Bài giảng điều khiển số (Digital Control Systems) - Phần 3 pot

b Tính quan sát được Hệ MIMO nói trên sẽ là quan sát được hoàn toàn khi và chỉ khi ma trận nr, n bên có hạng là n.. Nghĩa là, ma trận quan sát Q O phải chứa n vector hàng độc lập tuyến t

3 ĐK có phản hồi trạng thái

3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở 3.1.1 Mô hình trạng thái liên tục và các tính chất của đốI tượng

Xét mô hình đã cho ở mục 1.3.2c: với n biến trạng thái, m biến vào và

r biến ra.

( )t ( )t ( )t

•

a) Tính điều khiển được

1

C

Q = ⎣⎡B A B A − B⎤⎦

Hệ MIMO nói trên sẽ là điều khiển được hoàn toàn khi và chỉ khi ma trận (n, nm) sau đây:

có hạng là n Nghĩa là, ma trận điều khiển Q C phải chứa n vector cột độc lập tuyến tính Khi đối tượng là SISO, ma trận điều khiển có kích cỡ (n, n) và công thức:

1

C

Q = ⎣⎡b A b A − b⎤⎦

và n vector cột A ib (i = 0, 1, 2, …) phải là các vector độc lập tuyến tính.

b) Tính quan sát được

Hệ MIMO nói trên sẽ là quan

sát được hoàn toàn khi và chỉ

khi ma trận (nr, n) bên có

hạng là n Nghĩa là, ma trận

quan sát Q O phải chứa n

vector hàng độc lập tuyến tính

1

O

n

C

C A Q

C A −

Khi đối tượng là SISO, ma trận

quan sát bên với kích cỡ (n, n)

có hạng n và n vector hàng c TAi (i = 0, 1, 2, …) phải là các

vector hàng độc lập tuyến tính: 1

T T O

T n

c

c A Q

c A −

( )t

q•

( )t0

q

( )t

Đối tượng ĐK

Khâu ĐC trạng thái

3 ĐK có phản hồi trạng thái

3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở 3.1.2 Cấu trúc cơ sở của hệ ĐK trạng thái liên tục

MIMO :

•

•

= −

a) Thiết kế theo phương pháp gán cực

Phương trình đặc tính của vòng ĐC khép kín có dạng: ( ) ( )

1

i

=

Khi cho trước s inhằm đạt được một đặc tính động học nhất định, nếu so sánh hệ số hai vế của

phương trình trên ta sẽ thu được một hệ có n phương trình của (m×n) phần tử thuộc R Đó là

hệ phương trình phục vụ tổng hợp khâu ĐC Các thiết kế có tên Ackermann (hệ SISO), modale

(hệ MIMO)

3 ĐK có phản hồi trạng thái

3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở 3.1.2 Cấu trúc cơ sở của hệ ĐK trạng thái liên tục

b) Thiết kế theo tiêu chuẩn chất lượng

Hàm mục tiêu (hàm chất lượng) được định nghĩa:

0

∞

•Ma trận R cần được thiết kế sao cho I đạt được giá trị bé nhất Hai vector trạng thái q(t) và đầu vào u(t) tham gia vào tiêu chuẩn chất lượng qua hai ma trận trọng số Q và S Đó là hai ma trận

hằng, toàn phương và xác định dương (positive definite)

•Khi chọn t = ∞ ta thu được R là một ma trận hằng Khi chọn t là một giá trị hữu hạn, ta thu được

ma trận R(t) Khi tìm R sao cho I đạt giá trị tối thiểu ta sẽ phải giải phương trình Riccati.

