Duong Elip rat hay

ĐƯỜNG E-LIPMỤC TIÊU: -Hiểu và nắm vững định nghĩa elip, phương trình chính tắc của elip.. -Viết được phương trình chính tắc của elíp khi biết một số yếu tố xác định... ĐƯỜNG ELIPVẽ đườ

ĐƯỜNG E-LIP

MỤC TIÊU:

-Hiểu và nắm vững định nghĩa elip, phương

trình chính tắc của elip.

-Viết được phương trình chính tắc của elíp

khi biết một số yếu tố xác định.

ĐƯỜNG ELIP

ĐƯỜNG ELIP

Vẽ đường elíp

1 Định nghĩa về đường elip

Cho hai điểm cố định F1 và F2, với F1F2 = 2c ( c>0 )

Đường elip (còn gọi là elip ) là tập hợp các điểm M sao cho MF1+MF2 = 2a , trong đó a là số cho trước lớn hơn c

- Hai điểm F1 và F2, gọi là các tiêu điểm của elip

- Khoảng cách F1F2 = 2c gọi là tiêu cự của elip.

M

2 Phương trình chính tắc của elip

• Cho elip (E) như định

nghĩa

• Chọn hệ trục toạ độ Oxy

như hình vẽ.

Ta có tọa độ các tiêu điểm là:

F1(-c; 0), F2(c; 0)

M

y

Với cách chọn hệ trục tọa độ như vậy, hãy cho

biết tọa độ hai tiêu điểm F1 và F2?

( ; )

M x y

∀ nằm trên elip ta có:

2

*MF = (x c− ) + y

*MF −MF = 4cx (2);

Từ đó ta có:

Đặt b2 = a2 −c2 PT (*) trở thành

2 2

2 2 1

a + b = với b2 = a2 −c a b2; > > 0

(*)

2 2 2 1

−

2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

2 4

cx

MF MF

a



( ) 2 ( )

từ (2) và (3) ta có hệ

1

2

cx

a cx

a

 = +



⇔ 

 = −



2 ( 2 2 ) 2 2 2 ( 2 2 )

x a −c +a y = a a −c

Thay vào (1) ta đ ợc

y

F1(-c;0) F2(c;0)

2c

.

O

M(x;y)

2 Phương trỡnh chớnh tắc của elip

1

*MF = (x c+ ) + y 2 2 2

⇔ = + + (1)

cx a

Ngược lại ta cú thể chứng minh rằng: Nếu M(x,y) thoả món (1) thỡ MF 1 =a+

MF =a- do đú MF1+MF2=2a, tức là M thuộc elớp cx

Ph ơng trình

với

Gọi là ph ơng trình chính tắc của elíp (E) đã cho

Ví dụ 1. Cho ba điểm F1(- ; 0), F2(; 0) và I(0; 3).

a) Hãy viết phương trình chính tắc của elip (E) có các tiêu điểm là F1, F2 và đi qua I.

b) Khi điểm M chạy trên (E),khoảng cách MF1 có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng bao nhiêu

a).Giả sử (E) có phương trình chính tắc

Do I(0;3) thuộc (E) nên ta có ,suy ra b2=9

Theo giả thiết tiêu cự của (E) là F1F2=2c=2 Vậy c=

Do đó a2=b2+c2=9+5=14 Vậy (E) có phương trình chính tắc là:

2 2

2 2 1

x y

a + b =

5

5

2

2 2

0 3

1

a + b =

2 2

1

14 9

x y

Bài giải:

b).Theo công thức về độ dài của bán kính qua tiêu ta có MF1=a+

Vì nên hay

Do đó MF1 có giá trị nhỏ nhất là khi x=-a và có giá trị

cx a

a x a

− ≤ ≤ + a c MF− ≤ 1 ≤ +a c

a c − = −

14 5

a c + = +

ELIP Ví dụ 2:Viết phương trình chính tắc của (E) đi qua hai điểm

M(0:1) và 3 Xác định toạ độ các tiêu điểm của elíp đó

(1; ) 2

N

Bài giải

Giả sử phương trình chính tắc của elíp có dạng: Với a>b>0

Do elíp đi qua M(0;1) nên hay b2=1 Mặt khác elíp qua

nên suy ra a2=4.Vậy elíp cần tìm có phương trình chính tắc là

2

1

1

b =

x y

a + b =

3 (1; ) 2

N

2 2

1 4

2 2

1

x y

Củng cố

1 Định nghĩa elip.

(E) = {M | MF1 + MF2 = 2a, a không đổi, a > c > 0}

F1(-c; 0), F2(c; 0), F1F2 = 2c.

(a2 - b2 = c2)

2 2

2 2

+ =1

2 Phương trình chính tắc của elip

Tọa độ các tiêu điểm: F1(-c; 0), F2(c;0)

Bán kính qua tiêu của điểm M(xM; yM) thuộc elip (E) là:

và1 M

c

a

= + MF a2 c xM

a

= −