Gọi d’ là hình chiếu của d trên mặt phẳng Oxy biết rằng d’ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định... CÂU LẠC BỘ LUYỆN THI LONG BIÊN – TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC https://www.facebook.com/a[r]
Trang 1CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỌC TỌA
ĐỘ OXYZ Giáo viên : Ngô Minh Sơn ( 01645885193 ) Group thảo luận bài tập:
https://www.facebook.com/groups/caulacboluyenthilongbien/
Bài 1: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1; 1; 1), B(-1; 2; 0), C(3; -1; 2)
a Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng x−1
y
1=
z+1
−1 sao cho P = 2MA2+3MB2-4MC2 đạt giá trị nhỏ nhất
b Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (): 2x-y+2z+7=0 sao cho Q = | 3⃗MA+5 ⃗ MB−7⃗ MC | đạt giá trị nhỏ nhất
c Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu (S): (x-1)2+ y2+(z+1)2=861 sao cho P = 2MA2-7MB2+4MC2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 2: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1; 1; 1), B(-3; 5; 5), C(7; -4; 4) và mặt phẳng (P): 2x-y+2z=0 Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) ssao cho:
a MA+MB lớn nhất
b |MA –MC | lớn nhất
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: x−1
y−1
z
2 , mặt phẳng (P); x-2y+2z-5=0 và 2 điểm M(1; 2; 1) và N(-1; 0; 2)
a Viết phương trình mặt phẳng () chứa d và cách O một khoảng lớn nhất
b Viết phương trình mặt phẳng () chứa d và tọa với (P) một góc nhỏ nhất
c Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M, N và tạo với (P) một góc lớn nhất
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD với 4 đỉnh A(1; 2; 1), B(-2; 1; 3), C(2; -1; 1), D(0; 3; 1) Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P) Phướng trình mặt phẳng (P) là:
Bài 5 :Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3 ; 1 ; 2) Gọi (P) là mặt phănhgr đi qua điểm M và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.Phương trình mặt phẳng (P)
là :
Bài 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm B( 1; 3; 0), (1; 3; 0), (0; 0; ) C M a với a > 0 Trên trục Oz lấy điểm N sao cho mặt phẳng (NBC) vuông góc với mặt phẳng (MBC)
1 Cho a 3 Tìm góc giữa mặt phẳng (NBC) và mặt phẳng (OBC)
2 Tìm a để thể tích của khối chóp BCMN nhỏ nhất
Bài 7; Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng () và () có phương trình:
y t y t
( ): 1 2 ; ( ) : 2 '
Viết phương trình đường vuông góc chung của () và ()
Bài 8: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y + 2z – 3 = 0
Trang 2theo một đường tròn có bán kính bằng 3.
Bài 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có phương trình:
2 1 3
Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất
Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (): 3x + 2y – z + 4 = 0 và hai điểm A(4;0;0) , B(0;4;0) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB Xác định tọa độ điểm K sao cho KI vuông góc với mặt phẳng (), đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và ()
Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AO, B(3;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;1) Viết phương trình mặt cầu tâm C tiếp xúc với AB’
Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A(2;4;–1), B(1;4;–1), C(2;4;3), D(2;2;–1) Tìm tọa độ điểm M để MA2 + MB2 + MC2 + MD2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình chóp A.OBC, trong đó A(1; 2; 4), B thuộc trục Ox và
có hoành độ dương, C thuộc Oy và có tung độ dương Mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (OBC),tan
^
OBC=2 Viết phương trình tham số của đường thẳng BC.