3.1.3 Các cấu trúc mở rộng của hệ ĐK trạng thái liên tục

a) Hệ ĐK trạng thái có khâu lọc đầu vào

( )t [ ] ( )t VF ( )t

q• = A B R q− +B K w

Sau khi đã thiết lập đặc tính động học của hệ thông qua thiết kế R, có thể bổ sung thêm khâu (ma trận) lọc đầu vào KVF để cải thiện đặc tính tĩnh (Ví dụ: xác lập điểm làm việc, phân kênh tĩnh)

( )t

q•

( )t0

q

( )t

Đối tượng ĐK

Khâu ĐC trạng thái

Khâu lọc đầu vào

3 ĐK có phản hồi trạng thái

3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở 3.1.3 Các cấu trúc mở rộng của hệ ĐK trạng thái liên tục

a) Hệ ĐK trạng thái có khâu lọc đầu vào (tiếp)

•Khi vector chủ đạo w là hằng, sau khi quá trình quá độ – với động học do R quyết định – đã qua, vector trạng thái xác lập là q∞, với: q• ( )t = 0

•Vậy ta đặt điều kiện: Điều kiện đó thỏa mãn khi chọn:x∞ =Cq∞ =w

VF

K = ⎡C B R A− − B⎤−

( )t

q•

( )t0

q

( )t

( )t ( )t

e = y•

( )t

w

y

khâu PI

3 ĐK có phản hồi trạng thái

3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở 3.1.3 Các cấu trúc mở rộng của hệ ĐK trạng thái liên tục

b) Kết hợp hệ ĐK trạng thái với ĐK có hồi tiếp vector biến ra

Bằng khâu lọc đầu vào KVF ta không thể cải thiện được

động học, không thể khử được nhiễu Có thể sử dụng

ĐC trạng thái ở vòng trong cùng, kết hợp với hồi tiếp

vector biến ra và dùng một khâu PI (hình dưới) để khử

nhiễu, hay bù biến động tham số của đối tượng vv…

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

•

•

Khi w = 0, z = 0 ta có:

3 ĐK có phản hồi trạng thái

3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở 3.1.3 Các cấu trúc mở rộng của hệ ĐK trạng thái liên tục

b) Kết hợp hệ ĐK trạng thái với ĐK có hồi tiếp vector biến ra (tiếp)

•Mô hình trạng thái mở rộng của đối tượng ĐK:

( )

( )

( )

t t

t

•

•

⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥

u y

y

( ) t [ P , I ] ( ) ( ) t

t

q

y

•Hàm ĐK trạng thái mới:

•Ma trận ĐC mới có kích cỡ (m, n+r) có thể được thiết kế theo các phương pháp ở mục 3.1.2, áp dụng cho đối tượng mới với mô hình trạng thái mở rộng (n+r, n+r).

•Điều kiện để tìm được thiết kế là tính ĐK được của mô hình mở rộng Tính ĐK được tồn tại khi

mô hình ban đầu là ĐK được hoàn toàn và ma trận:

có hạng n + r (có rang n + r).

•Trong cấu trúc mới, các thành phần tích phân I khử triệt để độ dư sai lệch ĐC Vì vậy có thể bỏ

qua khâu lọc đầu vào KVF

•

A 0 -C 0

Khâu bù

nhiễu

Khâu ĐC trạng thái

Đối tượng

ĐK bị nhiễu

( )t

q•

( )t0

q

( )t

3 ĐK có phản hồi trạng thái

3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở 3.1.3 Các cấu trúc mở rộng của hệ ĐK trạng thái liên tục

c) Hệ ĐK trạng thái có bù nhiễu •Điều kiện để có thể thực hiện

bù: Phải đo được nhiễu.

