Các mô hình mạng 13 docx

Nhu cầu ñược tiêu thụ tức thời, cần có chi phí khởi ñộng lại Các kí hiệu và giả thiết của mô hình này giống với mục A, trừ một ñiểm: mô hình sẽ giả thiết rằng chi phí khởi ñộng lại hay

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 220

dụ 1 mục 4.2, chúng ta giả thiết hàng ñược tiêu thụ ñều ñặn chứ không phải ñược tiêu thụ tức thời

Lúc ñó q = (p-c)/(p+c) = 0,8 nên:

y

∗

∗

∞

∗ +

∫ ∫ = q = 0,8 hay (1/10)(y* -

y*lny* + 2,3y*) = 0,8 Từ ñó có 3,3y* - y*lny* - 8 = 0 Giải phương trình này bằng phương pháp thích hợp sẽ tìm ñược y* = 4,5 ðây là kết quả khác với ñáp số trong ví dụ

ở mục 3.2

c Nhu cầu ñược tiêu thụ tức thời, cần có chi phí khởi ñộng lại

Các kí hiệu và giả thiết của mô hình này giống với mục A, trừ một ñiểm: mô hình

sẽ giả thiết rằng chi phí khởi ñộng lại (hay chi phí ñặt hàng) là ñáng kể Kí hiệu E{C(y)} là kì vọng tổng chi phí dự trữ hàng bao gồm cả chi phí khởi ñộng lại, ta có:

E{C(y)} = K + c(y-x) + hy

0 (y D)f (D)dD−

y (D y)f (D)dD

∞

−

Do K là hằng số, giá trị cực tiểu của E{C(y)}sẽ ñạt tại y* (như ñã tính trong mục

A, làm cho E{C(y)} ñạt cực tiểu):

y 0

p c

f (D)dD

p h

∗

−

= +

ðồ thị các hàm số E{C(y)} và E{C(y)} ñược minh họa trên hình VII.7, với S = y* còn s là nghiệm nhỏ hơn (ñược giả sử là số không âm) của phương trình E{C(y)} = E{C(y*)} với giả thiết hàm số E{C(y)} là hàm lồi

Đặt hàng Không đặt hàng

y

s1 S

E{C (y)}

E{C(y)}

s

E{C(S)}

E{ C (S)}

K

Hỡnh VII.7 ðồ thị E{C(y)} và E{C(y)} và vựng ủặt hàng

Do E{C(s)} = E{C(S)} = K + E{C(S)}, nờn với lượng hàng x tồn ủọng kho ủầu

chu kỡ, quy tắc về ủặt hàng ủược xỏc ủịnh sau:

Trường hợp 1: x < s Lỳc này nếu khụng ủặt hàng (bổ sung vào kho) thỡ kỡ vọng chi phớ dự trữ hàng là E{C(x)} > E{C(S)} = K + E{C(S)}(xem hỡnh VI.7), nờn lựa chọn tốt

nhất là cần dự trữ một lượng hàng y* = S trong kho Vậy cần ủặt hàng và lượng ủặt hàng là S - x

Trường hợp 2: x ≥ s Nếu s ≤ x < S thỡ khụng nờn ủặt hàng (bổ sung vào kho) vỡ kỡ vọng chi phớ dự trữ hàng là E{C(x)} < E{C(S)} (xem hỡnh VI.7) và lựa chọn tốt nhất là

dự trữ một lượng hàng y* = x trong kho Với x ≥ S, khụng nờn ủặt hàng (bổ sung vào kho), vỡ nếu ủặt hàng thỡ với mọi lượng dự trữ y > x ta ủều cú: E{C(x)} < E{C(y)} (xem thờm hỡnh VI.7)

Chỳ ý rằng khi hàm số E{C(y)} khụng là hàm lồi cũng nhủ khi s < 0 thỡ quy tắc ủặt hàng trờn khụng ỏp dụng ủược

Vớ dụ 5: Xột mụ hỡnh một chu kỡ với h = 0,5 USD, p = 4,5 USD và c = 0,5 USD

Nhu cầu tiờu thụ hàng tuõn theo phõn phối ủều trong [0, 10] Tuy nhiờn, khỏc so với vớ

dụ 1 mục 4.2, chỳng ta giả thiết hàng ủược tiờu thụ tức thời ngay sau khi nhập và cần cú chi phớ ủặt hàng K = 25 USD Ngoài ra, lượng hàng tồn ủọng kho ủầu chu kỡ là x = 2

