Bài tập Xác suất

Phép thử Bernoulli Dãy phép thử Gi ; i=1,n trong đó mỗi phép thử tương ứng với một không gian biến cố sơ cấp Ω = {A,Ā }, được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu 1.Dãy các phép thử là độc

I -Giải tích tổ hợp

1) Từ địa điểm A đến địa điểm B có 4 đường đi; từ địa điểm B đến địa điểm C có 5

đường đi Hỏi đi từ A đến B rồi về C có bao nhiêu cách đi.

Hướng dẫn giải:

Đi từ A về C có hai công đoạn :

(a) Đi từ A đến B có : 4 cách đi

(b) Đi từ b đến C có : 5 cách đi

Theo Nguyên lý tích, đi từ A về C có :

4.5 = 20 cách đi

2) Có bao nhiêu số có 3 chữ số thiết lập từ các số 0,1,2,…,9 Hướng dẫn giải:

a) Chọn chữ số hàng trăm : có 9 cách chọn

b) Chọn chữ số hàng chục: có 10 cách chọn

c) Chọn chữ số hàng đơn vị: có 10 cách chọn

Vậy có 9.10.10= 900 số có 3 chữ số

3) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau thiết lập từ các số 0,1,2,…,9 Hướng dẫn giải:

a) Chọn chữ số hàng trăm : có 9 cách chọn

b) Chọn chữ số hàng chục: 9 cách chọn

c) Chọn chữ số hàng đơn vị : có 8 cách chọn

Vậy có 9.9.8= 648 số có 3 chữ số khác nhau

5) Có 5 hành khách cần xếp lên 9 toa tàu khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách xếp:

a) Sao cho mỗi một hành khách có thể xếp lên một toa bất kỳ

b) Sao cho mỗi toa có tối đa một hành khách.

Hướng dẫn giải:

a) a,b,c,d,e là hành khách; xếp cho hành khách (a) có 9 cách chọn; xếp chỗ cho người

tiếp theo cũng có 9 cách chọn Vậy số cách xếp là 9.9.9.9.9 = 95

b) Xếp chỗ cho hành khác (a) có 9 cách chọn; xếp chỗ chọ hành khách (b) còn 8 cách

chọn, xếp chỗ cho hành khách ( c) còn 7 cách chọn,… Vậy số cách chọn là

9.8.7.6.5 = 15.120 cách xếp

6) Người ta phát hành bộ vé số có 5 chữ số Hỏi có thể phát hành bao nhiêu vé :

a) Vé có 5 chữ số lẻ không nhất thiết khác nhau?

b) Vé có số tận cùng là 25

Hướng dẫn giải:

a) Mỗi dãy số trên một vé là một chỉnh hợp lặp chập 5 của 10 phần tử 0,1,…9; 105 =

100.000 vé

b) Mỗi dãy số trên vé có 5 chữ số lẻ không nhất thiết khác nhau lấy từ tập gổm các chữ số

1,3,5,7,9 Vậy số vé gồm 5 chữ số lẻ là số chỉnh hợp lặp chập 5 của 5 chữ số nói trên;

55 vé.

c)Một vé số có chữ số tận cùng 25 thì 3 chữ số trước là một chỉnh hợp lặp của 10 Vậy có 103

vé có hai chữ số cuối là 25

7) Lớp học có 30 sinh viên, cần cử ra ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, hai lớp phó, 1 phụ

trách học tập, một phụ trách đời sống.Hỏi nếu mọi người trong lớp đều có thể giữ một trong các vai trò trên, có bao nhiêu cách lựa chọn.

Hướng dẫn giải:

Mỗi cách chọn gồm 3 người có phân biệt vị trí của các phần tử nên mỗi cách chọn là một

chỉnh hợp chập 3 của 30; Vậy số cách chọn là

=

8) Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4,5

5 4 3 2

1 )!

3 5

(

! 5

=

=

=

−

10) Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4.