Nhiễu tác động vào đối tượng

qua ma trận E (n, m) Việc

bù được thực hiện bằng ma

trận bù KAz

R z

B u E z

•

•Việc thiết kế khâu ĐC trạng thái không thay đổi Nhiễu

bị triệt tiêu khi:

Bu +E z =0

•Ma trận bù KAz có dạng:

Az

−

= −

Đối tượng ĐK

Khâu QS trạng thái Luenberger

( )t

q•

( )t0

q

( )t

( )t

•

q

( )t0

q

( )t

q

( )t

x

( )t

x

( )t

q

3 ĐK có phản hồi trạng thái

3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở 3.1.3 Các cấu trúc mở rộng của hệ ĐK trạng thái liên tục d) Hệ ĐK trạng thái sử dụng

khâu quan sát (QS) trạng thái

Khi không thể đo các biến trạng

thái, ta phải dùng khâu QS

Luenberger với cấu trúc ở hình

bên phải để tính các biến đó

Điều kiện: đối tượng ĐK phải

bảo đảm tính quan sát được

•

•

⎪⎪⎪

⎨⎪

⎪⎪⎩

•

⎪⎪⎪

⎨⎪

⎪⎪⎩

•Mô hình trạng thái của đối

tượng và của khâu QS:

•Mô hình của sai số QS:

3 ĐK có phản hồi trạng thái

3.1 Ôn lại các kiến thức cơ sở 3.1.3 Các cấu trúc mở rộng của hệ ĐK trạng thái d) Hệ ĐK trạng thái sử dụng khâu

quan sát (QS) trạng thái (tiếp)

•Ma trận K được thiết kế sao cho các giá trị riêng của ma trận có thành phần thực âm

Việc thiết kế theo phương pháp gán cực chỉ có thể thực hiện khi đối tượng là QS được toàn phần.

•Khi sử dụng vector để ĐK ta có:

( A K C − )

•

= −

( )t

q

•Với phương trình đặc tính:

( ) ( )

( ) ( )

t t

•

•

−

q

( )

( )

( )

State Controller:

Observer:

O

N s G

N s

s

N s

s

•Vậy: N G ( )s = N SC ( ) ( )s N O s = det⎡⎣sI−(A B R− )⎤⎦⋅det⎡⎣sI−(A K C− )⎤⎦ = 0

•Vậy mô hình hệ thống tổng thể là:

Phương trình đặc tính mới cho thấy rõ: Điểm cực của vòng QS không hề di chuyển vị trí điểm cực của vòng ĐC Việc gán điểm cực cho hai vòng ĐC và QS có thể thực hiện hoàn toàn độc lập với nhau (nguyên lý phân ly, Separation Principle).

3 ĐK có phản hồi trạng thái

3.2 Mô hình trạng thái gián đoạn

•Mục 1.3.2c) đã xây dựng mô hình trạng thái gián đoạn cho các đối

tượng ĐK với bản chất liên tục (hình dưới: đối tượng MIMO) như

( )

1

0

1

;

T T

T

A

Φ

Φ Φ Φ

Φ

ν ν

+

−

⎪⎪

⎪⎩

∫

•Khi đối tượng ĐK là hệ SISO:

1

0 1

;

T

T T

u

A

c q

Φ

Φ

ν ν

+

−

⎪⎪

⎪⎩

= ⎢⎣ − ⎥⎦

∫

3 ĐK có phản hồi trạng thái

3.3 Tính điều khiển được và tính quan sát được

3.3.1 Tính điều khiển được

3.3.2 Tính quan sát được

1

q + =Φ q +Η u

1

, , , n

•Một đối tượng MIMO mô tả bởi là ĐK được hoàn toàn khi và chỉ khi:

Có thể đưa đối tượng chuyển từ trạng thái ban đầu bất kỳ q(0) tới trạng thái cuối cùng q(N)

sau đúng N chu kỳ trích mẫu T.

