8): Các lượng cung là aRi và aTi còn các lượng cầu là bi Các chi phí vận chuyển từ ñiểm cung tới ñiểm cầu là tổng của các chi phí sản xuất và chi phí lưu kho Cột hàng thừa ñược dùng ñể cân bằng tổng cung cầu với S = Ri Ti j

(a +a )− b

∑ ∑ ðiều này ñược coi là hợp lí vì chúng ta giả sử rằng khả năng sản xuất của hệ thống luôn ñáp ứng ñược (lớn hơn) tổng nhu cầu tiêu thụ hàng trong cả N chu kì

Bảng VII.8 Tổng hợp dữ liệu

(cho bài toán lập kế hoạch sản xuất không cho phép nợ hàng)

R 1 c 1 c 1 +h 1 c 1 +h 1 +h 2 c 1 +h 1 +…+h N - 1 0 a R1

T 1 d 1 d 1 +h 1 d 1 +h 1 +h 2 d 1 +h 1 +…+h N - 1 0 a T1

Do mô hình không cho phép nợ hàng, chúng ta cần có giả thiết:

k ( Ri Ti) k i

∑ ∑ với k = 1, 2, , N

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 212

Ngoài ra, do nhu cầu bi của chu kì i phải ñược ñáp ứng trước các nhu cầu bi+1, , bN

và do ñiều kiện ci < di, thuật toán ñể giải bài toán lập kế hoạch ñược phát biểu vắn tắt như sau (theo thuật ngữ của bài toán vận tải):

− Trước hết ñáp ứng nhu cầu tiêu thụ hàng của chu kì 1, tức là xét cột 1: cần ưu tiên phân hàng vào các ô có chi phí nhỏ nhất

− Cập nhật lại bảng vận tải (với các khả năng còn dư) ñể ñáp ứng nhu cầu tiêu thụ hàng của chu kì 2, tức là xét cột 2: cần ưu tiên phân hàng vào các ô có chi phí nhỏ nhất

− Quá trình giải ñược tiếp tục cho tới khi nhu cầu tiêu thụ hàng của chu kì N ñược thỏa mãn

Ví dụ 1: Xét bài toán lập kế hoạch sản xuất với 4 chu kì và các dữ liệu ñược tổng

hợp trong bảng VII.9 Còn kế hoạch sản xuất tối ưu ñược cho trong bảng VII.10

Bảng VII.9 Tổng hợp dữ liệu

Khả năng sản xuất (ñơn vị hàng) Chu kì

i

Nhu cầu tiêu thụ hàng b i

Bảng VII.10 Kế hoạch sản xuất tối ưu

R 1

2

100

0

100

T 1

3

20

3.1 3.2

20

10 50 30 10

R 2

2

150

2.1 2.2

0

150

T 2

3

50

3.1

30

3.2

0

80 30

R 3

2

100

2.1

0

100

T 3

3

100

3.1

0

100

R 4

2

200

T 4

120 20

200 50

250

150

50 20

10

3.2 Mô hình lập kế hoạch cho phép nợ hàng

Trong mô hình này, dữ liệu cho bài toán lập kế hoạch cũng có thể ñược tổng hợp tương tự như trong bảng VI.8, với một ñiểm thay ñổi là: các chi phí phát sinh pi do thiếu hàng/ñơn vị hàng thiếu cũng ñược ñưa vào các ô của bảng vận tải Chẳng hạn, tại các ô (RN, 1) và (TN, 1) cần ñiền các chi phí sau: (cN + p1 + + pN-1) và (dN + p1 + + pN-1) một cách tương ứng Tuy nhiên ñể ñưa ra phương án lập kế hoạch tối ưu lúc này cần áp dụng một trong các thuật toán giải bài toán vận tải ñã biết ở chương II (thuật toán ñược ñưa ra ở mục A không dùng ñược)

Ví dụ 2: Xét bài toán lập kế hoạch sản xuất với 3 chu kì và các dữ liệu ñược tổng

hợp trong bảng VII.11 Ngoài ra, cũng biết chi phí sản xuất trong giờ làm việc là 5/ñơn

vị và ngoài giờ làm việc là 10/ñơn vị (trong cả ba chu kì) Các chi phí lưu kho và chi phí phát sinh do nợ hàng là 1 và 2 cho một ñơn vị hàng (trong cả ba chu kì) Còn kế hoạch sản xuất tối ưu ñược cho trong bảng VII.12