Hướng dẫn giải:

Mỗi số có 4 chữ số là một hoán vị của 4 phần tử P

4 = 4! = 1.2.3.4 = 24 11) Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 quyển sách lên một giá hàng ngang có 5 vị trí Hướng dẫn giải:

Mỗi cách xếp là một hoán vị của 5 phần tử P

5 = 5! = 1.2.3.4.5 = 120

12) Có 5 vị khách mời A,B,C,D,E xếp 5 ghế ngồi theo một dãy hàng ngang Hỏi có bao

a) Xếp chỗ cho A, có 4 cách chọn; hoán vị của 2 vị trí còn lại cạnh A,cho C, B và D,E

hoán vị của 2 vị trí cuối cùng Vậy số cách xếp: 4.2!.2!

b) B và C hoán vị của hai vị trí đầu dãy, các vị trí còn lại là hoán vị của 3 chỗ ngồi còn lại

dành cho 3 vị khách A,E,D Vậy số cách xếp:2!.3!

13) Có thể thiết lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau từ ( 0,1,…, 9) chữ số hàng chục và hàng

14) Một hôp đựng bị có 10 viên trong đó có 6 viên bi vàng và 4 viên bi xanh

a) Bốc ngẫu nhiên 3 viên hỏi có bao nhiêu khả năng xẩy ra?

b) Khả năng để có 2 viên bi xanh trong 3 viên lấy ra?

2 1

10 9

8 )!

3 10

(

! 3

! 103

−

=

C

15) Có 8 đội bóng đấu vòng tròn một lượt tranh giải;

a) Hỏi tất cả phải đấu bao nhiêu trận;

b) Trong 8 đội chọn 3 đội giải nhất nhì 3, có bao nhiêu khả năng xẩy ra?

Hướng dẫn giải:

a) Mỗi trận phải có hai đội khác nhau, đấu vòng tròn hết lượt thì thôi, mỗi trận là một tổ hợp chập 2

của 8 Vậy số trận đấu :

b) Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 3 của 8 vậy số cách chọn là

28 2

1

8

7 )!

2 8

!.(

2

! 8

7

6 )!

3 8 (

! 8

16) Một đa giác lồi có 20 đường chéo, hỏi đa giác có bao nhiêu đỉnh.

Hướng dẫn giải:

Gọi số đỉnh của đa giác là n

Số cạnh và số đường chéo của đa giác là

Vậy ta có phương trình :

Điều kiện n nguyên dương Giải phương trình ta có n = 8

Vậy đa giác đó có 8 đỉnh ( bát giác lồi )

)! 2 (

! 2

3 2

) 1

.(

)!

2 ( 2

! 20

Cn

17) Một bộ vé số 5 chữ số thiết lập từ 10 chữ số( 0, 1,…,9)

a) Có bao nhiêu vé gồm 5 chữ số khác nhau

b) Có bao nhiêu vé trong đó đúng 2 số 4

5 10

A

2 5

C

2 5

C

Xác suất, tính chất, các công thức xác suất

Tính chất cơ bản của xác suất

f) P(AB) = P(A) +P(B) – P(AB)

• P(ABC)= P(A)+P(B)+P(C )-P(A1 A2)-P(A1 A3)-P(A2 A3)+ P(A1A2 A3)

Các công thức xác suất cơ bản

Phép thử Bernoulli- Công thức xác suất nhị thức

g Phép thử Bernoulli

Dãy phép thử Gi ; i=(1,n) trong đó mỗi phép thử tương ứng với một không gian

biến cố sơ cấp Ω = {A,Ā }, được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu

1.Dãy các phép thử là độc lập

2.Xác suất xẩy ra biến cố A là không đổi và bằng p

 Xác suất nhị thức Dãy pháp thử Bernoulli ( n,p)