Bài 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), C(0;4;0), S(0; 0; 4).Tìm tọa độ điểm B trong mp(Oxy) sao cho tứ giác OABC là hình chữ nhật Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, B, C, S Bài 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;5;0), B(3;3;6) và đường thẳng có phương trình tham số x 1 2 ;t y 1 ;t z2t
Một điểm M thay đổi trên đường thẳng , xác định vị trí của điểm
M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(–1; –1; 0), B(1; –1; 2), C(2; –2; 1), D(–1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng () đi qua D và cắt ba trục tọa độ tại các điểm M, N, P khác gốc O sao cho D là trực tâm của tam giác MNP
Bài 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2; 5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – 3 = 0 Gọi M là một điểm thay đổi trên mặt phẳng (P) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
MA MB MC
Bài 18:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình là
( ) :S x y z 4x 2y 6z 5 0, ( ) : 2P x 2y z 16 0 Điểm M di động trên (S) và điểm N di động trên (P) Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN Xác định vị trí của M, N tương ứng
Bài 19:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
1
1 ( ) : 1
2
x t
z , 2
3 1 :
1 2 1
Xác định điểm A trên 1 và điểm B trên 2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất
Bài 20: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) qua điểm M(2; 3; 5) và lần lượt cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OA, OB, OC theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có công bội bằng 3 Khỏang cách từ O đến mặt phẳng (P) là
24
16
32
√91
Trang 3Câu 21: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho M(1; 2; 3), gọi (P):px+qy+rz+1=0(p;q;r ) là mặt ℝ phẳng qua M cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho M là trọng tâm tam giác ABC Tính
T = p+q+r
11
Câu 22: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho M(1; 2; 3), gọi (P):px+qy+rz+1=0(p;q;r ) là mặt ℝ phẳng qua M cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz tại ác điểm A, B, C sao cho M là trực tâm tam giác ABC Tính T = p+q+r
A T = 77
3
−77
−3 7
Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho | ⃗a | = 3, | ⃗b | = 2, ( ⃗a , ⃗b ) =1200 Gọi 2 vectơ
⃗p=(2 ⃗a−⃗b); ⃗q=(⃗a+2 ⃗b) Tính cos( ⃗p; ⃗q¿
1
1
1
3√39 Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm và mặt phẳng (P) : x+2y+3z+4=0 Biết M, N là 2 điểm đối xứng nhau qua mặt phẳng (P), M thuộc mặt cầu (C): x2+ (y+4)2+z2=5 N thuộc mặt cầu nào dưới đây:
A x2+y2+z2−8
7x +
40
24
7 z +
45
7 =0
B x2
+y2
+z2
−8
7x −
40
24
7 z+
45
7 =0
C x2+y2+z2+8
7x +
40
7 y +
24
7 z+
45
7 =0
D x2+y2+z2+8
7 x−
40
24
7 z +
45
7 =0 Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-y+z+1=0 và A(1; 1; 1), B(0; 1; 2), C(-2; 0; 1) và M(a; b; c) thuộc (P) sao cho S = MA2+MB2+MC2 đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó giá trị của T = 3a+2b+c là:
Câu 26: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 1; 0), B(0; 1; 1) và C(1; 0; 1) Tìm tất
cả các điểm M trên mặt phẳng Oxz sao cho ⃗MA ⃗ MB+⃗ MC2=2
Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(2t; 2t; 0), B(0; 0; t)(t > 0) Cho điểm P thỏa mãn ⃗OP ⃗ AP+⃗ OP ⃗ BP+⃗ OP ⃗ CP=3 Tìm t sao cho OP lớn nhất là 3
A t = 3
4
2
3 2
Trang 4Câu 28: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; -3) và mặt phẳng (P):2x+2y-z+9=0
Đường thẳng đi qua A có vec tơ chỉ phương ⃗u=(3 ;4 ;−4) cắt (P) tại B Điểm M thay đổi trong (P) sao cho
