- Ba đường trung tuyến đồng quy tại trọng tâm.. - Ba đường trung trực đồng quy tại tâm đường tròn đi qua ba đỉnh t/giác.. - Ba đường phân giác đồng quy điểm đó cách đều ba cạnh tam giác
Trang 1CHỦ ĐỀ TỰ CHỌN TOÁN 7- LOẠI NÂNG CAO (Dành cho lớp chọn) Tên c/ đề: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU TAM GIÁC- MỘT SỐ
TÍNH CHẤT CƠ BẢN KHÁC &Ư/ DỤNG Thời lượng: 10 tiết (Chia nhỏ BT đối với lớp thường )
GV: Nguyễn Tấn Ngọc ( THCS Nhơn Mỹ, An Nhơn)
Thời gian thực hiện: Tháng 01& 02-2008.
A LÝ THUYẾT CƠ BẢN:
I Các trường hợp bằng nhau tam giác thường:
=
=
= ' ' '
' '
C A AC
A A
B A AB
' '
' C B A ABC = ∆
' '
' '
' '
C B A ABC A
C CA
C B BC
B A AB
∆
=
∆
⇒
=
=
=
(c-c-c)
'
' '
'
C B A ABC B
B
B A AB
A A
∆
=
∆
⇒
=
=
=
(g-c-g)
II Các trường hợp bằng nhau tam giác vuông: Cho △ABC; △A'B'C' lần
lượt vuông tại A và A' nếu :
1.4
=
=
' ' ' '
' '
C B A ABC B
B
C B BC
(Cạnh huyền - góc nhọn)
' '
' '
C B A ABC B
A AB
C B BC
∆
=
∆
⇒
=
=
(Cạnh huyền - cạnh góc vuông)
' '
' '
C B A ABC C
A AC
B A AB
∆
=
∆
⇒
=
=
(Cạnh góc vuông - cạnh góc vuông)
'
' '
C B A ABC B
B
B A AB
∆
=
∆
⇒
=
=
(Cạnh góc vuông - góc nhọn)
1.8 △ABC vuông tại A AB2 + AC2 = BC2 ( Định lý Py-Ta-Go)
1.9 △ABC vuông tại A AM = BC2 ( trong đó M là trung điểm BC ) 1.10 △ABC cân tại A ; AH là đường cao ( H ∈ BC )
=
=
=
⇒
B A
CAH BAH
CH BH
( tính chất tam giác cân )
1.11 Nếu tam giác thõa đồng thời hai trong bốn đường: Đường cao, đường
trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực thì tam giác đó cân
1.12 △ABC đều
=
=
=
=
=
=
0
0
60
;
60
A AC AB
B A
CA BC AB
( có thể thay ∠A bỡi ∠C )
1.13 △ABC vuông tại A và có BC AB
C
B
2 30
60
0
0
=
⇒
=
= (nửa tam giác đều)
Trang 21.14 △ABC vuông tại A và BC = 2 AB => B = 600 và C = 300 (nửat/gđều).
1.15 Bất kỳ tam giác nào cũng có:
- Ba đường cao đồng quy (tại trực tâm).
- Ba đường trung tuyến đồng quy (tại trọng tâm).
- Ba đường trung trực đồng quy ( tại tâm đường tròn đi qua ba đỉnh t/giác).
- Ba đường phân giác đồng quy (điểm đó cách đều ba cạnh tam giác).
1.16 Cho △ABC ta luôn có bất đẳng thức:
AB−AC < BC < AB + AC
1.17 Với ba diểm A , B , C tùy ý ta luôn có:
AB + BC ≥ AC ( Dấu"=" B ∈ [ ]AC ) (Bất đẳng thức ba đểm ).