 Khả năng nhất : -Nếu (n+1)p nguyên thì k0=(n +1) p và k1= (n+1)p-1

- Nếu (n+1)p không nguyên thì k0=[(n+1)p ]

k k

II- Định nghĩa xác suất

18) Một lô hàng có 1000 sản phẩm, trong đó có 3% sản phẩm xấu Lấy hú họa 1 sản phẩm từ lô

hàng, biết sản phẩm lấy được là tốt tìm xác suất

Hướng dẫn giải:

Số khả năng thuận lợi là 970; số khả năng có thể 1000

Gọi x sản phẩm lấy được là tốt, xác suất

P(x) = = 0, 97

970 1000

19) Gieo đồng thời 2 con xúc xắc đồng chất cùng khối lượng Tìm xác suất:

a) Tổng số chấm mặt trên là chẵn;

b) Hiệu số chấm mặt trên có trị tuyệt đối là 3.

c) Tổng số chấm mặt trên là 6.

Hướng dẫn giải :

a Số khả năng có thể 36, số khả năng thuận lợi 18 Xác suất p =

b Số khả năng có thể 36, số khả năng thuận lợi 6 Xác suất p =

c Số khả năng có thể 36, số khả năng thuận lợi 5 Xác suất p =

18 36 6

36

5 36

20) Hai hộp dựng bi; hộp 1 có 3 bi trắng, 7 bi đỏ, 15 bi xanh; hộp 2 có 10 bi

trắng, 6 bi đỏ, 9 bi xanh Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 bi, tìm xác suất

Khả năng thuận lợi 2 bi trắng(T):

Khả năng thuận lợi 2 bi đỏ( D):

Khả năng thuận lợi 2 bi xanh ( X):

Xác suất hai viên cùng màu là :

b) Biến cố hai viên cùng màu là biến cố đối của biến cố 2 viên khác màu nên

Xác suất hai viên khác màu là :

1

21) Một hộp đựng bóng đèn có 40 bóng tốt 10 bóng hỏng Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 8

22) Có 12 hành khách lên ngẫu nhiên 3 toa tàu Tìm xác suất :

b) Khả năng có thể (4!)3 123 Hành khách các toa bằng nhau nên số khả năng

thuận lợi là tập các hoán vị của 12 hành khách 12!

3

2 12

23) Một ổ khóa số có 6 vòng mỗi vòng đều chia thành 10 phần bằng nhau ( 0,1,…,9), gắn

quay quanh một trục Khi cài khóa người ta chọn mỗi vòng 1 số, sao cho khi xoay các vòng để các điểm chọn trước thẳng hàng thì khóa mở được Tính xác suất để mỗi vòng đều đúng vị trí định sẵn nói trên

Hướng dẫn giải:

Số khả năng có thể là tập các chỉnh hợp lặp chập 6 của 10 : 106

Số khả năng thuận lợi : 1

Vậy xác suất

24) Một đoàn khách gồm 6 nam và 4 nữ đến thuê phòng ở khách sạn, chỗ ở của khách sạn

chỉ còn lại 6 ( ai tới trước thì phục vụ trước) Tìm xác suất:

a) Cả 6 nam đều được nghỉ trọ

b) 4 nam và 2 nữ nghỉ trọ

c) Ít nhất 2 trong 4 nữ nghỉ trọ

Hướng dẫn giải:

Khả năng có thể cho tất cả:

a) Khả năng thuận lợi ,

b) Khả năng thuận lợi

c) Khả năng thuận lợi

6 10

10!

210 6!.(10 6)!

