Buổi 4: HỆ PHƯƠNG TRèNH+PHƯƠNG TRèNH ,BẬT PHƯƠNG TRèNH Vễ TỈ.I.Hệ phương trỡnh bậc nhất hai ẩn: a.. Giaỷi vaứ bieọn luaọn phửụng trỡnh : Quy trỡnh giaỷi vaứ bieọn luaọn Bửụực 1: Tớnh ca
Trang 1Buổi 4: HỆ PHƯƠNG TRèNH+PHƯƠNG TRèNH ,BẬT PHƯƠNG TRèNH Vễ TỈ.
I.Hệ phương trỡnh bậc nhất hai ẩn: a Daùng : 1 1 1
a x b y c
a x b y c
(1) Caựch giaỷi ủaừ bieỏt: Pheựp theỏ, pheựp coọng
b Giaỷi vaứ bieọn luaọn phửụng trỡnh : Quy trỡnh giaỷi vaứ bieọn luaọn
Bửụực 1: Tớnh caực ủũnh thửực Bửụực 2: Theo D,Dx,Dy.
II.H ệ phương trỡnh bậc hai:
1.Hệ gồm 1 pt bậc nhất và 1 pt bậc hai: PP giải:Rỳt ẩn từ pt bậc 1 thế vào pt bậc 2.
2.Hệ đối xứng: Lọai 1:Là hệ khi thay x bởi y và ngc lại hệ pt k cú gỡ thay đổi.
PP giải: Bửụực 1: ẹaởt x+y=S vaứ xy=P vụựi S2 ≥4Pta ủửa heọ veà heọ mụựi chửựa hai aồn S,P
Bửụực 2: Giaỷi heọ mụựi tỡm S,P Choùn S,P thoaỷ maừn S2 ≥4P
Bửụực 3: Vụựi S,P tỡm ủửụùc thỡ x,y laứ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh : X2−SX P+ =0 ( ủũnh lyự Vieựt ủaỷo )
Chuự yự: Do tớnh ủoỏi xửựng, cho neõn neỏu (x0;y0) laứ nghieọm cuỷa heọ thỡ (y0;x0) cuừng laứ nghieọm cuỷa heọ
Lọa 2: Laứ heọ chửựa hai aồn x,y maứ khi ta thay ủoồi vai troứ x,y cho nhau thỡ pt naày trụỷ thaứnh phửụng trỡnh kia cuỷa heọ.
PP giải: Trửứ veỏ vụựi veỏ hai phửụng trỡnh vaứ bieỏn ủoồi veà daùng phửụng trỡnh tớch soỏ
Keỏt hụùp moọt phửụng trỡnh tớch soỏ vụựi moọt phửụng trỡnh cuỷa heọ ủeồ suy ra nghieọm cuỷa heọ
3.Hệ đẳng cấp: Daùng :
a x b xy c y d
a x b xy c y d
PP giải: Bửụực 1: Kieồm tra xem (x,0) coự phaỷi laứ nghieọm cuỷa heọ hay khoõng ?
Bửụực 2: Vụựi y≠0 ta ủaởt x = ty Thay vaứo heọ ta ủửụùc heọ mụựi chửựa 2 aồn t,y Tửứ 2 pt ta khửỷ y ủeồ ủửụùc 1 pt chửựa t
Bửụực 3: Giaỷi phửụng trỡnh tỡm t roài suy ra x,y.
4.Cỏc hệ khỏc: Loại 1:Phương phỏp thế:Trong hệ cú 1 pt bậc nhất đối với 1 ẩn,Hoặc biến đổi ở dạng tớch rồi đưa
về 1 pt bậc nhất 1 ẩn,hặc 1 pt trong hệ coi là pt bậc 2 đối với 1 ẩn ẩn cũn lại coi như là tham số à pt đú cú ∆ là dạng bỡnh phương,giải dc nghiệm đưa về pt bậc nhất đối với 1 ẩn
PP giải:Rỳt ẩn từ pt bậc nhất đú thế vào pt cũn lại
Loại 2:Phương phỏp đặt ẩn phụ: Ta cú thể đặt ẩn phụ 1 pt trong hệ đưa về pt đại số giải được và kết hợp với pt cũn
lại,hặoc đặt 2 ẩn phụ đưa hệ về hệ với biến mới giải được
Loại 3:Phương phỏp hàm số:Một phơng trình trong hệ có dạng f(x) = f(y)phơng trình còn lại giúp ta giới hạn đợc x.y
để trên hàm f đơn điệu
Hoặc khi giải thờng dẫn đến một trong 2 ptrình của hệ có dạng f(x) = 0 hoặc f(x) = f(y) Trong đó f là hàm đơn điệu Thỡ ta SD tc: h m f à thỡ f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y
Loai 4:Dựng phương phỏp đỏnh giỏ:Thường sử dụng cỏc bất đẳng thức.