1.18 Với △ABC thì : A > B BC > AC
1.19 Cho A nằm bên ngoài đường thẳng a , AH ⊥ a tại H ; B ∈ a thì:
AH ≤ AB (Dấu "=" B ≡ H )
1.20 Nếu ba đoạn thẳng AB ; BC ; CA tỉ lệ thuận với các số a ; b ; c thì:
AB : BC : CA = a : b : c AB a = BC b =CA c
1.21 Nếu △ABC có M và N lần lượt là trung điểm AB và AC thì đoạn
thẳng MN gọi là đường trung bình của △ABC khi đó luôn có MN // BC và MN =
2
BC
1.22 Tam giác cân , góc ở đỉnh không đổi thì cạnh đáy nhỏ nhất ( lớn nhất )
khi chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất ( lớn nhất )
B CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH CÙNG HƯỚNG DẪN VẮN TẮT:
Bài 1: Cho △ABC có M là trung điểm BC và BC = 2 AB Gọi D là trung điểm của BM CMR: AC = 2.AD ( HD: Vẽ E sao cho D là trung điểm AE ; C/m:
△AME = △AMC (c-g-c)
Bài 2: Cho △ABC có ∠ ABC = 300 ; ∠ BAC = 1300 Đường phân giác ngoài ở đỉnh A cắt phân giác trong ở đỉnh B tại D Hai đường thẳng CD và AB cắt
nhau tại E CMR: CA = CE ( HD: CD là phân giác ngoài ở đỉnh C của △ABC
=>
∠ ACD = 800 và ∠ CAE = 500 )
Bài 3: Cho △ABC có E là trung điểm BC sao cho ∠EAB = 150 ; ∠EAC =
300 Tính ∠ACB ? (HD: Vẽ F sao cho AE là trung trực của CF => △ACF đều; gọi
I là trung điểm FC => △BFC vuông tại F => △BFA cân tại F => △BFC vuông cân tại F => ∠C = 1050 )
Bài 4: Cho △ABC cân tại A và ∠A = 800 Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho ∠MBC = 100; ∠MCB = 300 Tính ∠AMB ? ( HD: Vẽ △BCD đều, D
Trang 3Bài 5: Cho △ABC cân tại A và ∠A = 1000 Gọi M là điểm nằm trong tam giác sao cho ∠MBC = 200; ∠MCB = 300 Tính ∠AMB ? (Giải tương tự BT4)
Bài 6: Cho △ABC có AB < AC ; gọi D là điểm tùy ý nằm giữa A và B Gọi
E là điểm nằm giữa A và C sao cho CE = BD Gọi M và N lần lượt là trung điểm
BC và DE Đường thẳng MN lần lượt cắt các đường thẳng AB và AC tại P và Q
CMR: △APQ cân (HD: Gọi I là trung điểm BE … )
Bài 7: Cho △ABC có ∠A = 150 và ∠B = 450 Trên tia đối của tia CB lấy D
sao cho CD = 2.CB Tính ∠ADC ? (HD: Kẽ DE ⊥ AC tại E => △DEC là nửa tam
giác đều => △BCE cân => △AEB cân và △AED vuông cân)
Bài 8: Cho △ABC có hiệu∠C - ∠B = 900; AD và AE lần lượt là các đường phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác ( D, E ∈ BC ) CMR: AD = AE
(HD: Kẽ AH ⊥ BC tại H c/m: ∠DAH = ( ∠C - ∠B ): 2 => △DAE vuông
cân)
Bài 9: Cho △ABC có AH là đường cao Về phía ngoài tam giác vẽ △ABD
vuông cân tại B, vẽ △ACE vuông cân tại C CMR: AH ; BE ; CD đồng quy
(HD: Trên tia đối của tia AH lấy điểm K sao cho AK = BC => △ABK = △
BDC (c-g-c) => CD ⊥ BK )
Bài 10: Cho P nằm bên trong △ABC sao cho ∠PAC = ∠PBC Gọi M , L lần
lượt là hình chiếu của P lên AC và BC Gọi D là trung điểm AB CMR: DL = DM
(HD: Gọi I , K lần lượt là trung điểm PA và PB => △DIM = △DKL (c-g-c)) Bài 11: Cho △ABC vuông tại A và AC = 3.AB Trên cạnh AC lấy điểm E
sao cho 3.AE = 2.AC CMR: ∠AEB + ∠ACB = 450 (HD: Gọi D là trung điểm AE
; vẽ hình vuông ADKH ( H không trùng B) => △BKC vuông cân => △BAE =
△KDC )
Bài 12: Cho △ABC nhọn; AH là đường cao ( H ∈ BC ) Vẽ M sao cho AB là trung trực đoạn HM , vẽ N sao cho AC là trung trực đoạn HN Đường thẳng MN
lần lượt cắt các cạnh AB ; AC tại E và F CMR: AH ; BF ; CE đồng quy (HD: HA
là phân giác góc ∠EHF ; c/m: HB và EB là các đường phân giác ngoài △HEF =>
FB là phân giác trong △HEF )
Bài 13: Cho hình thang vuông ABEC ( ∠A = ∠C = 1v) và ∠ABC = 750; CE
= 2.CA Tính ∠BEC ? (HD: Bên trong △BEC vẽ △BMC đều ; H là hình chiếu
của M lên CE => △CME cân => △CME = △BME (c-g-c) => ∠BEC = 300 )
Bài 14: Cho △ABC cân tại A và ∠BAC = 200 Trên cạnh AB lấy E sao cho
AE = BC Tính ∠BEC ? (HD: Bên trong △ABC vẽ △BIC đều ).