•Để bảo đảm điều đó, ma trận ĐK (n, n m) Q C phải có hạng n Tức là Q C phải chứa n vector

cột độc lập tuyến tính Với:

•Một đối tượng MIMO mô tả bởi và có vector biến

ra là QS được hoàn toàn khi và chỉ khi: Có thể xác định được

trạng thái ban đầu bất kỳ q(0) sau một lượng hữu hạn chu kỳ trích mẫu T,

khi ở thời điểm thứ k biết vector biến vào u k và đo được vector biến ra xk

•Để bảo đảm điều đó, ma trận QS (n r, n) Q O phải có hạng n Tức là Q O

O

n−

C C Q

C

Φ Φ

1

q + =Φ q +Η u

q

1

k+

q

Φ

1

z− I

−R

3 ĐK có phản hồi trạng thái

3.4 Cấu trúc cơ bản trên không gian trạng thái

1 1

MIMO :

SISO :

T

+ +

= −

Φ Φ

•Vòng ĐC khép kín sẽ có hàm ĐK và

phương trình chuyển trạng thái như sau:

•Có thể tìm bộ tham số ĐC bằng phương

pháp gán cực trên cơ sở phương trình

đặc tính sau:

•Trường hợp đặc biệt: Khi đặt tất cả các điểm cực z itại gốc tọa độ ta sẽ thu được đặc tính của

khâu ĐC kiểu Dead – Beat (xem mục 2.3.3)

•Khâu ĐC kiểu Dead – Beat trên không gian trạng thái thường có đặc điểm nhậy tham số Đồng

thời, biên độ của đại lượng ĐK uk khá lớn

•Thông thường, không nên đặt tất cả mọi điểm cực tại gốc tọa độ

q

1

k+

k

y

1

k+

y

1

z− I

1

−R

I

K

P

K

3 ĐK có phản hồi trạng thái

3.5 Một số dạng mở rộng 3.5.1 Hệ ĐK trạng thái có lọc đầu vào

1

+

⎪

⎨

=

⎪⎩

1

VF

∞

⎪

=

⎪⎩

Φ

VF

−

−

•Mô hình hệ như sau: •Ở trạng thái xác lập, khi w = const:

3.5.2 Hệ ĐK trạng thái có ĐC đầu ra theo luật PI

•Vậy ta có KVF:

Bằng việc kết hợp

ĐC trạng thái với

vòng ĐC ngoài sử

dụng khâu PI ta có

thể theo đuổi các

mục tiêu thiết kế

như ở mục 3.1.3b

3 ĐK có phản hồi trạng thái

3.5 Một số dạng mở rộng 3.5.2 Hệ ĐK trạng thái có ĐC đầu ra theo luật PI

•Vector đầu ra của khâu I được viết như sau: yk = yk−1 +wk −xk ⇒ yk+1 = yk +wk+1−xk+1

•Khi wk = vk = 0 ta có: yk+ 1 = −C q Φ k +yk −C Η uk

1 1

k

+ +

u

Φ Φ

k

⎡ ⎤

⎣ ⎦

q

y

•Mô hình trạng thái mở rộng có dạng:

•Từ đó ta thu được vector ĐK:

3.5.3 Hệ ĐK trạng thái có bù nhiễu

1

Φ

+

⎪⎪

⎪⎩

•Cho trước là đối tượng có nhiễu đo được như sau:

•Tác động của nhiễu vk tới qk+1 sẽ bị triệt tiêu nếu ta bù bởi một vector sau đây:

với:

( )

v k = Av k

Av

−

= −

Đối tượng ĐK

Khâu QS trạng thái Luenberger

k

k

q

k

x

k

x

k

q

1

k+

q

1

k+

q

z

I

z

I Φ Φ

3 ĐK có phản hồi trạng thái

3.5 Một số dạng mở rộng 3.5.4 Hệ ĐK trạng thái sử dụng khâu QS trạng thái

1 1 1

k k

Φ Φ Φ−

+ + +

⎪⎪⎪

⎪⎪⎩

1

q + =q + −q + = Φ− K C q

•Từ sơ đồ cấu trúc bên ta viết hệ phương trình sau:

•Mô hình của sai lệch trạng thái có dạng:

Phải thiết kế K sao cho mọi điểm cực của đều nằm trong đường tròn đơn vị Nguyên lý Separation có hiệu lực giống như trường hợp hệ liên tục.

(Φ− K C)