Do y* = 8 trong vớ dụ ở mục 3.2, nờn S = 8 ðể xỏc ủịnh s, cần xột:

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 222

E{C(y)} = c(y-x) + h

y 0 (y D)f (D)dD−

y (D y)f (D)dD

∞

−

∫

= 0,5(y-x) + 0,5y

0

1 (y D)dD

y

1 (D y)dD 10

∞

−

∫ = 0,25y2 - 4,0y + 22,5 - 0,5x

Do ñó E{C(s)} = E{C(S)} = K + E{C(S)}

⇔ 0,25s2 - 4,0s + 22,5 - 0,5x = 25 + 0,25S2 - 4,0S + 22,5 - 0,5x

Cho S = 8 ta có s2 - 16s - 36 = 0 hay s = -2 và s1 =18 Do s < 0 nên lúc này chúng ta không áp dụng ñược quy tắc ñặt hàng một cách trực tiếp Tuy nhiên, theo minh họa trên hình VI.7, nếu s < 0 thì không nên ñặt hàng

Trong trường hợp K = 4 USD thì chúng ta có phương trình s2 - 16s + 48 = 0 với hai nghiệm s = 4 và s1 = 12 Lúc này, x < s nên cần ñặt hàng với lượng ñặt hàng là S - x = 6 (ñơn vị hàng)

4.3 Mô hình xác suất nhiều chu kì

Các mô hình xác suất nhiều chu kì (số chu kì là hữu hạn hay vô hạn) trong mục này ñược xây dựng với các giả thiết như sau:

− Mô hình có thể cho phép có hàng nợ hay không có hàng nợ

− Thời gian dẫn hàng dương hoặc bằng 0

− Số chu kì N thường ñược coi là hữu hạn Trường hợp số chu kì vô hạn ñược xem như trường hợp giới hạn khi cho N →∞

− Không có chi phí khởi ñộng lại/chi phí ñặt hàng (hoặc chi phí loại này ñược tính gộp vào chi phí mua hàng/ñơn vị)

− Mô hình nhằm mục tiêu cực ñại hóa hàm lợi nhuận (bằng phương pháp quy hoạch ñộng với tính toán lùi) có tính tới giá trị tiền tệ chiết khấu (tức là, nếu α là hệ số chiết khấu thì lượng tiền S hiện tại tương ñương với lượng tiền αnS sau n chu kì, α<1, n≥1)

− Nhu cầu tiêu thụ hàng ñược coi là nhu cầu dừng (tức là hàm mật ñộ xác suất f(D)

là như nhau cho mọi chu kì với D là nhu cầu tiêu thụ hàng trong từng chu kì) Khi số chu kì là hữu hạn, các mô hình dừng sẽ ñược sửa chỉnh thành các mô hình không dừng bằng cách thay hàm mật ñộ f(D) bởi các hàm mật ñộ fi(Di) cho mỗi chu kì i (D ñược thay bởi Di)

− Các mô hình với D là biến ngẫu nhiên rời rạc có thể ñược suy ra từ các mô hình tương ứng với D là biến ngẫu nhiên liên tục (bằng cách thay hàm mật ñộ xác suất f(D) bởi các hàm xác suất và dấu lấy tích phân ∫bởi dấu lấy tổng ∑ )

Các mô hình như trên là khá phức tạp, mà ñể giải chúng cần biết tới các kĩ thuật về

mô phỏng ngẫu nhiên mà chúng ta ñã ñược nghiên cứu ít nhiều ở chương III (chẳng hạn như việc mô phỏng f(D) dựa trên các số liệu thống kê) Có thể nói ñây là các chủ ñề cần tiếp tục ñược nghiên cứu, nhất là trong lĩnh vực Tin học quản lí và Quản trị kinh doanh

ở những bậc học cao hơn Một số mô hình xác suất nhiều chu kì ñơn giản ñược trình bày tóm lược ngay sau ñây

a Cho phép nợ hàng, thời gian dẫn hàng bằng 0

Xét mô hình N chu kì Kí hiệu:

− fi(xi) là kì vọng tổng lợi nhuận lớn nhất cho các chu kì i, i+1, , N, với xi là lượng hàng tồn ñọng từ chu kì trước chuyển sang

− r là doanh thu/ñơn vị hàng

− Các kí hiệu khác giống như các mục trước

Lúc này, mô hình ñược phát biểu dưới dạng bài toán quy hoạch ñộng như sau:

i i

y

y x c(y x ) 0[rD h(y D)]f (D)dD

Max

≥





 +

i

y

[ry r(D y ) p(D y )]f (D)dD

∞

0

f (y D)f (D)dD

∞ +





∀ i =1, 2, , N và fN+1(yN - D) ≡ 0 (ñây là quy trình tính toán lùi)

Các biến xi (lượng hàng tồn ñọng từ chu kì trước) có thể nhận giá trị âm khi chu kì i

- 1 cho phép nợ hàng yi = xi + zi, với zi làlượng ñặt hàng trong chu kì i Hình VII.8 sau ñây minh họa quá trình ñiều khiển dựa trên quy hoạch ñộng cho mô hình ñang xét

D1

Hình VII.8 Áp dụng quy hoạch ñộng cho mô hình N chu kì

Giải thích phương trình truy toán (*):

− c(yi -xi) là chi phí mua hàng khi ñặt mua lượng hàng zi

− yi i

0

[rD h(y− −D)]f (D)dD

∫ là lợi nhuận thu ñược với ñiều kiện D ≤ yi

−

i

y

[ry r(D y ) p(D y )]f (D)dD

∞

∫ là lợi nhuận thu ñược với ñiều kiện D > yi

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 224

− i 1 i

0

f (y D)f (D)dD

∞

+

α∫ − là lợi nhuận (ñã ñược chiết khấu) thu ñược trong chu kì i+1

từ lượng hàng tồn ñọng xi+1 = yi - D

Có thể giải ñược phương trình truy toán trên bằng phương pháp quy hoạch ñộng, tuy nhiên ñiều này ñòi hỏi các tính toán khá phức tạp Trong khi ñó, việc mở rộng mô hình trên cho trường hợp số chu kì vô hạn lại có lời giải ít phức tạp hơn Lúc ñó phương trình truy toán có dạng:

c(y x) [rD h(y D)]f (D)dD

Max

≥





+

y

[ry r(D y) p(D y)]f (D)dD

∞

0

f (y D)f (D)dD



Trong (**), x và y là các mức hàng trước và sau khi ñặt hàng trong mỗi chu kì (nếu không ñặt hàng thì x = y ðể tìm giá trị tối ưu của y*, chúng ta xét ñiều kiện ñạo hàm bậc nhất bằng 0:

(.)

y

∂

∂ = -c - h

y

f (y D)

y

∂

Trong biểu thức trên f (y D)

y

∂ = c (ñiều này có thể giải thích một cách trực quan như sau: nếu có thêm δ ñơn vị hàng tồn ñọng từ chu kì cũ chuyển sang thì lợi nhuận của chu kì tiếp theo sẽ tăng thêm cδ do lượng ñặt hàng mới có thể rút ñi δ ñơn vị) Do ñó, (***) ñược viết lại là:

-c - hy

f(D)dD + [(1∞ − α +)r p]f (D)dD+ αc f (D)dD∞

Vậy giá trị tối ưu y* trong mỗi chu kì ñược xácñịnh bởi:

y

0

f (D)dD

∗

= + + − α

Chính sách về ñặt hàng tối ưu là: Nếu x < y* thì ñặt lượng hàng là y* - x Nếu trái lại thì không cần ñặt hàng

Ngoài ra, cũng có thể chứng minh ñược ñịnh lí sau ñây

ðịnh lí 1: Xét mô hình xác suất với số chu kì hữu hạn N với các giả thiết ñã nêu

Lúc ñó, các lượng hàng yi∗ tối ưu cho mỗi chu kì i phải thỏa mãn:

N N 1 i 1

y∗ ≤y∗− ≤ ≤ y∗≤ ≤ y∗≤y∗với y* là giá trị tương ứng tìm ñược ở trên cho mô hình với số chu kì vô hạn

b Không cho phép nợ hàng, thời gian dẫn hàng bằng 0

Mô hình này tương tự với mô hình trong mục A, với một ñiểm khác biệt duy nhất: không cho phép nợ hàng, tức là, nếu D lớn hơn mức hàng yi trong kho tại chu kì i thì số hàng nợ ñược “xóa sổ” và hàng tồn ñọng chuyển sang chu kì i+1 là xi+1 = 0