Trang 4Bài 15: Cho hình thang ABCD có ∠A = ∠D = 1v ; CD = 2.AB Gọi H là hình chiếu của D lên AC ; M là trung điểm của HC Tính ∠BMD (HD: Gọi I là
trung điểm HD ; c/m: I là trực tâm △… )
Bài 16: Cho D nằm bên trong △ABC đều sao cho ∠DAB + ∠DCB = 600 và
DC = 2.DA Tính ∠ADB và ∠CDB ? (HD: Vẽ △BDE đều sao cho E và D nằm
khác phía đối với AB => △ADE (?))
Bài 17: Cho hình thang ABCD ( AB // CD ); AC ⊥ BD Qua I là trung điểm
BC kẽ đường thẳng song song AD cắt DC tại M CMR: △BMD cân (HD: Vẽ K
sao cho I là trung điểm AK ; gọi R là trung điểm AD )
Bài 18: Cho △ABC cân tại C ; CM là đường trung tuyến ; AD là đường phân giác trong sao cho AD = 2.CM Tính ∠ACB ? (HD: Gọi I là trung điểm AD
=> CDMI là hình thang cân )
Bài 19: Cho △ABC vuông cân ở B và M là điểm nằm bên trong tam giác sao cho MA : MB : MC = 1 : 2 : 3 Tính ∠AMB ? (HD: Vẽ △BME vuông cân tại
B ; E và M nằm khác phía dối với AB => AE = CM => △AME vuông tại M )
Bài 20: Cho △ABC đều và M nằm bên trong tam giác sao cho MA:MB:MC
= 3 : 4 : 5 Tính ∠AMB ? (HD: Giải tương tự BT19 ).
Bài 21: Cho hình chữ nhật ABCD có độ dài đường chéo bằng 1 Trên các
cạnh AB ; BC ; CD ; DA lần lượt lấy M ; N ; P ; Q CMR: MN + NP + PQ + QM
≥2.(HD: Gọi I ; J ; K lần lượt là trung điểm PQ ; PM ; MN- dùng đường gấp
khúc)
Bài 22: Cho △ABC cân tại A ; gọi M là điểm tùy ý nằm giữa B và C
Đường thẳng qua M và vuông góc với AB cắt đường thẳng qua C và vuông góc
AC ở điểm K Gọi I là trung điểm của MB Tính ∠AIK ? (HD:Vẽ F sao cho I là
trung điểm KF )
Bài 23: Cho hình thang ABCD ; trong đó ∠A = ∠D = 1v ; O là trung điểm
AD sao cho AC ⊥ BO CMR: BD ⊥ CO (HD: Vẽ E sao cho O là trung điểm BE )
Bài 24: Cho △ABC có AB = 3cm , AC = 5cm và trung tuyến AM = 2cm ( M
∈ BC ) Tính số đo ∠BAM ? (HD: Vẽ D sao cho M là trung điểm AD - Dùng
Py-ta- go)
Bài 25: Cho △ABC cân tại A , M là điểm nằm trong tam giác sao cho
∠AMB > ∠AMC So sánh độ dài hai đoạn thẳng MB và MC (HD: Trên nửa mặt
phẳng không chứa B bờ AC vẽ tia AD sao cho ∠CAD = ∠MAB và AD = AM ; Dùng t/g cân và quan hệ góc cạnh đối diện trong t/g )
Bài 26: Cho △ABC cân tại A ; M là điểm thay đổi luôn nằm giữa B và C
Trang 5cạnh đáy nhỏ nhất cạnh bên nhỏ nhất - Quan hệ đường vuông góc và đường xiên )
Bài 27: Cho ∆ABC cân tại A có ·BAC 90 ≥ ° Lấy điểm M nằm giữa A và C , hạ AH và CK cùng vuông góc với BM ( H, K ∈ BM ) sao cho BH = HK + KC Tính độ lớn của ·BAC (HD: Trên tia đối của tia KH xác định D sao cho DK =
KC )
Bài 28: Cho ∆ ABC có ABC = 40 , ACB = 30 · 0 · 0; trên nửa mặt phẳng không chứa điểm B có bờ là đường thẳng AC xác định điểm D sao cho ∆ DAC cân tại D và
ADC = 80 CMR: ∆ ABD là tam giác cân (HD: Kẽ AK ⊥ BC tại K ; DH ⊥ AC tại
H ⇒ ∆ AKH đều ⇒ ∆ AKB = AHD (g-c-g) ∆ )
B.G.H DUYỆT TỔ DUYỆT G.V BỘ MÔN
Nguyễn Tấn Ngọc