210 42

p

C C C C C C + + = = =

a) X là biến cố chỉ có một viên trúng nên :

P(X) =P(A Ō Ē )+P(Ā.O Ē)+P(Ā; Ō; E).

b) Gọi Y biến cố 3 viên đều trượt P(Y)=P(Ā.Ō Ē ).

c) Gọi Z là biến cố có ít nhất 1 viên trúng;

P(Z) = 1 – P(Y)

26) Một hộp đựng 10 viên bi đồng chất cùng khối lượng, 7 bi trắng và 3 bi xanh Lấy lần lượt 2

viên từ hộp ra, xác suất để cà 2 viên đều trắng

Hướng dẫn : Ai là viên thứ i màu trắng ( i = 1,2)

P(A )= P(A1).(A2/A1)

27 ) Giả thiết như bài 26 Lấy ra 2 viên tìm xác suất 2 viên khác màu

Hướng dẫn : Gọi A là biến cố viên bi lấy ra màu trắng,Ā viên bi lấy ra màu xanh

1) Lấy lần lượt từng viên, X là biến cố 2 viên khác màu:

7 15

28) Một xưởng máy có 3 máy hoạt động độc lập nhau Khả năng hỏng của mỗi máy người ta tính

a) Biến cố 3 máy cùng hỏng, vậy P(X) = P(Ā.Ō.Ē )= 0,1.0,2.0,3=0,006

b) Biến cố có ít nhất 1 máy làm việc là biến cố đối của biến cố 3 máy đều hỏng P(Y) = 1-

0,006=0,994

c) Tương tự xác suất cả 3 máy đều làm việc, P( Z ) = 0,9.0,8.0,7

29) Khảo sát tình hình mắc bệnh tim và bệnh khớp của một vùng dân cư: tỉ lệ mắc bệnh khớp 0,12; mắc bệnh tim 0,09; mắc cả hai bệnh là 0,07 Khi khám ngẫu nhiên một người thì người này không mắc cả hai bệnh trên, tìm xác suất.

Hướng dẫn :

X là biến cố không mắc cả hai bệnh trên

P(X) = 1- P(A B) = 1- ( P(A)+P(B) –P(AB))=1- 0,14= 0,86

30) Hai hộp bi, hộp 1 có 4 bi đỏ 6 bi trắng, hộp 2 có 3 bi đỏ 7 bi trắng Lấy ngẫu

nhiên 1 viên bi từ hộp 1 cho vào hộp 2 trộn đều sau đó lấy ra 2 viên Tìm xác suất được 2 viên bi trắng.

Hướng dẫn giải :

X là biến cố 2 viên bi lấy từ hộp 2 là màu trắng

A biến cố viên lấy được từ hộp 1 là bi trắng,Ā biến cố

viên bi đỏ Ta có X = A ( AĀ)= (A A)  (A  Ā)

P(X) = P(A A) + P(A Ā)

= P(A).P(A/A) + P(Ā).P(A/Ā)

31) Một lô sản phẩm có 3% sản phẩm xấu Người ta chọn lô hàng bằng cách chấp nhận lô sản phẩm đó nếu lấy ngẫu nhiên lần lượt 4 sản phẩm nếu có ít nhất một sản phẩm xấu thì lô

đó bị loại Tìm xác suất lô hàng được nhận

32) Bắn liên tiếp vào bia cho tới khi có một viên trúng thì ngừng lại Tìm xác suất phải

bắn tới viên thứ 6, biết xác suất trúng của mỗi viên đạn là 0,2; các lần bắn độc lập.Hướng dẫn:

Gọi Ai, i= (1,6) các viên đạn bắn vào bia

P(A1.A2… A6) = P(A1).P(A2)… P(A5).P(A6)=

=(0,8)5.0,2

33)Cho các lô sản phẩm có số lượng và phân

loại bảng (30) Lấy ngẫu nhiên một lô

rồi từ đó lấy 1 sản phẩm.

a) Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là tốt.

b) Biết sản phẩm lấy ra tốt, xác suất để

sản phẩm thuộc lô 2

c) Nếu sản phẩm lấy ra là xấu, khả năng

thuộc lô nào nhất?