III.Phương trỡnh vụ tỉ: 1.Cỏc pt cơ bản:2 ( ) ( ) ( ) 02 ;2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1( )
n
=
2.Cỏc phương phỏp giải:1)Nõng lũy thừa khử căn:Chỳ ý khi nõng lũy thừa bậc chẵn thỡ đk cả 2 vế của pt cựng dấu
2)Biến đổi dưa về pt tớch 3)Đặt ẩn phụ:+)Đưa về phương trỡnh đại số đối với ẩn phụ
+)Đưa về pt đại số với ẩn phụ và ẩn cũ coi như là tham số
+)Đưa về pt đẳng cấp với ẩn phụ và ẩn cũ
+)Đưa về hệ 4)PP hàm số: +: Biến đổi pt về dạng: f(x) = k, nhẩm một ng rồi cm f(x) Đb,NB suy ra ptrỡnh cú nghiệm duy nhất.
+: Bđổi pt về dạng: f(x) = g(x), nhẩm một ng rồi dựng lập luận khẳng định f(x) ĐB cũn g(x) NB hoặc hàm hằng suy ra pt cú ng!.
+: Biến đổi phương trỡnh về dạng: f(u) = f(v) chứng minh f(x) đơn điệu khi đú ta cú: u = v
5)PP lương giỏc:
IV.Bất phươnmg trỡnh vụ tỉ:1 Cỏc bpt cơ bản:
( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0
2 ( ) ( )
g x
f x g x f x
f x g x
>
<
{ {
( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )
( ) 0 2 ( ) ( )
g x
f x
f x g x
g x
>
≥
≥
>
2.Cỏc phương phỏp giải:Nõng lũy thừa ,biến đổi đưa về bpt tớch,đặt ẩn phụ
Trang 2
BÀI TẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH+PHƯƠNG TRÌNH +BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài 1:Gi¶i vµ biÖn luËn hÖ ph¬ng tr×nh1)
= +
= +
5 5
5 5
my x
y mx
2)
= + +
−
=
−
−
m my x m
m y x m
3 )
1 (
7 2
) 5 (
Bài 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh1)
=
−
−
=
−
4 2 3
5 3 2
2
x
y x
2)
−
= +
−
= +
−
5 ) ( 3
0 1 4 3
y x xy
y x
3)
= + + +
−
=
−
100 12
10 5
2
1 3 2
2
x
y x
Bài 3:Giải hệ phương trình: 1 2 5 2
7
x y
x xy y
+ =
− + =
5
42
xy
=
+ + + =
5 5
x y xy
x y
+ =
30 35
x y y x
x x y y
5 x + y = 1 - 2xy 2 2
x + y = 1
xy + x + y = 11
x y + xy = 30
x + y = 4 (x + y )(x + y ) = 280
=
= + 9
3
4 1 1 xy
y
x 8 x + y = 1 3 3 2 2
x + y = x + y
8
x + y = 1
x + y = x + y
x + y = 1
x + y = 1
+ =
x + y = 5
=
− +
= +
4
4
xy y x
y x
12)
= +
= + 2
34 4 4
y x
y x
Bài 4:Giải hệ pt: 1)
= +
= +
y xy y
x xy x
3 2
3 2
2
2
3)
2 4
4 2
20 20
5)
2
2
1 3
1 3
x y
x
y x
y
+ =
+ =
6)
+
=
+
= 2 2 2 2
2 3
2 3
y
x x x
y y
7)
=
−
=
−
y
x x y
x
y y x
4 3
4 3
8))
3 2
3 2
Bài 5:Giải hệ: 1
2 2 3 2 0
2
x x y y
x xy y
5
2
x xy
3 2
3 2
10 5
x xy
y x y
Bài 6: Giải :1
=
−
−
=
−
− +
36 ) 1 ( ) 1 (
12 2
2
y y x x
y x y x
2
2 2
5 6
x x y xy y
− + − =
2 2
x 1 y(y x) 4y (x 1)(y x 2) y
2 2
2 2
5
+
=
+
+
=
+
) ( 3 2
2
2 2
y x y
x
y y
x
x
6
+ +
= +
+
= +
2
7 7
2 2
3 3
y x y x
y y x x
7
+
=
−
=
−
1 2
1 1
3
x y
y
y x
x
8
+ +
= +
−
=
−
2
3
y x y x
y x y x
10
=
− + +
−
= +
− +
0
1 2
3 y x y
x
y x y
x
2 2
x 2y y x 1 2x 2y
+ + = −
=
−
=
−
19
2 3 3
2
y x
y y x
14
+
= +
+
=
+