M luôn nhìn đoạn AB dưới một góc 900 Khi độ dài MB lớn nhất, đường thẳng MB đi qua điểm nào
Câu 29: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng (d): x−3
y −2
z−5
x−2
y −4
z−4
4 Gọi ∆ là đường phân giác trong của góc tù tạo bởi 2 đường thẳng d và d’ ∆ có phương trình:
A {x =1+5t y =6 t
z=9 t
B {x =1+t y=−2 t
z =t
C {x =1+t y=2 t
z =t
D, {x =1−5 t y =6 t
z=9 t
Câu 30: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)(a; b; c > 0) sao cho OA+OB+OC+AB+BC+CA =1+ √2 Tìm giá trị lớn nhất của thể tích OABC
A maxVOABC = 541 B maxVOABC = 1621 C maxVOABC = 4861 D maxVOABC = 1081 Câu 31: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có A(a; 0; 0), B(-a; 0; 0), C(0; -1; 0), B’(-a; 0; b) với a, b > 0 và a+b=4 Khoảng cách lớn nhất giữa 2 đường thẳng B’C và AC’ là:
2 Câu 32: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Pm): 3mx+5 √1−m2 y+4mz+20=0 với m
[-1; 0)(0; 1] luôn cắt mặt phẳng (Oxz) theo giao tuyến là đường thẳng ∆m Khi m thay đổi thì các giao tuyến
∆m có kết quả nào sau đây
Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M( 1
2;
√3
2 ; 0¿ và mặt cầu x
2 +y2+z2=8 Đường thẳng d thay đổi đi qua điểm M cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm phân biệt A, B Tính diện tích lớn nhất của tam giác OAB
Câu 34: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phảng (P):
m2+m+1¿x+2(m2−1)y +2 (m+2) z+m2+m+1=0 luôn chưa đường thẳng d cố định khi m thay đổi Tính
khoảng cách từ gốc tọa độ tới A
A d[ O; (d)] = 1
√3 B d[ O; (d)] =
2
4
5
√3 Câu 35: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng (P): x-my+z-m=0 và (Q): mx+y-mz-1=0 Gọi d’ là hình chiếu của d trên mặt phẳng (Oxy) biết rằng d’ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định Tính bán kính r của đường tròn đó:
Trang 5A R = 1 B R= 1; 5 C R= 2 D R = 3
Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Pm): 2mx+(m2+1)y+(m2-1)z-10=0 và điểm
A (2; 11; -5) Biết rằng khi m thay đổi (P) luôn tiếp xúc với 2 mặt cầu có bán kính cố định và cùng đi qua A Tổng bán kính 2 mặt cầu là:
Câu 37: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): (x- cossin)2+(y- sinsin)2+(z- cos)2 = 0,25 với , là các góc thay đổi thỏa mãn , [0; 2 π ] Biết (S) luôn tiếp xúc với 2 mặt cầu cố định (S1), (S2) Tổng thể tích của 2 khối cầu là:
Câu 38: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 1; -4), B(-6; 2; 3), M(1; 1; 3) Gọi (P) là mặt phẳng qua M sao cho tổng khoảng cách từ A, B đến (P) là lớn nhất Biết mặt phẳng (P) có dạng
x+ay+bz+c=0 với a, b, c là các số thực Tính A = a+b+c
3
4
−6 5 Câu 39: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) x+2y+2z+18=0 và M là 1 điểm di
chuyển trên (P), N là điểm nằm trên tia Om sao cho OM ON = 24 Tính giá trị nhỏ nhất của khoảng cách từ N đến mặt phẳng (P)
Câu 40: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(-1; 2; 0), B(2; -3; 2) Gọi (S) là mặt cầu đường kính AB , Ax, By là 2 tiếp tuyến của (S) và Ax vuông góc với By Gọi M, N lần lượt là các điểm di động trên Ax, By sao cho MN luôn tiếp xúc với mặt cầu (S) Tính giá trị AM.BN
Câu 41: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hình lập phương ABCD A’B’C’D’ cạnh a, trong đó A trùng O, B(a; 0; 0), D(0; a; 0) Hai điểm M, N lần lượt di động trên 2 cạnh BD và B’A sao cho BM = B’N Gọi
, lần lượt là các góc tạo bởi đường thẳng MN với các đường thẳng BD, B’A Gia trị của A = cos2 + cos2 là bao nhiêu?