Lô Tổng Tốt Xấu

1 50 30 20

2 40 25 15

Bảng 30

•Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta có

1 1 2 2

( ) ( ) ( / ) ( ) ( / )

1 3 1 5 49

2 5 2 8 80

P A P = B P A B + P B P A B

Giải :

a) Gọi A là biến cố sản phẩm lấy ra tốt

Bi là biến cố sản phẩm lấy ra từ lô thứ i;

34) Một lô sản phẩm của xí nghiệp sản xuất đồ hộp do 3 nhà

máy sản xuất (bảng 31) Lấy ra một sản phẩm bất kỳ từ lô

sản phẩm, giả sử đúng sản phẩm xấu Xác suất sản phẩm

đó thuộc nhà máy 1

Hướng dẫn:

X là biến cố sản phẩm lấy ra sản phẩm xấu

Y, Z,T ) sản phẩm lấy ra của các nhà máy A,B,C sản suất;

Tỉ lệ /lô

Sản phẩm xấu

35) Hai công nhân cùng sản xuất chung một lô sản phẩm Xác suất người người

thứ nhất làm ra phế phẩm là 2% người thứ 2 là 3% Rút ra một sản phẩm trong số sản phẩm chung của cả hai người

a)Tính xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt.

b) Xác suất để sản phẩm đó của người thứ nhất.

Hướng dẫn:

a) A là biến cố sản phẩm lấy ra là tốt;Ai là sản phẩm lấy ra của người thứ i; i =

( 1,2), các Ai lập thành nhóm đầy đủ các biến cố Vì hai người làm như nhau nên P(A1)=P(A2) = 0,5

P(A) = P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)

= 0,5.0,98+ 0,5.0,97=0,975

b) P(A1/A ) = =0,502564

0, 5.0, 98

36)Tỷ lệ người dân nghiện thuốc lá ở một vùng là 0,3 Biết tỷ lệ người viêm họng trong số

nghiện thuốc là 0,6; tỷ lệ viêm họng trong số người không nghiện thuốc là 0,4

a) Lấy ngẫu nhiên một người, đúng người viêm họng, tính xác suất để người đó nghiện thuốc

b) Trong trường hợp đúng người đó không bị viên họng, tính xác suất để anh ta thuộc những người nghiện thuốc lá

37) Một tấn ngô giống gồm, loại A có 300 kg loại B có 100 kg còn lại là loại C Biết tỷ lệ nẩy

mầm của chúng tưng ứng với mỗi loại 0,9; 0,8; 0,7

Anh ( chị) hãy xác định tỷ lệ nẩy mầm của tấn giống ngô nói trên

Người ta lấy ngẫu nhiên một hạt gieo thử thấy không nẩy mầm, trong trường hợp đó hãy cho biết khả năng hạt đó thuộc loại nào?

• Xác định tỷ lệ nẩy mầm? Gọi X,Y,Z là tỷ

lệ hạt nẩy mầm thuộc loại A loại B và

N =

So sánh (1),(2),(3), khả năng

38) Bệnh nhân trong một bệnh viện có 30% tỉnh A, 40%tỉnh B còn lại là tỉnh C Biết tỉ lệ giáo

viên là bệnh nhân của tỉnh A là 2%, tỉnh B là 3%, tỉnh C là 5% Chọn ngẫu nhiên một bệnh nhân, người đó không là giáo viên, tìm xác suất Khả năng bệnh nhân thuộc tỉnh nào?

Hướng dẫn:

Gọi X, Y ,Z là biến cố bệnh nhân được chọn thuộc các tỉnh A,B,C

P(A) =30%,P(B)=40%,P(C)= 30%, A,B,C lập thành một hệ đầy đủ

Phép thử Bernoulli- Công thức xác suất nhị thức

 Phép thử Bernoulli

Dãy phép thử Gi ; i=(1,n) trong đó mỗi phép thử tương ứng với một không gian

biến cố sơ cấp Ω = {A,Ā }, được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu

a) Dãy các phép thử là độc lập

b) Xác suất xẩy ra biến cố A là không đổi và bằng p

 Xác suất nhị thức Dãy pháp thử Bernoulli ( n,p)