Bảng VII.11 Tổng hợp dữ liệu

Khả năng sản xuất (ñơn vị hàng) Chu kì

i

Nhu cầu tiêu thụ hàng b i

Bảng VII.12 Kế hoạch sản xuất tối ưu

15

15

T 1 10

5

11

5

10

15

15

5

5

15

0

20

10

4 MỘT SỐ MÔ HÌNH XÁC SUẤT TRONG QUẢN LÍ HÀNG DỰ TRỮ

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 214

4.1 Mô hình xác suất với chế ñộ báo cáo theo dõi thường xuyên

Trong mô hình này, chúng ta giả sử rằng dự trữ hàng trong kho ñược theo dõi thường xuyên và một hợp ñồng ñặt hàng với lượng ñặt hàng y sẽ ñược thực hiện ngay một khi mức hàng lưu kho rơi vào ñúng ngưỡng ñặt lại hàng R Mục tiêu của mô hình là xác ñịnh ñược các giá trị tối ưu của y và R làm cực tiểu hóa kì vọng chi phí dự trữ hàng/ñơn vị thời gian (trong mục này ñơn vị thời gian tính bằng năm) Các giả thiết của

mô hình là:

− Thời gian dẫn hàng T là biến ngẫu nhiên

− Nhu cầu tiêu thụ hàng X trong thời gian dẫn hàng cũng là biến ngẫu nhiên

− Nhu cầu chưa ñáp ứng ñược trong thời gian dẫn hàng sẽ ñược trả “nợ” cho khách hàng

− Phân phối xác suất của nhu cầu tiêu thụ hàng cho thời gian dẫn hàng là ñộc lập ñối với thời ñiểm dẫn hàng

− Tại mỗi thời ñiểm chỉ có một hợp ñồng ñặt hàng ñược coi là ñáng kể

Chúng ta sẽ sử dụng các kí hiệu sau:

− r(x/t) là hàm mật ñộ xác suất ñiều kiện của nhu cầu X với ñiều kiện thời gian dẫn hàng T = t (x > 0)

− s(t) là hàm mật ñộ xác suất của thời gian dẫn hàng T, (t > 0)

− f(x) là hàm mật ñộ xác suất tuyệt ñối của nhu cầu X trong thời gian dẫn hàng Do ñó: f(x) =

0

r(x / t)s(t)dt

∞

− y là lượng ñặt hàng/mỗi lần

− D là kì vọng nhu cầu hàng/năm

− h là chi phí lưu kho/ñơn vị/năm

− p là chi phí phát sinh do nợ hàng/ñơn vị hàng/năm

Với các giả thiết trên ñây, chúng ta ñi tính: Tổng chi phí dự trữ hàng/năm = (Kì vọng chi phí ñặt hàng/năm) + (Kì vọng chi phí lưu kho/năm) + (Kì vọng chi phí phát sinh do nợ hàng/năm), trong ñó:

− Kì vọng chi phí ñặt hàng/năm = DK/y

− Kì vọng chi phí lưu kho/năm: ðặt H = (y E{R-X})+E{R-X} y E{R-X}

mức hàng trung bình trong kho/năm Do kì vọng hàng tồn kho cuối mỗi chu kì là

E{R - X} = (R-x)f(x)dx = R - E{X}∞∫ nên kì vọng chi phí lưu kho/năm là hH = y

2

+ −

− Kì vọng chi phí phát sinh do nợ hàng/năm:

ðặt S = 0,

X R,



 −



X R

X R

≤

> là lượng hàng thiếu trong một chu kì hàng thì kì vọng lượng hàng thiếu/chu kì hàng là S =

S(x)f (x)dx (x R)f (x)dx

trung bình (D/y) lần ñặt hàng nên kì vọng chi phí phát sinh do nợ hàng/năm là p(DS/y) Vậy tổng chi phí dự trữ hàng/năm TAC(y, R) =DK h y R E{X} pDS

Trong công thức này chi phí phát sinh do nợ hàng/năm ñược coi là tỉ lệ với lượng hàng thiếu, mà không phụ thuộc vào thời gian thiếu hàng nhằm mục ñích ñơn giản hóa mô hình ðiều kiện cần ñể TAC(y, R) ñạt cực tiểu là:

R

0

∞

 ∂





∂

 ∂

Từ phương trình ñầu sẽ có: y* = 2D(K pS) / h+ (*)

Còn từ phương trình thứ hai sẽ có:

R

hy

f (x)dx

pD

∗

∗

∞

=

ðể giải hệ (*) và (**) chúng ta áp dụng phương pháp của Hadley và Whitin (có thể chứng minh ñược phương pháp này hội tụ sau một số hữu hạn bước nếu hệ có nghiệm) theo các bước sau:

− Trong (*) cho S = 0 (hoặc cho R = ∞) thì có y* = 2DK / h

− Cho R = 0 thì từ (*) có y* = ˆy= 2D(K pE{X})/h+ và từ (**) có y*

=y pD / h%= Có thể chứng minh ñược, nếuy y%≥ ˆ thì các giá trị tối ưu của y và R là tồn tại duy nhất

− ðặt y* = y1 = 2DK / h và thay vào (**) ñể tìm ñược R* = R1

− Dựa vào giá trị R* = R1, thay vào (*) ñể tìm ñược y* = y2

− Dựa vào y* = y2, thay vào (**) ñể tìm ñược R* = R2

Trường đại học Nông nghiệp Hà Nội Ờ Giáo trình Vận trù học ẦẦẦ 216

− v.vẦ

Quy trình tắnh toán trên ựây sẽ lặp lại cho tới khi hai giá trị liên tiếp tìm ựược của R

là gần bằng nhau Lấy giá trị trung bình của hai giá trị này là giá trị cuối cùng của R*, sau ựó tắnh tiếp giá trị cuối cùng của y* từ (*)

Vắ dụ 1: Cho K = 100 USD, D = 1000 ựơn vị hàng, p = 10 USD, h =2 USD Ngoài

ra giả sử nhu cầu tiêu thụ hàng X trong thời gian dẫn hàng là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối ựều trong [0, 100]

Lúc ựó tắnh ựược Ẽy= 2D(K pE{X})/h+ = 2 1000 (100 10 50) / 2ừ ừ + ừ ≈ 774,5 và

y pD / h%= = 10 1000

2

ừ = 5000 Do y y%≥ Ẽnên các giá trị tối ưu y* và R* là tồn tại duy nhất

Tắnh S =

R

(x R)f (x)dx

∞

−

R

1

100

∞

−

2

R

R 50

200− +

Từ (*) có: y*= 2D(K pS) / h+ = 2 1000 (100 10S)/ 2ừ ừ + = 100000 10000S+ (***)

Từ phương trình (**) có: 100

R

dx

∗

∗

=

ừ

∫ , do ựó R* = 100 y

50

∗

− (****)

Áp dụng phương trình (****) ựể tắnh Ri khi ựã biết yi và phương trình(***) ựể tắnh

yi+1 khi ựã biết Ri, chúng ta có:

Bước lặp 1: y1 = 2DK / h = 2 1000 100 / 2ừ ừ = 316

R1 = 100 - 316

50 = 93,68

Bước lặp 2: S =

2 1 1

R

200− + = 0,199971

y2 = 100000 10000 0,199971+ ừ = 319,37

R2 = 100 - 319,37

50 = 93,612

Bước lặp 3: S = 22

2

R

200− + = 0,20403

y3 = 100000 10000 0, 20403+ ừ = 319,43

R3 = 100 - 319, 43

50 = 93,611

đáp số: R* ≈ 93,61, y* ≈ 319,4

4.2 Mô hình xác suất một chu kì

a Nhu cầu ñược tiêu thụ tức thời, không cần chi phí khởi ñộng lại

Mô hình này thường ñược áp dụng trong các hệ thống sản xuất - kinh doanh với các giả thiết sau:

− Tổng nhu cầu tiêu thụ hàng D ñược ñược tiêu thụ tức thời một cách tối ña ngay từ ñầu chu kì

− Không phải dành chi phí cho việc khởi ñộng lại (dây chuyền sản xuất) hoặc chi phí cho việc ñặt hàng

− Sau khi hợp ñồng ñặt hàng ñược thực hiện với lượng ñặt hàng y thì lượng hàng lưu kho là