Phương trình truy toán cho mô hình với N chu kì không cho phép nợ hàng là:

i i

y

y x c(y x ) 0[rD h(y D)]f (D)dD

Max

≥





+

i

y

[ry p(D y )]f (D)dD

∞

i

y

f (y+ D)f (D)dD ∞f (0)f (D)dD+ 



 

∀ i =1, 2, , N và fN+1≡ 0

Phương trình truy toán trên có thể giải ñược bằng quy hoạch ñộng nhưng ñồi hỏi tính toán khá phức tạp Phương trình truy toán cho trường hợp mô hình với số chu kì vô hạn là:

c(y x) [rD h(y D)]f (D)dD

Max

≥





+

y

[ry p(D y)]f (D)dD

∞

f (y D)f (D)dD ∞f (0)f (D)dD 

 

Cho ñạo hàm theo y bằng 0 và sử dụng tính chất f (y D)

y

∂ = c, chúng ta sẽ có quy

tắc tìm y* (lượng hàng tối ưu trong mỗi chu kì) như sau:

0

r p c

f (D)dD

∗

+ −

= + + − α

Ngoài ra, ñịnh lí vẫn còn ñúng với các giả thiết ñã nêu trong mục B

c Cho phép nợ hàng, thời gian dẫn hàng khác 0

Giả thiết của mô hình này là: Nếu hợp ñồng ñặt hàng ñược ñưa ra vào chu kì i thì hàng sẽ về kho vào chu kì i + k, với k > 1 Thời gian dẫn hàng k ñược coi là không ñối cho mọi chu kì i Chúng ta sử dụng các kí kiệu sau:

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 226

− z, z1, , zk-1 là các lượng hàng ñã ñặt trước ñây và sẽ ñược nhập vào kho tại ñầu các chu kì i, i+1, , i+k-1 (xem hình VII.9)

− y = x+z là mức hàng trong kho tại ñầu chu kì i, với x là lượng hàng tồn ñọng từ chu kì trước chuyển sang

− zk là lượng ñặt hàng tại chu kì i và sẽ nhập vào kho tại chu kì i + k

− fi(y, z1, , zk-1) là giá trị hiện tại của kì vọng lợi nhuận cực ñại cho các chu kì i, i+1, , N với ñiều kiện z, z1, , zk-1 ñã biết Ta có:

fi(y, z1, , zk-1) =

k

cz L(y) f (y z D, z , , z )f (D)dD

≥

∀ i =1, 2, , N với fN+1≡ 0

Trong phương trình truy toán trên, L(y) là hiệu của kì vọng tổng doanh thu trừ ñi chi phí lưu kho và chi phí phát sinh do nợ hàng của chu kì i ñược tính bởi:

L(y) =

y

[rD-h(y-D)]f(D)dD + [ry ( r p)(D y)]f (D)dD∞ + α − −

//

i+2 i+1

x

z1

y = x+z

Thêi gian dÉn hµng = k chu k×

Hình VII.9 Mô hình N chu kì với thời gian dẫn hàng khác 0

Trước hết chúng ta xét trường hợp phạm vi thời gian hữu hạn gồm k chu kì từ chu

kì i tới chu kì i + k

ðặt Ck là giá trị hiện tại của kì vọng doanh thu trong phạm vi thời gian k chu kì trên (không kể chi phí mua hàng czk, ta có:

Ck =L(y) + αE{L(y+z1-D)} + α2E{L(y+z1-D)} +

−

(D là nhu cầu tiêu thụ hàng của chu khì i, Dj là nhu cầu tiêu thụ hàng của chu kì i + j)

Do các nhu cầu tiêu thụ hàng là ñộc lập và có phân phối xác suất giống nhau, với cùng hàm mật ñộ là F(D), nên biến ngẫu nhiên tổng sm = D + D1 + + Dm-1, m = 2, 3, ,

k-1 chính là chính là các tích chập m chiều của D ðặt fm(sm) là hàm mật ñộ của sm, ta có:

j 1 0

∞

=

ðể tính doanh thu ròng cho chu kì i + k, ñặt u = y + (z1 + + zk-1) + zk và v = u - zk