Câu 42: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(4; 0; 0), B(0; 0; m), C(2; 4; 0) Gọi D là hình chiếu vuông góc của O (0; 0; 0) lên đường thẳng AB Biết rằng có một mặt cầu luôn tiếp xúc với đường thẳng
CD tại điểm D Tính bán kính mặt cầu đó:
Câu 43: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các mặt phẳng (P): x-y+2z+1=0 và (Q): 2x+y+z-1=0 Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành đồng thời (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 2 và (S) cắt (Q) theo đường tròn giao tuyến có bán kính r Xác định r sao cho chỉ có một mặt cầu (S) thỏa mãn yêu cầu:
Trang 6A r = 1
2
3
4
√2 Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d): ): x +1
y+2
z−1
1 và mặt cầu (S): (x-1)2+(y-2)2+(x-3)2 = 27 Tìm M thuộc d kẻ được 3 đường thẳng tiếp xúc với (S) lần lượt tại A,B, C sao cho tam giác ABC có AMC = 12 CMA = 600
A M(-1; -2; 1) hoặc M( 1
3;
−2
3 ;
7
1
3;
−2
3 ;
7
3¿
B M(-1; -2; 1) và M( 13;2
3;
7
−1
3 ;
2
3;
7
3¿ Câu 45: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+(y-4)2+z2=5 Tìm tọa độ điểm A thuộc tia Oy Biết rằng ba mặt phẳng phân biệt qua A và đôi một vuông góc cắt mặt cầu theo thiết diện là 3 hình tròn
có tổng diện tích là 11 π ;
Câu 46: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(3; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 6), D(6; 0; -6) Gọi d là đường thẳng đi qua D sao cho tổng khoảng cách từ A, B, C đến d đạt giá trị lớn nhất Đường thẳng d đi qua điểm M nào sau đây:
Câu 47: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) đi qua A(2; -2; 5) và tiếp xúc với 3 mặt phẳng (P); x-1=0, (Q): y+1=0, (R):z-1=0 Tìm bán kính mặt cầu (S)
Câu 48: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho A(2; 5; -3), B(-2; 1; 1), C(2; 0; 1) và mặt phẳng (P): 3x+4y+5z+1=0 Gọi điểm D(a; b; c) và có c > 0 thuộc (P) sao cho có vô số mặt phẳng (Q) đi qua C và D thỏa mãn khoảng cách từ A đến (Q) gấp 3 lần khoảng cách từ B đến (Q) Tính A = a+b+c
Câu 49: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 2 mặt cầu (S1): (x+2)2+y2+(z-1)2=17 và (S2): (x-1)2 +(y-3)2+(z-1)2=11 và 2 điểm A(3; 0; 0), B(0; 4; 0) Gọi (P) là mặt phẳng chứa giao tuyến của (S1), (S2) Hỏi có bao nhiêu mặt cầu có tâm thuộc (P) và tiếp xúc với 3 đường thẳng AO, OB, BA
Câu 50: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) Có bao nhiêu mặt cầu có tâm nằm trên (P): x+y+z=0 và tiếp xúc với cả 3 đường thẳng AB, BC, CA
Bài 51: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng:
Trang 7
2
4 1 5
3 1 2
x t
x y z
zt
Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2
Câu 46( Đề 124) Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(4; 6; 2), B(2; -2; 0) và mặt phẳng (P)x+y+z=0 Xét đường thẳng d thay đổi thuộc (P) và đi qua B Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên d Biết rằng khi
d thay đổi H thuộc một đường tròn cố định Tính bán kính R của đường tròn đó.
Câu 48:(Đề 122) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(-2; 0; 0), B(0; -2; 0) và C(0; 0; -2) Gọi D là điểm khác O sao cho DA; DB, DC đôi một vuông góc với nhau và I(a; b; c) là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính S = a+b+c.
Câu 45( đề 113) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 2 điểm A(3; -2; 6), B(0; 1; 0) và mặt cầu (S): (x-1) 2 +(y-2) 2 +(z-3) 2 =25 Mặt phẳng (P): ax+by+cz-2=0 đi qua A; B và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất.Tính T = a+b+c.
Câu 50: (vinh I) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm M(-2; -2; 1), A(1; 2; -3) và đường thẳng d: x +1
y−5
z
−1 Tìm vectơ chỉ phương ⃗u của đường thẳng ∆ đi qua M, vuông góc với d đồng
thời cách A một khoảng bé nhất.
Câu 45( đề 101): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x 2 +y 2 +z 2 =9 Và điểm M(1; 1; 2)và mặt phẳng (P): x+y+z-4=0 Gọi d là đường thẳng đi qua M, thuộc (P) và cắt (S) tại 2 điểm A, B sao
choAB nhỏ nhất Biết rằng d có một vectơ chỉ phương là ⃗u=(1 ;a ;b) Tính T = a – b.