 Khả năng nhất : -Nếu (n+1)p nguyên thì k0=(n +1) p và k1= (n+1)p-1

- Nếu (n+1)p không nguyên thì k0=[(n+1)p ]

k k

39) Gieo ngẫu nhiên một đồng tiền cân đối đồng chất 10 lần Tìm xác suất :

40) Một lô hàng có tỉ lệ phế phẩm là 0,02 Cần chọn mẫu cỡ bao nhiêu để xác suất ít

nhất có 1 phế phẩm trong đó xác suất không thấp hơn 0,95.

41) Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất 5 lần Khả năng nhất số lần xuất hiện mặt sấp

42)Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên 4 phát vào bia, biết xác suất trúng bia của anh ta là

0,7

a) Tìm xác suất anh ta bắn trúng nhiều nhất 2 viên vào bia.

b) Khả năng trúng bia nhiều nhiều nhất trong 4 phát nói trên

43)Mức tiêu thụ điện năng mỗi ngày của nhà máy là không vượt quá p=0,75 Tính xác suất trong 6

ngày có 4 ngày lượng điện không vượt định mức quy định

44) Xác suất nẩy mầm của một lô hạt giống 97% Phải chọn một mẫu cỡ bao nhiên để trong lô

mẫu có ít nhất 1 hạt không nẩy mầm với xác suất không nhỏ hơn 95%

Giải :

Giả sử mẫu được chọn n, bài toán thỏa mãn điều kiện của Bernoulli: n; p=0,03; q=0,97.Gọi Pn(x) là xác suất có ít nhất một hạt không nẩy mầm

0 0

n

C

45) Một người tập bắn, bắn liên tiếp 5 phát, xác suất trúng mục tiêu là 0,2 Để hạ được

mục tiêu anh ta phải bắn trúng ít nhất 3 viên Tìm xác suất để hạ được mục

46) Một vùng dân cư khả năng một loại bệnh truyền nhiễm là 0,2 Khám 500 người thuộc khu vực

dân cư nói trên:

a) Tìm xác suất để có nhiều nhất 3 người bị bệnh

b) Số người mắc bệnh khả năng lớn nhất, xác suất tương ứng

Giải :

Bài toán thỏa mãn điều kiện Bernoulli với n=500 và p=0,2; q= 1-p = 0,8

• Áp dụng công thức xác suất nhị thức, xác suất để nhiều nhất 3 người mắc bệnh là

• Ta có (n+1) p = 501.0,2= 100,2 nên số người mắc bệnh nhiều nhất 100 Xác suất tương

47) Tỉ lệ cận thị của học sinh trong trường là 0,1 Lấy mẫu bằng bao nhiêu để

trong đó ít nhất một học sinh bị cận với xác suất tương ứng là 0,95.

48) Người ta trồng một hàng có 9 cây, xác suất trồng sống là 0,8; cây chết người

ta trồng lại.Khả năng trồng lại nhiều nhất mấy cây, xác suất tương ứng.

Hướng dẫn giải :

Bài toán thỏa mãn điều kiện Bernoulli với n= 9 và p= 0,8; q= 1 - 0,8 = 0,2

Ta có (n+1)q= 10.0,2=2 nên số cây chết nhiều nhất là 1 đến 2 cây, xác suất tương ứng là :

49) Có 12 máy dệt, trong một thời gian t thì chúng cần bảo dưỡng với xác suất

p= 1/3 Tìm xác suất:

a) Trong thời gian t có 4 máy cần bảo dưỡng.

b) Trong thời gian t có từ 3 đến 6 máy cần bảo dưỡng.

Hướng dẫn giải :

a) Bài toán thỏa mãn điều kiện của Bernoulli với n=12; p=1/3; q= 2/3

b)

8 4

4 8

1 (4) 2

3 3

C

12 6