= y + (z1 + + zk-1) Do sk+1 = D + D1 + + Dk là tổng nhu cầu tiêu thụ hàng cho các chu kì i, i+1, , i + k, nên mức hàng lưu kho và mức hàng thiếu trong chu kì i + k là (u -

sk+1) và (sk+1 - u) Như vậy doanh thu ròng cho chu kì i + k (không kể chi phí mua hàng

czk) là:

Lk+1(u) = u k+1 k+1 k+1 k+1 k+1 k 1 k 1 k 1 k 1

[rs -h(u-s )]f (s )ds + [ru ( r p)(s∞ + α − + −u)]f + (s + )ds + −A

trong ñó a là hằng số biểu thị kì vọng doanh thu cho các chu kì i, i + 1, , i + k - 1 ðặt gi(v) là kì vọng lợi nhuận tối ưu cho các chu kì i + k, , N, ta có:

≥

Theo các ñặt các biểu thức fi(y, z1, , zk-1), Ck và gi(v) = gi(y + z1 + + zk-1) ta có:

fi(y, z1, , zk-1) = Ck + gi(y + z1 + + zk-1)

Do Ck là hằng số, nên bài toán cực tiểu hóa fi cũng chính là bài toán cực tiểu hóa gi, tức là chỉ phụ thuộc vào trạng thái v ðiều này giúp cho việc áp dụng phương pháp quy hoạch ñộng trở nên ñỡ phức tạp hơn

Xét trường hợp tương ứng khi số chu kì là vô hạn (N → ∞) với g(v) ñược ñịnh nghĩa như sau:

k 1

ðể xác ñịnh giá trị tối ưu u* cần giải phương trình:

k 1

Hay u* phải thỏa mãn:

k u

0

p (1 )(r c )

f (s )ds

h p (1 )

+ −α − α

= + + −α

Như vậy chính sách ñặt hàng tối ưu tại chu kì i là: nếu u* ≥ v thì ñặt lượng hàng là

u* - v, còn nếu u* < v thì không cần phải ñặt hàng

Cần chú ý rằng tại chu kì i, giá trị v ñã ñược biết (xem cách ñịnh nghĩa v), còn khi k

= 0 thì mô hình trên trở về trường hợp ñã xét ở mục A (thời gian dẫn hàng bằng 0)

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 228

d Không cho phép nợ hàng, thời gian dẫn hàng khác 0

Với các kí hiệu trong mục C, mô hình này có phương trình truy toán là:

fi(y, z1, , zk-1) =

k

y

cz L(y) f (y z D, z , , z )f (D)dD

≥





y

f (z , z , , z )f (D)dD

∞ +





∫

∀ i =1, 2, , N với fN+1≡ 0

Việc giải mô hình này bằng phương pháp quy hoạch ñộng ñòi hỏi quy trình tính toán rất phức tạp, xin dành cho bạn ñọc quan tâm nghiên cứu

Nhận xét: Có thể thấy rằng các mô hình xác suất trong quản lí hàng dự trữ khá phức tạp Hơn nữa, ngay cả khi các mô hình này có thể giải ñược thì nghiệm tối ưu ñã tìm ra cũng chỉ có tính chất “hướng dẫn” Trong nhiều bài toán quản lí hàng dự trữ thực tế có chứa nhiều biến số và tham số cần áp dụng các kĩ thuật mô phỏng ñể kiểm ñịnh ñộ tin cậy của nghiệm tối ưu tìm ra

BÀI TẬP CHƯƠNG VII

1 Xét mô hình quản lí hàng dự trữ Wilson với: D1 = 10000 USD là nhu cầu tiêu thụ hàng cả năm, K = 25 USD Còn chi phí lưu kho/ñơn vị/năm (ñược biểu thị bằng tỉ lệ phần trăm của giá trị tiền của một ñơn vị hàng) C1 = 12,5%

−−−− Dựa vào công thức ñã biết y* = 2KD

C , hãy chứng minh công thức y* = 1

2

1

2KD

R C , trong ñó y* là lượng ñặt hàng tối ưu (tính bằng ñơn vị hàng), còn R là giá tiền một ñơn vị hàng