H(y) y D

0,

−



= 



khi D y khi D y,

<

≥ còn lượng hàng thiếu là

G(y) 0

D y,



= 

−



khi D y khi D y

<

≥ Gọi x là lượng hàng tồn kho trước khi ñặt hàng, f(D) là hàm mật ñộ xác suất của D,

h và p là chi phí lưu kho và chi phí phát sinh do nợ hàng tính trên một ñơn vị thời gian,

c là chi phí mua hàng/ñơn vị Lúc ñó, kì vọng tổng chi phí dự trữ hàng cho cả chu kì là: E{C(y)} = (Chi phí mua hàng) + (Kì vọng chi phí lưu kho)

+ (Kì vọng chi phí phát sinh do nợ hàng)

Trường hợp 1: Lượng ñặt hàng là biến liên tục

E{C(y)} = c(y-x) + h

0

H(y)f (D)dD

∞

0

G(y)f (D)dD

∞

∫

= c(y-x) + h y

0

(y D)f (D)dD 0

y

0 ∞(D y)f (D)dD

= c(y-x) + hy

0

(y D)f (D)dD−

y

(D y)f (D)dD

∞

−

Giá trị tối ưu y* phải thỏa mãn ñiều kiện cần (ñạo hàm bậc nhất bằng 0):

y

E{C(y)}

c h f (D)dD p f (D)dD y

∞

f(D)dD = 1- f(D)dD

∞

∫ ∫ nên từ (*) sẽ có:

y 0

p c

f (D)dD

p h

∗

−

= +

∫ (**) Vậy y* ñược xác ñịnh nếu p ≥ c, còn nếu p < c thì hệ thống quản lí hàng dự trữ coi như bị “xóa sổ”

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 218

Dễ thấy, y* xác ñịnh từ (**) ñúng là ñiểm cực tiểu do ñiều kiện ñủ (ñạo hàm bậc hai dương) ñược thỏa mãn:

2

2

E{C(y)}

(h p)f (y*) 0

y

∂

Từ (**) suy ra quy tắc tìm y*: giá trị y* phải tìm sao cho xác suất ñể có D ≤ y* ñúng bằng tỉ số q = (p-c)/(p+c), tức là P{D ≤ y*} = (p-c)/(p+c) Với x là lượng hàng tồn kho trước khi ñặt hàng, chính sách ñặt hàng tối ưu là:

− Nếu y* > x thì ñặt lượng hàng y* - x

− Nếu y* ≤ x thì không cần ñặt hàng

Ví dụ 2: Xét mô hình một chu kì với h = 0,5 USD, p = 4,5 USD và c = 0,5 USD

Nhu cầu tiêu thụ hàng tuân theo phân phối ñều trong [0, 10] Lúc ñó q = (p-c)/(p+c) = 0,8 nên: P{D ≤ y*} = y y

f(D)d(D) = dD

=

∫ ∫ = q = 0,8 hay y* = 0,8

Trường hợp 2: Lượng ñặt hàng là biến nhận giá trị nguyên

Lúc này ta có E{C(y)} = c(y-x) + h y

D 0

(y D)f (D)

D y 1

(D y)f (D)

∞

= +∑ − ðiều kiện

ñể E{C(y)} ñạt cực tiểu là:

E{C(y 1)} E{C(y)}







Do E{C(y-1)} = E{C(y)} + p - c - (h+p)y 1

D 0

f (D)

−

=

∑ nên: E{C(y-1)} - E{C(y)} = p - c - (h+p)P{D ≤ y-1} ≥ 0 ⇔ P{D ≤ y-1} ≤ (p-c)/(p+h) Tương tự, có thể chỉ ra rằng: E{C(y+1)} - E{C(y)} = p - c - (h+p)P{D ≤ y-1} ≥ 0 ⇔ P{D ≤ y} ≥ (p-c)/(p+h)

Vậy quy tắc tìm y* là: y* phải thỏa mãn: P{D ≤ y*-1} ≤ (p-c)/(p+h) ≤ P{D ≤ y*}

Ví dụ 3: Xét mô hình một chu kì với h = 1,0 USD, p = 4,0 USD và c = 2,0 USD

Phân phối xác suất của D như sau:

Lúc ñó: q = (p-c)/(p+h) = 0,4 Lượng ñặt hàng tối ưu ñược dò tìm từ bảng sau:

Do P{D ≤ 1} = 0,3 < 0,4 < 0,55 = P{D ≤ 2} nên y* = 2

b Nhu cầu ñược tiêu thụ ñều ñặn, không cần chi phí khởi ñộng lại

Mô hình này thường ñược áp dụng trong các hệ thống sản xuất - kinh doanh với các giả thiết sau:

− Tổng nhu cầu D ñược ñược tiêu thụ ñều ñặn (tức là tốc ñộ tiêu thụ hàng là hằng số) trong toàn bộ chu kì

− Không phải dành chi phí cho việc khởi ñộng lại (dây chuyền sản xuất) hoặc chi phí cho việc ñặt hàng

− Lượng ñặt hàng y ñược coi là biến liên tục

Kí hiệu các tham số cần thiết như trong mục A trên ñây Lúc ñó:

E{C(y)} = c(y-x) + h

2 y

(y )f (D)dD f (D)dD

∞

2 y

y

f (D)dD 2D

∞

Bạn ñọc có thể tự giải thích công thức này dựa trên các nhận xét sau:

− Nếu D < y thì mức hàng trung bình trong kho là y - D/2 và mức hàng thiếu trung bình là 0 (xem hình VII.6a)

− Còn nếu D ≥ y thì mức hàng trung bình trong kho là y2/(2D) và mức hàng thiếu trung bình là (D-y)2/(2D) (xem hình VII.6b)

y-D

D

y

y/2 D-y

D

x2

x1

Hình VII.6a ðồ thị mức hàng khi D < y Hình VII.6b ðồ thị mức hàng khi D > y

ðiều kiện cần ñể E{C(y)}ñạt cực tiểu là ñạo hàm bậc nhất (theo y) bằng 0:

dE{C(y)}

dy = c + h

y

y

f (D)dD f (D)dD

D

∞

+

0

D y

f (D)dD D

∞

∫  = 0,

hay y

f (D)

D

∗

∗

∞

∗

+

p h

− + = q

Ví dụ 4: Xét mô hình một chu kì với h = 0,5 USD, p = 4,5 USD và c = 0,5 USD

Nhu cầu tiêu thụ hàng tuân theo phân phối ñều trong [0, 10] Tuy nhiên, khác so với ví

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 220

dụ 1 mục 4.2, chúng ta giả thiết hàng ñược tiêu thụ ñều ñặn chứ không phải ñược tiêu thụ tức thời

Lúc ñó q = (p-c)/(p+c) = 0,8 nên:

y

∗

∗

∞

∗

+

∫ ∫ = q = 0,8 hay (1/10)(y* - y*lny* + 2,3y*) = 0,8 Từ ñó có 3,3y* - y*lny* - 8 = 0 Giải phương trình này bằng phương pháp thích hợp sẽ tìm ñược y* = 4,5 ðây là kết quả khác với ñáp số trong ví dụ

ở mục 3.2

c Nhu cầu ñược tiêu thụ tức thời, cần có chi phí khởi ñộng lại

Các kí hiệu và giả thiết của mô hình này giống với mục A, trừ một ñiểm: mô hình

sẽ giả thiết rằng chi phí khởi ñộng lại (hay chi phí ñặt hàng) là ñáng kể Kí hiệu E{C(y)} là kì vọng tổng chi phí dự trữ hàng bao gồm cả chi phí khởi ñộng lại, ta có: E{C(y)} = K + c(y-x) + hy

0

(y D)f (D)dD−

y

(D y)f (D)dD

∞

−

∫ = K + E{C(y)}

Do K là hằng số, giá trị cực tiểu của E{C(y)}sẽ ñạt tại y* (như ñã tính trong mục

A, làm cho E{C(y)} ñạt cực tiểu):

y 0

p c

f (D)dD

p h

∗

−

= +

ðồ thị các hàm số E{C(y)} và E{C(y)} ñược minh họa trên hình VII.7, với S = y* còn s là nghiệm nhỏ hơn (ñược giả sử là số không âm) của phương trình E{C(y)} = E{C(y*)} với giả thiết hàm số E{C(y)} là hàm lồi