y x y
x
y y x
x
3
2
2
2 2
=
− + +
= + +
0 9 5
18 3
2
2
2
y x x
y x x x
16
4 2
5
4 5
4
17
+
= +
= +
4 4 9 9
5
y x y x
y x
18)
= + +
−
=
− +
+
7 5 2
7 2 5
y x
y x
19)
=
− + +
=
− + +
4 7 9
4 7 9
x y
y x
20)
= +
−
=
−
1
3 3
6 6
3 3
y x
y y x x
21)
−
= +
= +
2 2
3 3
3 6
19 1
x xy
y
x y
x
22)
+
=
−
=
−
2
2 2
8 4
x xy
y xy
−
= +
−
−
= +
+
y x y
xy
x
y x y
xy
x
7
19 2 2
2 2
2
= + +
= + +
6 4
9 2
2
2 x y x
y x x
x
25)
=
− + +
=
−
− +
4
2 2 2 2
x
y x y x
26)
= +
−
= +
−
0 15 13 2
9 3 2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
Trang 3Bài7:Giải các pt sau:1) 2x+9 = 4−x+ 3x+1;2)3 x+5+3 x+6=3 2x+11;4) x2 −2x+4 = 6−x
5)3 x+1+3 x+2+3 x+3=0;5) x−1− x−2 = x−3 6) x2 +3x+2+ x2+6x+5= 2x2+9x+7;
8) 3x2 +5x+8− 3x2 +5x+1=1 ;9) 312−x+3 4+x =4 10 ) −x2 +9x+9− x = 9−x
Bài 8:Giải: 1) (x+1)(x+4)=5 x2 +5x+28) ; 2) x(x+5)=23 x2 +5x−2−2;3) x2 −4x+2=2 x2 −4x+5 4)
12 2 )
2
)(
4
(
− x x x x ;5) 5x2 +10x+1=7−x2 −2x ; 6) 2x+3+ x+1+16=3x+2 2x2 +5x+3 7) x2 +x+2+ x2 +x+7 = 3x2 +3x+13;8)(4x−1) x2 +1=2(x2 +x)+1 ;9) x2 +3x+1=(x+3) x2 +1 10) 2(x−1) 2x2 +1=2x2 +2x−2;11) 3+2 x−x2 =3( x + 1−x); 12) x2 −3x+3+ x2 +3x+6 =3
4 3 1 7 3 1
9 x+ = x+ − x+ 14) x3 −1=x2 +3x−1 15) 10 x3 +8=3(x2 −x+6) 16) 12
35 1
2 =
−
+
x
x x
2
12 2 2
12 2
6
−
−
−
−
x x
x x
x
1
3 1
1 1 1
3 1
1
2 2
2 2 2
−
=
−
+
−
⇔
−
−
=
x x
x x x
x
1 2
x x
x
(Đ141)
21)(4x−1) x2 +1=2x2+2x+1;22)2(1 −x) x2 + 2x− 1 =x2 − 2x− 1;23)x2+x+12 x+1=36;
25) 4 1+x−3=x+3 1−x+ 1−x2 26) x(x−1)+ x(x+2) = x2 ;27) x(x−1)+ x(x−2) = x(x+3) ;
Bài 9: Giải 1)3 2−x =1− x−1; 2) 3−x+x2 − 2+x−x2 =13) x+ x+1− x2 +x =1 (ĐHDL HP’01) 4)
2 1 x
x
4 − + − = 5) x2 − x+3+ x2 − x+6=36) 3 x+34−3 x−3=1 (Đ12) 7) 4 x +4 97−x =5 8)
2 x 12
x
3 + + − = ;9) 3 (x+ 8 ) 2 +3 (x− 8 ) 2 + 3 x2 − 64 = 410) x+ 17−x2 +x 17−x2 =9 ;11) 1 2
2
1
2 + =
12)31+ x +3 1− x =2 ;13) x3 +1=23 2x−1;14) x3 +2=33 x−2 ;16) x2−1= x+1
15)(x2 + 3x - 4)2 + 3(x2 + 3x - 4) = x + 4 17) −x2 +2= 2−x ;18) x2+ 5−x =5 19) 5− 5+x = x ;
28
9 x x
7
x2 + = + > (ĐHAN-D) 21) 4− 4+x = x ;22) 3 x 9 (x 3)3 6
+
−
=
;24) x3−33 x+2 =2 25) x2 + 1+x =1 26) 3+ 3+ x =x
Bài 10:Giải bất pt: 1) x2 + − ≥ +x 6 x 2;2) x+11≥ x− +4 2x−1;3) (x+5)(3x+4) >4(x+1)
4) 1− +1 2
≥
x
x
;5) x2 −4x+ +5 2x ≥3;6) 2x +2x+ ≤5 4 2x2 +4x+3;7) 5 2− x − 2− ≥x 2x+5 8) 3− −x x+ ≤7 x+2;10) 5x2 +10x+ ≥ −1 7 2x− x ;11)2 (x2 −3 ) 2x x2 −3x− ≥2 0
12)
2
3
+ − >
x
;13) 2x − >3 x2 −2x+1;14)x−3 x+ + >1 3 0;15) −x2 6 5 8 2+ x− > − x
2
x x x x 17)2 3x− +2 x+ ≥2 3 (34 x−2)(x+2) 18)1− 1 4− 2 3
<
x x
>
−
x x ;20) 3 2− +x x− >1 1;21) 32x+ +1 36x+ >1 32x−1 ;22) 4− 1− −x 2− >x 0 23) x− +2 4− ≥x x2−6x+11;24) 5+ − − − < +x x 3 1 (x+5)(− −x 3);25) 1 2 3 2
x
2 2
x
1
1
+
+