−−−− Chứng minh rằng lượng ñặt hàng tối ưu y1∗ biểu thị bằng USD cho mỗi lần ñặt hàng có thể tính theo công thức sau nếu R chưa ñược biết: y1∗= 1

1

2KD

−−−− Tính y1∗ theo công thức ở câu b

2 Hãy chứng minh công thức sau cho mô hình tĩnh trong quản lí hàng dự trữ khi

cho biết: D là nhu cầu tiêu thụ hàng cho cả năm (tính theo ñơn vị hàng), K là chi phí ñặt hàng cho một lần ñặt hàng, C1 là chi phí lưu kho/ñơn vị/năm (ñược biểu thị bằng tỉ lệ

phần trăm của giá trị tiền của một ñơn vị hàng), R là giá tìền một ñơn vị hàng, còn α và

β là các tôc ñộ nhập hàng và tiêu thụ hàng: y* =

1

2KD

RC (1−β α/ )

Áp dụng: Tính y* biết D = 5000 ñơn vị hàng, K = 90 USD, R = 5 USD, C1 = 20 %,

α = 100 ñơn vị hàng/ngày, β = 14 ñơn vị hàng/ngày

3 Một cửa hàng kinh doanh ô tô quyết ñịnh áp dụng mô hình trả hàng nợ, với các

tham số ñược ước tính như sau: Nhu cầu tiêu thụ hàng cả năm D = 400 ô tô, C = 800 USD là chi phi lưu kho/ô tô/năm, K = 100 USD là chi phí ñặt hàng cho một lần ñặt hàng còn chi phí nợ hàng là C/= 150 USD/ñơn vị hàng nợ/năm Hãy tìm lượng ñặt hàng tối

ưu y* và lượng nợ hàng tối ưu B* biết việc nhập hàng vào kho có tính chất tức thời Hãy tìm tổng chi phí dự trữ hàng nhỏ nhất/năm theo công thức:

Hãy thử chứng minh công thức trên ñây, từ ñó chứng minh các công thức tìm y* và

B (như ñã biết) theo K, D, C và C/

Hướng dẫn: Trong vế phải của công thức trên, số hạng thứ nhất chính là chi phí lưu kho/năm, số hạng thứ hai là chi phí ñặt hàng/năm, còn số hạng thứ ba là chi phí phát sinh do nợ hàng/năm

4 Cho biết lượng hàng tiêu thụ trong thời gian dẫn hàng X có phân phối chuẩn với

kì vọng là 180 và ñộ lệch chuẩn là 30 Hãy cho biết cửa hàng cần duy trì lượng hàng dự trữ ñệm là bao nhiêu ñể ñáp ứng mức an toàn dịch vụ 95%

Hãy tính chi phí dự trữ an toàn/năm ñể ñảm bảo các mức an toàn dịch vụ 50%, 60%, 70%, 80 %, 90%, 95%, 96%, 97%, 98%, 99%, 99,9% nếu biết chi phí lưu kho/ñơn vị hàng/năm là 5 USD Hãy vẽ ñồ thị chi phí dự trữ an toàn/năm phụ thuộc vào mức an toàn dịch vụ và ñưa ra nhận xét

5 Xét mô hình tĩnh một mặt hàng với giá chiết khấu, trong ñó: chi phí ñặt hàng K=

100 USD, chi phí lưu kho/ñơn vị hàng/ngày h = 0,01 USD, β = 30 (ñơn vị hàng/ngày), q

= 300; c1= 10 USD; c2 = 8 USD Hãy tìm lượng ñặt hàng tối ưu trong mỗi lần ñặt hàng (biết tình trạng thiếu hàng không xảy ra)

6 Một cửa hàng kinh doanh giấy in luôn ñáp ứng nhu cầu tiêu dùng của khách

hàng Qua khảo sát ñã biết ñược: Giá nhập vào là 20 USD/hòm Nhu cầu hàng năm là

2000 hòm, chi phí ñặt hàng là 50 USD cho một lần còn chi phí lưu kho/ñơn vị hàng/năm

là 5 USD

−−−− Hãy tìm lượng ñặt hàng tối ưu

−−−− Giả sử giá nhập vào có tính chiết khấu 3% với ngưỡng chiết khấu q = 500 (tức là

với lượng ñặt hàng từ 500 hòm trở lên thì giá nhập vào là 19,40 USD/hòm) và chiết