1 Viết phương trình đường thẳng BC và đường thẳng chứa đường cao hạ từ A của tam giác ABC.. 2 Tính diện tích tam giác ABC.. 3 Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Trang 1ĐỀ 1
( Thời gian làm bài 90 phút )
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 2,0 điểm )
1) Cho sin 3
5
= −
2
− < < π α Tính os , tanc α α .
2) Tính giá trị biểu thức sau : A sin15= o+tan 30 cos15o o
Câu II ( 2,0 điểm ) Giải các bất phương trình sau :
1) 2x2+ 1 ≤ 3x
2) x x2 2x
x 1
−
>
+
Câu III ( 3,0 điểm )
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(1;2), B(3;1), C(5;4).
1) Viết phương trình đường thẳng BC và đường thẳng chứa đường cao hạ từ A của tam giác ABC
2) Tính diện tích tam giác ABC
3) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1.Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 1,0 điểm ) :
Chứng minh rằng : cosa cos5a 2sina
sin 4a sin 2a
+
Câu V.a ( 2,0 điểm ) :
1) Chứng minh rằng : (a c)(b d) + + ≥ ab + cd
2) Cho phương trình : (m2−4)x2+2(m 2)x 1 0− + = Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt ?
2.Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 1,0 điểm ) :
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất nếu có của hàm số f(x) = sinx + cosx
Câu V.b ( 2,0 điểm ) :
1) Cho tan cot 2 ( k )
2
π
α − α = α ≠ Tính giá trị của biểu thức : A 12 12
2) Tìm m để bất phương trình x2+ (2m - 1)x + m – 1 < 0 có nghiệm
.HẾT .
Trang 2HƯỚNG DẪN
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 7 điểm )
Câu I ( 2,0 điểm )
1) sin 3, 0
π
α = − < < α Ta có sin 2 α +cos 2 α = ⇔ 1 cos 2 α = − 1 sin 2 α 2 9 16
25 25
c α
Mà 0
2
π α
− < < nên cos α > 0 ⇒ os 4
5
c α = ;
3
tan
4
5
−
c
α α
α
2) A sin15 tan 30 cos15 sin15 cos15 (sin15 cos30 cos15 sin 30 )
= sin(30 15 ) sin 45
o
Câu II ( 2,0 điểm )
1) 2x2+1≤3x ⇔ 2x2-3x+1≤ 0 ( Dạng của tam thức vế trái có a+b+c = 0 )
Vì 2x2-3x+1=0 ⇔
1 1 2
x x
=
=
và hệ số a = 2 > 0
Do đó tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 1;1
2
2) x x2 2x
x 1
−
>
+
⇔ x(x+1)>0 ⇔ x<-1 hay x>0
Vậy tập nghiệm S= −∞ − ∪ ( ; 1) (0; +∞ )
Câu III ( 3,0 điểm )
1) +Đường thẳng BC qua B và C nên nhận BCuuur= (2;3) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số là 3 2 ,
1 3
t
= +
= +
+Đường thẳng chứa đường cao hạ từ A qua A(1;2) và vuông góc với BC nên nhận
BCuuur= (2;3) làm vectơ pháp tuyến
+ Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng chứa đường cao hạ từ A là 2(x-1)+3(y-2)=0 hay 2x+3y-8=0
2) Giao điểm của đường cao hạ từ A với đường thẳng BC là H có toạ độ là (x;y) thoả :
37
3 2
13
10
13
13
t
= + =
⇒ (37 10; )
13 13
H
= − ÷ + − ÷ = ÷ ÷+ =
Diện tích tam giác ABC là 1 . 1 13. 832 4
S= AH BC= = (đvdt) 3) Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng x 2 +y 2 +2Ax+2By+C=0
Đường tròn này qua A(1;2) B(3;1) C(5;4) nên ta có
Trang 35 2 4 0 4 2 5
+ + + = ⇔ + = −
+ + + = = − − −
13 4
23
8
4
B
C
= −
− = −
⇔ + = − ⇔ = −
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là x2 y2 23x 13y 55 0
II PHẦN RIÊNG ( 3 điểm )
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1.Theo chương trình chuẩn :
Câu IV.a ( 1,0 điểm ) :
Ta có : cosa cos5a 2sin3asin( 2a) sin 2a 2sina
sin 4a sin 2a 2sin3acosa cosa
+
Câu V.a ( 2,0 điểm ) :
1) 1đ Ta có : (a c)(b d) + + ≥ ab + cd ⇔ + (a c)(b d) ab cd 2 abcd + ≥ + +
⇔ad bc 2 abcd + ≥ đúng (bất đẳng thức Côsi)
2) 1đ PT có 2 nghiệm phân biệt khi : m2 4 0 m 2m 2
∆ = − + > ≠ −
2.Theo chương trình nâng cao :
Câu IV.b ( 1,0 điểm ) :
Ta có : f(x) sin x cosx 2 sin(x )
4
π
4
π
− ≤ + ≤ Suy ra : − 2 f(x) ≤ ≤ 2
Vậy : min f(x)= − 2
¡ , chẳng hạn tại x 5
4
π
=
max f(x)= 2
¡ , chẳng hạn tại x
4
π
=
Câu V.b ( 2,0 điểm ) :
1) 1đ tanα −cotα = ⇔2 tan2α +cot2α −2 tan cotα α = ⇔2 tan2α +cot2α =4
tan2 1 cot2 1 6 12 12 6 A 6
2) 1đ Bất phương trình x2+(2m-1)x+m-1<0 có nghiệm
⇔ ∆ =(2m−1)2−4(m− > ⇔1) 0 4m2−8m+ >5 0 ( ' 16 20 0) ∆ = − < ∀ ∈m ¡
Vậy với mọi số thực m thì bất phương trình đã cho luôn luôn có nghiệm